海洋鹽指演化過程的數(shù)值模擬?

徐 巖， 劉香全,3,4， 宋仁剛， 岑顯榮， 魯遠征， 郭雙喜， 周生啟

(1.山東科技大學電子通信與物理學院，山東 青島 266590； 2.中國科學院南海海洋研究所熱帶海洋環(huán)境國家重點實驗室，廣東 廣州 510301；3.中國科學院半導體研究所集成光電子學國家重點實驗室，北京 100083； 4.中國科學院大學材料科學與光電技術學院，北京 100049)

雙擴散現(xiàn)象是自然界及工業(yè)生產(chǎn)中普遍存在的現(xiàn)象，如大氣中的熱和污染物擴散，海洋中的擴散對流及鹽指現(xiàn)象，工業(yè)生產(chǎn)中的晶體生長、金屬固化等[1]。當流體中的兩種或兩種以上組分具有不同的擴散速率時，就會產(chǎn)生雙擴散現(xiàn)象。在海洋環(huán)境中，海水的熱擴散率比鹽擴散率大兩個數(shù)量級，當垂向溫度和鹽度分布對海水的密度梯度具有相反的作用時，在熱鹽驅(qū)動下易形成雙擴散對流。雙擴散混合是海洋中物質(zhì)和能量進行垂向輸運的重要機制之一。

在亞熱帶海洋，由于強烈的太陽輻射的作用，使得表層海水的溫度較高且蒸發(fā)量較大，形成了表層海水高溫高鹽、次表層海水相對低溫低鹽的狀態(tài)，在這種狀態(tài)下，溫度場是穩(wěn)定的，而鹽度場卻不穩(wěn)定[2]。如圖1(a)所示，當表層海水是高溫高鹽的均勻?qū)樱伪韺雍Ｋ堑蜏氐望}的均勻?qū)訒r，若存在一個微小的擾動，使得次表層的低鹽海水微團跨過交界面向上運動，由于熱擴散速率遠大于鹽擴散速率，該海水微團就會迅速的在周圍吸收熱量達到與周圍海水微團相同的溫度，但此時仍保持原來的鹽度不變，這樣浮力作用大于其重力的作用，促進其向上運動。同理，對于表層的海水微團跨越交界面向下的擾動，則能促進其向下的運動?？梢姡诖诉^程中存在著正反饋機制，使該微團在交界面處于一個相當不穩(wěn)定的狀態(tài)，進而產(chǎn)生鹽度較大的海水向下、鹽度較小海水向上，呈指狀分布的現(xiàn)象，即鹽指現(xiàn)象[3-11]。

圖1 鹽指形成機制示意圖(a)及海洋鹽指模型(b)

在有關海洋鹽指的研究中，鹽指導致的熱鹽輸運問題受到海洋學家們的廣泛關注。鹽指中的熱鹽輸運能改變水體的微觀結(jié)構(gòu)，引發(fā)水體有效位能的下降。特別地，在調(diào)節(jié)亞熱帶流渦內(nèi)區(qū)的主溫躍層和環(huán)流結(jié)構(gòu)方面，從鹽指釋放出來的能量可以起到?jīng)Q定性的作用。但是，鹽指包含了復雜的小尺度動力學過程，這些過程在大尺度環(huán)流的數(shù)值模式中是難以分辨的，因此很難直接評估鹽指的具體貢獻。過去，由于海洋觀測手段的限制，對于鹽指熱鹽通量的計算主要依賴從室內(nèi)實驗得到的經(jīng)驗公式，例如Turner[12]提出的4/3標度律：FS=Af(Rρ)(ΔS)4/3。Turner的公式表明，鹽通量FS由相鄰兩混合層之間的鹽度差ΔS以及密度比Rρ所決定。如今，隨著計算機仿真技術的進步，數(shù)值模擬逐漸被應用于鹽指現(xiàn)象的研究。眾多學者對鹽指問題作出了重要的貢獻，如Yang等[13-16]通過直接數(shù)值模擬方法研究了鹽指的熱鹽輸運規(guī)律和流動結(jié)構(gòu)；李文婷和李永放[3]數(shù)值模擬了兩層和多層結(jié)構(gòu)中的鹽指現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)瑞利數(shù)(RT、RS)、初始密度穩(wěn)定率(Rρ)均影響交界面處產(chǎn)生的鹽指現(xiàn)象；羅瑩瑩等[9]利用基于雜交網(wǎng)格的高精度數(shù)值方法研究了多孔介質(zhì)中的鹽指現(xiàn)象，分析了孔隙率對鹽指傳熱傳質(zhì)效應的影響; 在現(xiàn)場觀測方面，魯遠征等[17]結(jié)合微結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)對南海的鹽指及湍流混合過程進行了分析。

過去有關鹽指的模擬工作大多是在固定的熱瑞利數(shù)或鹽瑞利數(shù)的條件下進行的，鮮有關注鹽指在不同的瑞利數(shù)組合條件下的演化過程。本文在前人研究的基礎上，通過數(shù)值方法模擬了鹽指的生成和演化過程。通過改變不同的初始條件，模擬分析了不同粘滯系數(shù)、熱瑞利數(shù)和鹽瑞利數(shù)等因素對鹽指形成和演化過程現(xiàn)象的影響。

1 模型建立

1.1 理論基礎

用數(shù)值計算的手段對鹽指現(xiàn)象進行過程模擬具有一定優(yōu)勢，既能夠精確地描述流量場及標量場，也能夠嚴格地控制邊界條件。1973年，Turner[12]指出鹽指雙擴散的穩(wěn)定性可以用密度比進行衡量，其定義如下：

(1)

式中:α=-(1/ρ)?ρ/?T和β=-(1/ρ)?ρ/?S分別為熱膨脹系數(shù)和鹽收縮系數(shù)；ΔT、ΔS分別為鹽指結(jié)構(gòu)中上下兩層溶液的溫度差和鹽度差。

到目前為止，對雙擴散的理論研究，Boussinesq近似[13,18]得到了廣泛的認可。Boussinesq近似只考慮密度對質(zhì)量力項的影響，密度的線性狀態(tài)方程為：

(2)

式中:T0、S0、ρ0分別代表參考溫度、參考鹽度及參考密度；ρ為流體密度；T和S分別為流場的溫度和鹽度。

在Boussinesq近似假設下，鹽指過程的控制方程形式如下：

(3)

為了更好地研究雙擴散情況，能夠確定可以控制流體流動形態(tài)及強度的無量綱參數(shù)是非常有必要的。 因此在模擬鹽指時，引入了熱瑞利數(shù)和鹽瑞利數(shù)[3]，其定義為：

(4)

式中L為流場的特征長度。

1.2 方腔模型的建立

建立鹽指模擬的二維方腔模型，如圖1(b)所示。設定其長和寬均為L=0.10 m，在直線Y=0.05 m的位置分成上下均勻的兩層，上層為高溫高鹽海水，溫度和鹽度分別用Ta、Sa表示；下層為低溫低鹽海水，溫度和鹽度分別用Tb、Sb表示(Ta>Tb,Sa>Sb)。

ΔT=Ta-Tb, ΔS=Sa-Sb。

(5)

控制方程采用有限體積法求解，從而計算出流場的溫度、鹽度、速度隨時間的演變關系。計算在方形網(wǎng)格上進行，網(wǎng)格數(shù)為100×100。為了滿足CFL條件，計算的時間步長為0.01 s，每計算1 000步(10 s)輸出一組數(shù)據(jù)。在鹽指模擬中，首先設置二維方腔中流體的溫度為參考溫度(300 K)，濃度為參考濃度(17.0 g/kg)，然后按照表達式(5)及表達式(6)設置上下兩層的溫度差及濃度差。

(6)

為分析不同參數(shù)對鹽指現(xiàn)象的影響，分別設計了一系列的參數(shù)。為了在較大范圍內(nèi)改變?nèi)鹄麛?shù)，首先通過改變粘滯系數(shù)來進行，分別模擬了粘滯系數(shù)為1.0×10-7m2·s-1、1.0×10-6m2·s-1、1.0×10-5m2·s-1的情況。然后，在固定粘滯系數(shù)為1.0×10-6m2·s-1的情況下，通過改變溫度差ΔT和鹽度差ΔS以達到改變熱瑞利數(shù)和鹽瑞利數(shù)的目的。具體參數(shù)設置如表1、2所示。

表1 熱瑞利數(shù)的參數(shù)設置(ΔS=0.1 g/kg)

表2 鹽瑞利數(shù)的參數(shù)設置(ΔT=1 K)

2 結(jié)果處理分析

在通過改變粘滯系數(shù)η、溫度差ΔT和鹽度差ΔS來改變?nèi)鹄麛?shù)時，發(fā)現(xiàn)在不同的參數(shù)下，鹽指模擬結(jié)果存在著很大的差異，這種差異主要表現(xiàn)在鹽指的生成速率及鹽指的數(shù)目上。為了能夠較為準確的得到觀察結(jié)果，規(guī)定形成鹽指的標志是大部分指狀結(jié)構(gòu)的高度能夠達到標準長度(直線Y=0.04 m與直線Y=0.06 m之間的長度)，鹽指的數(shù)目N是指向上和向下擴散形成的指狀結(jié)構(gòu)的總個數(shù)，其最小的計數(shù)單位是0.5。上下邊界處長度達到標準長度，但是寬度為其他指狀結(jié)構(gòu)的一半的計為0.5；當大部分指狀結(jié)構(gòu)的長度達到標準長度，但某些指狀結(jié)構(gòu)未達到標準長度的計為0.5[3]。

2.1 鹽指現(xiàn)象模擬情況

取η=1.0×10-6m2·s-1,ΔT=1 K,ΔS=0.1 g/kg，即RT=1.40×107,RS=5.25×106情況下，對鹽指的演化過程進行展示。當時間約為150 s時達到標準長度，可以看到當上層高溫高鹽流體下沉到下層低溫低鹽流體時，鹽度基本保持不變，而溫度卻迅速衰減(見圖2，3)，這一現(xiàn)象與理論(熱擴散率比鹽擴散率大兩個量級)相互印證。在接下來的時間里，指狀結(jié)構(gòu)的長度不斷增加，并最終延伸到上下邊界。

觀察中截線(X=0.05 m)上的溫度和鹽度的變化曲線，在整個過程中溫度由上層高溫、下層低溫的初始狀態(tài)逐漸趨于均勻，前段時期(約2 260 s之前)溫度變化曲線波動較大，在此之后的溫度曲線的波動較小，上下層溫差逐漸減小，達到一個相對均勻的狀態(tài)，但是后段時期歷時較長。對于鹽度曲線而言，模擬開始時由上層高鹽下層低鹽的初始狀態(tài)迅速發(fā)生振蕩，并在約3 380 s時達到一個基本線性分布的狀態(tài)，在之后的時間里，鹽度曲線逐漸向線性分布上修正，當模擬時長為5 h時，該直線上溫度和鹽度曲線如圖4所示。

對于模擬過程中直線上溫度和鹽度曲線變化的原因給出如下解釋：對于鹽指現(xiàn)象的初始條件而言，溫度分布是處于穩(wěn)定狀態(tài)的，而鹽度分布卻是處于非穩(wěn)定狀態(tài)的，在有擾動的條件下，上層水團向下運動，但鹽度的擴散速率遠小于熱擴散率，從而使得密度相對周圍的密度大，在重力作用下向下掉，并攜帶著熱量，但當鹽度基本達到一個穩(wěn)定狀態(tài)時，熱量的傳遞僅僅是依靠分子熱傳導，因此在此之后上下層溫差的減小就耗時較長。

2.2 不同粘滯系數(shù)對鹽指現(xiàn)象的影響

粘滯系數(shù)是與雷諾數(shù)、瑞利數(shù)相關的參量，且成反比關系，通過改變粘滯系數(shù)可以改變這兩個參量。模擬在固定ΔT=1 K,ΔS=0.1 g/kg的情況下，分別設置粘滯系數(shù)為1.0×10-7m2·s-1、1.0×10-6m2·s-1、1.0×10-5m2·s-1。當鹽指達到標準長度時，所對應的結(jié)果分別如圖3、5、6所示。

通過對比發(fā)現(xiàn)，隨粘滯系數(shù)的增大，對應的雷諾數(shù)、瑞利數(shù)相應地減小，鹽指的生長速度明顯變慢，鹽指的數(shù)目變小且寬度變大。由于流體本身具有粘性，隨著粘滯系數(shù)的增加，流體更為粘稠，流動更為緩慢，致使出現(xiàn)了這種現(xiàn)象。

2.3 熱瑞利數(shù)對鹽指現(xiàn)象的影響

如表1的參數(shù)設置所示，固定η=1.0×10-6m2·s-1，ΔS=0.1 g/kg，即RS=5.25×106，在這種條件下改變鹽指模型上下兩層的溫度差ΔT，以改變熱瑞利數(shù)RT。ΔT取0.8、1.0、1.2、1.4和1.6 K時，分別觀察鹽指現(xiàn)象生成的時間及鹽指數(shù)目的多少。溫度圖的指狀分布可以看成是由鹽度的擴散所引起的擾動，是物質(zhì)攜帶熱量的結(jié)果，因此，通常意義上的鹽指現(xiàn)象是鹽度在溶液中的指狀分布。在接下來的討論中，采用鹽度分布圖來觀察鹽指現(xiàn)象，ΔT=1.0 K的情況如圖3所示，其余模擬結(jié)果如圖7所示。鹽指現(xiàn)象生成的時間及數(shù)目如表3所示。

圖2 鹽指模擬100 s后的形態(tài)

圖3 鹽指模擬150 s后的形態(tài)

圖4 鹽指模擬5 h后直線x=0.05 m上的溫度(a)、鹽度(b)曲線圖

由表3可以看出，隨著熱瑞利數(shù)的增加(此時初始密度穩(wěn)定率Rρ0增加)，產(chǎn)生明顯鹽指現(xiàn)象的時間滯后，鹽指的數(shù)目增多。時間的滯后意味著鹽指現(xiàn)象生成的速率在降低，給出如下解釋：由于上下兩層溫差的增大，熱溶液向上流動的趨勢對鹽水向下流動的阻礙增強，致使鹽指現(xiàn)象的生成速率減慢。對于鹽指數(shù)目的增多，是由于溫度差的增加使熱瑞利數(shù)變大，單個指狀結(jié)構(gòu)的寬度變小，鹽指的數(shù)目增多。

(a)溫度分布圖；(b)鹽度分布圖

圖6 粘滯系數(shù)η=1.0×10-5m2·s-1時的溫度(a)、鹽度(b)圖

圖7 上下兩層溫差不同(熱瑞利數(shù)不同)情況下，鹽指達到標準長度時的鹽度分布圖

表3 不同熱瑞利數(shù)情況下出現(xiàn)明顯鹽 指現(xiàn)象的時間及鹽指的數(shù)目(ΔS=0.1 g/kg)

2.4 鹽瑞利數(shù)對鹽指現(xiàn)象的影響

如表2的參數(shù)設置所示，固定η=1.0×10-6m2·s-1,ΔT=1 K，即RT=1.40×107，在這種條件下改變鹽指模型上下兩層的鹽度差ΔS，以改變鹽瑞利數(shù)RS。ΔS取0.06、0.08、0.10、0.12、0.14 g/kg時，分別觀察鹽指現(xiàn)象生成的時間及鹽指數(shù)目的多少。模擬結(jié)果如圖8所示。鹽指現(xiàn)象生成的時間及數(shù)目如表4所示。

表4 不同鹽瑞利數(shù)情況下出現(xiàn)明顯鹽 指現(xiàn)象的時間及鹽指的數(shù)目(Δ T=1 K)Table 4 The time for the appearance of patchy salt fingers and the number of the salt finger with various salinity Rayleigh number (Δ T=1 K)

圖8 上下兩層鹽度差不同(鹽瑞利數(shù)不同)情況下，鹽指達到標準長度時的鹽度分布圖

從表4中的數(shù)據(jù)可以看出，在保持熱瑞利數(shù)不變的情況下，鹽瑞利數(shù)增加時(此時初始密度穩(wěn)定率Rρ0減小)，產(chǎn)生明顯鹽指現(xiàn)象所需的時間顯著減少，生成鹽指的數(shù)目變化卻不是很明顯，但是縮短的時間跨度逐漸降低，這說明鹽指的生成速度雖在增加，但其增加程度是不同的，且是逐漸變慢的。鹽指生成速度的增加可以理解為：在上下兩層溫度差不變的情況下，熱效應對鹽指向下擴散的阻礙相同，隨著鹽度差的增加，鹽度的不穩(wěn)定性逐漸增大，向下擴散的趨勢逐漸增強，因此鹽指的生成速度不斷增加。與熱瑞利數(shù)對鹽指數(shù)目影響不同的是，鹽瑞利數(shù)的改變對鹽指數(shù)目的影響較小，這是海水的熱擴散率和鹽擴散率不同造成的(熱擴散率比鹽擴散率大兩個量級)，因此熱瑞利數(shù)能夠較大地影響鹽指的數(shù)目。

3 結(jié)語

本文以海洋雙擴散對流為背景，在二維方腔模型中對鹽指現(xiàn)象進行了模擬研究，展示并解釋了鹽指的模擬結(jié)果。由于正反饋的存在，鹽指現(xiàn)象發(fā)生的時間很短，達到相對穩(wěn)定狀態(tài)之后，主要依靠熱擴散進行能量的輸運，耗時較長。

通過改變粘滯系數(shù)來改變流體的雷諾數(shù)、瑞利數(shù)，對比觀察，得出隨粘滯系數(shù)的增加(即雷諾數(shù)、瑞利數(shù)減小)，鹽指的演變速度變慢、鹽指生成數(shù)目減少且寬度增加。建立統(tǒng)一的標準，對不同熱瑞利數(shù)、鹽瑞利數(shù)情況下生成明顯鹽指現(xiàn)象的時間以及鹽指的數(shù)目進行統(tǒng)計，并對結(jié)果進行了對比分析，從而得出了這兩個參數(shù)對鹽指現(xiàn)象的影響效果。研究發(fā)現(xiàn)當熱瑞利數(shù)RT增加時，鹽指的生成速度會變慢，鹽指的數(shù)目會增多；而當鹽瑞利數(shù)RS增加時，鹽指的生成速度會變快。