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    試論化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

    2019-02-20 09:13:28周強(qiáng)鋒
    中國(guó)校外教育(下旬) 2019年1期
    關(guān)鍵詞:中學(xué)數(shù)學(xué)題目解題

    周強(qiáng)鋒

    【摘要】在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中,巧妙地運(yùn)用化歸思想,能夠?qū)⑸願(yuàn)W、復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化、明朗化,進(jìn)而方便學(xué)生逐層求解,大大提高了解題效率和準(zhǔn)確率?;诖耍榻B了化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用,以期為一線教師的教學(xué)工作提供理論指導(dǎo)。

    【關(guān)鍵詞】化歸思想高中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)策教師在授課過(guò)程中,為了讓學(xué)生順利地掌握化歸思想,首先要重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué),包括數(shù)學(xué)概念、定理、公式,以及知識(shí)的推導(dǎo)、證明過(guò)程,只有扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí),才能為化歸思想的運(yùn)用奠定良好基礎(chǔ)。同時(shí),教師也要注重?cái)?shù)學(xué)模型的構(gòu)建和講解,尤其是對(duì)于一些復(fù)雜、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)理論,可通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言將其數(shù)學(xué)邏輯呈現(xiàn)出來(lái),使學(xué)生準(zhǔn)確抓住數(shù)學(xué)理論的內(nèi)涵和實(shí)質(zhì),切實(shí)將其內(nèi)化為自己的知識(shí)。另外,在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上,教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題,使學(xué)生形成獨(dú)立思考的能力和習(xí)慣,這對(duì)于學(xué)生全面、系統(tǒng)地理解化歸思想的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)也有很大的幫助。

    一、化未知為已知

    一般來(lái)說(shuō),學(xué)生對(duì)于比較熟悉的問(wèn)題大都掌握了一定的解題套路,能夠快速地得出問(wèn)題的答案。但面對(duì)比較新穎、陌生的題目時(shí)往往無(wú)從入手,不得其門(mén)而入。事實(shí)上,很多新題目都是一些老題目經(jīng)過(guò)變形、包裝之后的產(chǎn)物,只要學(xué)會(huì)運(yùn)用化歸思想,就能將其返本還源,然后按照已知問(wèn)題的解題策略求解即可。美國(guó)數(shù)學(xué)家和教育家波利亞在其所著的《怎樣解題》一書(shū)中列出了一個(gè)解題表,在解決某問(wèn)題時(shí),先讓學(xué)生回想與該問(wèn)題相似的題型的解答策略,這樣就能調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和方法來(lái)解答問(wèn)題,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解題的突破點(diǎn),這其實(shí)就是運(yùn)用了化未知為已知的解題方法。

    例1:(2013全國(guó)新課標(biāo)卷I,理科第16題)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng),則f(x)的最大值為。

    解析:該題涉及四次函數(shù),且乍一看比較陌生,需要將函數(shù)中的高次整式進(jìn)行變形處理,轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式。首先,題干給出了函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸,可先根據(jù)這一條件求出a、b的值:

    因函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng),故有f(-4)=f(0),f(-1)=f(-3),即:

    b=-15(16-4a+b)(1)

    0=-8(9-3a+b)(2)

    聯(lián)立(1)和(2),可得a=8,b=15,則:

    f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)

    =(1-x)(1+x)(x+3)(x+5)

    =-(x-1)(x+5)(x+1)(x+3)

    =-(x2+4x-5)(x2+4x+3)

    =-[(x2+4x)-2(x2+4x)-15]

    令t=x2+4x,則f(x)=-t2+2t+15,t∈[-4,+∞]

    故f(x)在對(duì)稱(chēng)軸t=1處有最小值16。

    二、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

    復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化是中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的一種解題方法,對(duì)于乍看起來(lái)十分復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題,只要細(xì)細(xì)觀察和分析,通常都可以分解轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題,然后再解答起來(lái)就簡(jiǎn)單得多。這種解題策略在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范圍很廣,手段也多種多樣,如各類(lèi)公式的恒等變形、不同圖形的初等變換、正向思維的逆向轉(zhuǎn)化等。尤其是逆向思維的運(yùn)用,不但能夠提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度,還能鍛煉學(xué)生的思維靈活性,對(duì)于學(xué)生深刻掌握化歸思想有很大的幫助。

    例2:(2014浙江卷,文科第16題)已知實(shí)數(shù)a,b,c,滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值為。

    解析:這是一道最值求解題,但題目包含的字母參數(shù)較多,看起來(lái)比較復(fù)雜,學(xué)生如果以通常的最值求解思路進(jìn)行解答,很容易迷失方向。實(shí)際上,只要把待求最大值的a視為常量,將b和c視為變量,則題目條件就可以轉(zhuǎn)化為其他的形式,如解析幾何、方程、函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、平面向量、數(shù)列模型等,再解答起來(lái)就簡(jiǎn)單得多,下面僅列舉其中一種思路,即將原條件轉(zhuǎn)化為解析幾何模型,然后用化圓法求解。

    令b=x,c=y,則:x+y=-a,x2+y2=1-a2,若要使直線x+y=-a和圓x2+y2=1-a2有交點(diǎn),則圓心到直線的最大距離不能大于1-a2,即│a│2≤1-a2,可得:a2≤23,故a的最大值是63。

    三、結(jié)語(yǔ)

    化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容,其不僅能夠提高學(xué)生的解題能力,而且能夠促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。在教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)以實(shí)際教學(xué)內(nèi)容為基礎(chǔ),利用化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的方法,巧妙地將化歸思想融入到教學(xué)內(nèi)容體系中,使學(xué)生逐漸領(lǐng)略到這門(mén)思想的重要作用,進(jìn)而促進(jìn)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷提升。

    參考文獻(xiàn):

    [1]任衛(wèi)兵.當(dāng)“第一思路”阻滯之后——例談轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題教學(xué)中的運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015,(11).

    [2]余祚鑒.展示中學(xué)數(shù)學(xué)“化歸思想”神奇魅力[J].中學(xué)理科園地,2015,(02).

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