埃及齋月十日城鐵路工程獨(dú)立坐標(biāo)系分析與建立

湯 曦

(中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川成都 610031)

1 概述

埃及齋月十日城鐵路項(xiàng)目若采用埃及通用的ETM(Egyptian Transverse Mercator)坐標(biāo)系統(tǒng)[1，2]，投影長(zhǎng)度變形最大值將達(dá)38mm/km，不能滿足工程設(shè)計(jì)、施工需要。若采用分段計(jì)算縮放系數(shù)[3]抵消投影長(zhǎng)度變形，會(huì)造成各段縮放系數(shù)不一致，施工放樣較為麻煩，容易出錯(cuò)。為了解決埃及齋月十日城鐵路投影長(zhǎng)度超限的難題，研究了基于工程獨(dú)立坐標(biāo)系的投影方法。從投影方式與投影面高度兩個(gè)方面分析了投影長(zhǎng)度變形的原因，構(gòu)建了滿足鐵路設(shè)計(jì)與施工放樣要求的工程獨(dú)立坐標(biāo)系。選擇最小投影變形值對(duì)應(yīng)的中央經(jīng)線為工程獨(dú)立坐標(biāo)系的中央經(jīng)線；在該中央經(jīng)線下，獲取不同高程投影面的投影變形值，選擇最小投影變形值對(duì)應(yīng)的高程作為工程獨(dú)立坐標(biāo)系的投影面高程。

2 工程獨(dú)立坐標(biāo)系構(gòu)建方法

為減小高差和投影方式導(dǎo)致的邊長(zhǎng)變形對(duì)工程建設(shè)的影響，通常是在國(guó)家坐標(biāo)系橢球基本參數(shù)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用變動(dòng)中央子午線和抵償投影面的方法來(lái)建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系[4-8]。首先對(duì)投影長(zhǎng)度變形產(chǎn)生的原因進(jìn)行分析，然后提出建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系的流程。

2.1 投影長(zhǎng)度變形分析

投影長(zhǎng)度變形由投影變形和高程歸化變形兩部分組成。

(1)橢球面上的邊長(zhǎng)經(jīng)過(guò)某種投影方式投影到相應(yīng)平面上會(huì)引起長(zhǎng)度變形，稱(chēng)為相應(yīng)投影方式的投影變形[9-12]。針對(duì)TM投影，可按照公式(1)近似計(jì)算TM投影引起的投影變形值(ΔS)

其中，Ym為測(cè)距邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)的平均值/m；Rm為測(cè)距邊終點(diǎn)的平均曲率半徑/m。TM投影引起的投影變形變化趨勢(shì)如圖1所示。

圖1 TM投影變形示意

(2)實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)平均高程面的水平距離沿法線方向投影到相應(yīng)橢球面上會(huì)引起長(zhǎng)度變形，稱(chēng)為高程歸化變形[9-12]，可按照公式(2)近似計(jì)算高程歸化變形值(ΔD)

其中，Hp為現(xiàn)有坐標(biāo)系統(tǒng)投影面高程(大地高)/m；Hm為測(cè)距邊兩端點(diǎn)的平均高程(大地高)/m；Ra為參考橢球體在測(cè)距邊方向法截弧的曲率半徑/m。高程歸化變形隨投影面高度呈線性變化，投影面高度引起的長(zhǎng)度變形對(duì)角度沒(méi)有影響[10]，如圖2所示。

圖2 高程歸化變形變化趨勢(shì)

投影方式引起的投影變形與高程歸化變形之和，為投影長(zhǎng)度變形Δl，按照公式(3)計(jì)算

若測(cè)區(qū)距所設(shè)定坐標(biāo)系統(tǒng)的中央子午線較遠(yuǎn)或平均高程較大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致變形較大，不能滿足測(cè)量和工程放樣的需要。應(yīng)建立合適的工程獨(dú)立坐標(biāo)系，使變形控制在一個(gè)微小的范圍內(nèi)。

國(guó)內(nèi)城市軌道交通工程測(cè)量項(xiàng)目要求投影長(zhǎng)度變形不超過(guò)±25 mm/km[12]。若超過(guò)規(guī)定要求，可根據(jù)工程實(shí)際，建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系來(lái)減小投影長(zhǎng)度變形。

2.2 工程獨(dú)立坐標(biāo)系建立流程

以“投影長(zhǎng)度變形最大值”最小為原則建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系，為了達(dá)到該原則，公式(3)可變化為

將公式(4)簡(jiǎn)化，可變化為

其中:Ym為測(cè)距邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)的平均值/m；R為地理橢球長(zhǎng)軸/m；Hp為現(xiàn)有坐標(biāo)系統(tǒng)投影面高程(大地高)/m；Hm為測(cè)距邊兩端點(diǎn)的平均高程(大地高)/m。

結(jié)合圖1、圖2和公式(5)分析可知:TM投影方式下的投影長(zhǎng)度變形中，高程歸化變形影響較大。故在確定工程獨(dú)立坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)首先確定中央經(jīng)線，然后再確定投影面高程[13-14]。

3 實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 工程概況

埃及齋月十日城鐵路項(xiàng)目正線長(zhǎng)71.40 km，為雙線電氣化城市軌道交通線，設(shè)計(jì)速度120 km/h。線路從開(kāi)羅國(guó)際機(jī)場(chǎng)附近的Adly Mansour站出發(fā)，由西往東，止于Badr站(為線路A段)。之后由Badr站分岔往南北敷設(shè):往南，止于New Administrative Capital站(為線路B段)，A、B段里程貫通；往北，止于Ramadan1站(為線路C段)。線路位于31°24′E至31°48′E、30°01′N(xiāo)至30°14′N(xiāo)范圍內(nèi)，呈臥“T”字形，東西向長(zhǎng)約30 km，南北向長(zhǎng)約41 km。測(cè)區(qū)高程范圍約為60～320 m。線路設(shè)計(jì)高程最低點(diǎn)64.21 m，最高點(diǎn)296.66 m。測(cè)區(qū)內(nèi)高程異常值約16 m(見(jiàn)圖3)。

圖3 線路示意

3.2 ETM坐標(biāo)系統(tǒng)存在的問(wèn)題

依照埃及法律規(guī)定，在開(kāi)羅地區(qū)，工程坐標(biāo)系需采用埃及國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)ETM。其具體參數(shù)為:Helmert 1906橢球，長(zhǎng)半軸為6 378 200.0 m，扁率倒數(shù)為298.300 01；Transverse Mercator投影；中央經(jīng)線31E；緯度原點(diǎn)30N；東偏615 km，北偏810 km。

埃及齋月十日城鐵路項(xiàng)目測(cè)量工作依據(jù)《鐵路工程測(cè)量規(guī)范》(TB 10101—2009)[12]實(shí)施，要求投影長(zhǎng)度變形不超過(guò)±25 mm/km。按照ETM坐標(biāo)系計(jì)算設(shè)計(jì)線位上平曲線特征點(diǎn)(五大樁、橋隧出入端、車(chē)站出入端)和縱曲線特征點(diǎn)(變坡點(diǎn))的投影長(zhǎng)度變形值，分別繪制AB段和C段特征點(diǎn)的“里程-投影長(zhǎng)度變形值”曲線，如圖4所示。

由圖4可知:

(1)AB段和C段都有部分區(qū)域投影長(zhǎng)度變形值超過(guò)了25 mm/km的限差，最大值達(dá)38 mm/km。

(2)AB段特征點(diǎn)投影長(zhǎng)度變形值隨線路里程增加而增大，這與線路方案東西走向、離中央經(jīng)線距離越來(lái)越遠(yuǎn)有關(guān)。投影長(zhǎng)度變形值受投影方式引起的投影變形影響較大。

(3)C段各特征點(diǎn)投影長(zhǎng)度變形值基本相同，這與線路方案南北走向、各點(diǎn)離中央經(jīng)線距離較近有關(guān)。投影長(zhǎng)度變形值受高程歸化變形影響較大。

圖4 “里程-變形值”曲線

3.3 工程獨(dú)立坐標(biāo)系的建立

根據(jù)TM投影長(zhǎng)度變形的特性，可以通過(guò)改變中央經(jīng)線、增大/減小投影面高的方法建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系，降低投影長(zhǎng)度的變形值。AB段和C段投影長(zhǎng)度變形值分別受投影方式引起的投影變形和高程歸化變形影響較大，故分開(kāi)建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系。

(1)中央經(jīng)線的確定

為了初步確定工程獨(dú)立坐標(biāo)系中央經(jīng)線所在的區(qū)間，保持投影面高H=0不變，結(jié)合測(cè)區(qū)實(shí)際范圍，以6′和15′為間隔，在[31°00′E，32°00′E]區(qū)間內(nèi)選取中央經(jīng)線，建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系。分別計(jì)算各特征點(diǎn)在各工程獨(dú)立坐標(biāo)系中的“投影長(zhǎng)度變形最大值”和“最大值與最小值之間的差值”，如表1所示。

由表1可知:

(1)中央經(jīng)線從31°00′E遞增至31°30′E時(shí)，AB段各點(diǎn)投影長(zhǎng)度變形最大值及最大值與最小值的差值先遞減，后遞增。

(2)C段“里程-投影長(zhǎng)度變形值”曲線與橫軸近似平行，即各特征點(diǎn)投影長(zhǎng)度變形值近乎一致，幾乎不受中央經(jīng)線的影響。

(3)當(dāng)中央經(jīng)線為31°18′E時(shí)，AB段特征點(diǎn)的投影長(zhǎng)度變形最大值與最小值的差值最優(yōu)。

表1 特征點(diǎn)投影長(zhǎng)度變形值統(tǒng)計(jì)

故確定工程獨(dú)立坐標(biāo)系的中央經(jīng)線為31°18′E。

(2)投影面高程的確定

在選擇中央經(jīng)線為31°18′E的情況下，為了優(yōu)化工程獨(dú)立坐標(biāo)系，可以通過(guò)改變投影面高來(lái)減小投影長(zhǎng)度的變形值，即通過(guò)特征點(diǎn)的投影長(zhǎng)度變形最大值與最小值的差值近似確定。

由公式(2)推算可知:“高程歸化變形值變化量/投影面高程變化量”為1 mm/6.3 m。故:AB段需要將投影面高程增高≈155 m；C段需要將投影面高程增高

為了進(jìn)一步優(yōu)化投影面高，在[0，200]區(qū)間內(nèi)以5 m為間隔選擇投影面高，建立工程獨(dú)立坐標(biāo)系。分別計(jì)算各特征點(diǎn)在各工程獨(dú)立坐標(biāo)系中的投影長(zhǎng)度變形最大值。繪制“投影面高-投影長(zhǎng)度變形最大值的絕對(duì)值”曲線，如圖5所示。

經(jīng)過(guò)分析，當(dāng)中央經(jīng)線為31°18′E時(shí):

(1)投影面高為155 m時(shí)，AB段的投影長(zhǎng)度變形最大值最小，為-18.77 mm，最優(yōu)。當(dāng)投影面高相對(duì)155 m增加或者減少時(shí)，投影長(zhǎng)度變形最大值變大；C段投影長(zhǎng)度變形值為18.03 mm。

(2)投影面高為70 m時(shí)，C段的投影長(zhǎng)度變形最大值最小，為-5.46 mm，最優(yōu)。當(dāng)投影面高相對(duì)70 m增加或者減少時(shí)，投影長(zhǎng)度變形最大值變大；AB段投影長(zhǎng)度變形值為32.09 mm。

考慮到設(shè)計(jì)、施工的便利性，在保證精度的前提下，所選取的工程獨(dú)立坐標(biāo)系應(yīng)盡量相同，故選擇中央經(jīng)線為31°18′E、投影面高為155 m建立埃及齋月十日城鐵路項(xiàng)目工程獨(dú)立坐標(biāo)系。

圖5 “投影面高-投影長(zhǎng)度變形值最大值”曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

介紹了TM投影長(zhǎng)度變形值產(chǎn)生的原因和控制方法，結(jié)合埃及齋月十日城鐵路項(xiàng)目，提出以投影長(zhǎng)度變形最大值最小為判斷依據(jù)，得到了最優(yōu)的中央子午線經(jīng)度31°18′E及投影面高程155 m，全線的投影長(zhǎng)度變形值:AB段為-18.77 mm/km～18.26 mm/km，C段為7.86 mm/km～18.03 mm/km，滿足工程設(shè)計(jì)和施工放樣的需要。