高中數(shù)列部分課程難度的定量分析比較

摘 要：了解數(shù)列在高考中的常考題型及考察重點(diǎn)，有助于幫助學(xué)習(xí)了解數(shù)列學(xué)習(xí)的重點(diǎn)及解題策略。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)一個比較特殊的存在，它看似自成體系，實(shí)則與其他知識有很大的相關(guān)性，所以對數(shù)列難度的分析可以為學(xué)生的學(xué)習(xí)指明方向。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；定量；課程

數(shù)列在整個高中課本當(dāng)中所占的內(nèi)容比較少，在人教A版中只占一章的內(nèi)容。但數(shù)列題在高考當(dāng)中所占分值不小，數(shù)列的知識與其他數(shù)學(xué)知識有密切的聯(lián)系，比如數(shù)、方程、不等式、函數(shù)等，高考題中最后的解答題也經(jīng)常出現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)結(jié)合的題目。而且數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，例如，堆放物品總數(shù)的計算、儲蓄、分期付款等有關(guān)計算也要用到數(shù)列知識，學(xué)生學(xué)好數(shù)列，對于培養(yǎng)數(shù)學(xué)分析能力、歸納能力、猜想能力及綜合運(yùn)用知識解決問題的能力都有幫助。因此這部分內(nèi)容雖然比較少，但在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)中處于一個知識匯總的地位，又由于在高考應(yīng)用題當(dāng)中出現(xiàn)得較多，所以在高中數(shù)學(xué)中占有較重要的地位。

一、 高中數(shù)列內(nèi)容的難度分析

數(shù)列的內(nèi)容位于必修五第二章，是在三角函數(shù)、算法、函數(shù)等的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，在一定程度上是會結(jié)合以上知識的綜合運(yùn)用，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ)，如數(shù)學(xué)歸納法，以及高等數(shù)學(xué)中數(shù)列的極限、級數(shù)等，為學(xué)生接受高等數(shù)學(xué)教育提供了基本的知識背景，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的連接點(diǎn)。數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，它不僅與其他知識有重要聯(lián)系，而且還有非常鮮明的現(xiàn)實(shí)價值，例如在計算機(jī)病毒感染問題、購房中的數(shù)學(xué)等問題，都會用到數(shù)列。以下從難度上分析數(shù)列各知識點(diǎn)。

（一） 記憶水平的知識點(diǎn)

數(shù)列的概念和簡單的表示方法需要簡單了解，如列表法、圖像法和通項(xiàng)公式，這部分內(nèi)容需要兩個課時。這部分的知識點(diǎn)的考查一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，所占分值不多。

（二） 理解水平的知識點(diǎn)

等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)的和的公式需要認(rèn)真掌握。這部分內(nèi)容在講授時需要用8個課時。這些是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。數(shù)列中有類比、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、算法、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，這些數(shù)學(xué)思想對教學(xué)有促進(jìn)和指導(dǎo)作用，能幫學(xué)生將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為技能，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有重要的作用。

（三） 探究水平的知識點(diǎn)

數(shù)列是在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù)，是一類離散函數(shù)，是刻畫離散現(xiàn)象的一個重要數(shù)學(xué)模型，這是理解數(shù)列的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。因?yàn)橐话愫瘮?shù)都是連貫性的，在數(shù)軸上呈一條連貫的曲線，而數(shù)列的特殊性就在于它的不連續(xù)性，它是由許多分散的點(diǎn)組成的。具體要求就是能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、數(shù)列的知識解決問題；能理解數(shù)列通項(xiàng)公式、遞推公式，靈活運(yùn)用公式，構(gòu)造數(shù)列解決問題以及在數(shù)列中的不等式思想等。

二、 高考中數(shù)列的題型及解答策略

高考中對數(shù)列內(nèi)容的考查以中等及中等以上難度的題目為主，在課改之前，一般是在壓軸題中出現(xiàn)，在課改之后，對數(shù)列的考查難度有所降低，在題型上筆者做了以下總結(jié)：2010～2016年全國卷中，有7次是選題題，有4次是解答題，有5次是填空題，考查的知識點(diǎn)以理解和探究水平為主，包括：通項(xiàng)公式、遞推數(shù)列以及數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合等問題。每年高考試卷中數(shù)列所占分值是6.7%～11.3%?？煽吹?，數(shù)列的內(nèi)容是必考的，而且所占分值都不小，一個解答題就是12分，填空和選擇題是5分，總分值在10～17分。每個數(shù)列題的解答要具體情況具體分析，方法有很多，但從大的方向來說，解答策略可以從以下兩個方面入手。

（一） 對于熟知的記憶性的問題，直接套用公式

例如，等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)定義、性質(zhì)、能項(xiàng)公式、前n項(xiàng)的和的公式，an與sn的關(guān)系，常見的數(shù)列求和方法（倒序相減法、錯位相減法、列項(xiàng)相消法、分組求和法），遞推數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法、待定系數(shù)法等），這些都是直接套用公式或進(jìn)行簡單的知識遷移就可以做到的。

（二） 對于陌生的數(shù)列問題

在解題時主要有兩個思路，第一，將陌生的數(shù)列問題運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的方法轉(zhuǎn)化成熟悉的問題來解決。

例如2016年全國卷Ⅰ理15中的一道數(shù)列題，“設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值是多少”這個數(shù)列是等比數(shù)列，也給出了兩個等式，我們就可以將兩個等式轉(zhuǎn)化為兩個方程，然后再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行考慮，使用基本量法，統(tǒng)一未知數(shù)，列方程組，通過觀察兩式相比即可解方程求出公比和首項(xiàng)，進(jìn)行求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而通過指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)寫出解析式，使用復(fù)合函數(shù)求最值就可以求解了。

第二是歸納法找規(guī)則，寫出數(shù)列的通項(xiàng)式，找規(guī)律。

例如，2016年全國卷Ⅲ，理12，定義規(guī)范01數(shù)列{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有多少個？

A. 18個 B. 16個 C. 14個 D. 12個

第一眼看到這個題就感覺很難，其實(shí)仔細(xì)一看，你會發(fā)現(xiàn)這是一道以數(shù)列為背景的計數(shù)原理的應(yīng)用，考核學(xué)生對新定義的理解和運(yùn)用，側(cè)重于對學(xué)生的分析、解決問題能力的考查。這是一個“新”題，難度并不大。

高考數(shù)學(xué)對數(shù)列方面考查和難度決定了學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過程中，不僅要掌握數(shù)列的基本知識，還要會靈活、綜合地運(yùn)用這些知識去解決實(shí)際問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳定能.貴州省高中數(shù)學(xué)高考數(shù)列試題研究[D].貴州師范大學(xué)，2017.

[2]談榮.高中學(xué)生數(shù)列極限認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究[D].上海師范大學(xué)，2015.

作者簡介：

達(dá)志海，甘肅省武威市，甘肅省古浪縣第一中學(xué)。