小雷諾數(shù)下彈性圓柱殼行波振動(dòng)問題研究

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(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

0 引言

工程中存在大量有關(guān)振動(dòng)的問題，如海洋柔性結(jié)構(gòu)的渦激振動(dòng)[1-2]、大型冷卻塔風(fēng)致響應(yīng)[3-4]、 橋梁結(jié)構(gòu)的自振[5]以及水下航行器的振動(dòng)[6]等.其中，水下推進(jìn)器的推進(jìn)機(jī)理研究日益成為科研工作者的研究熱點(diǎn)之一，涉及海洋、船舶、核動(dòng)力、機(jī)械及生物工程等多個(gè)學(xué)科.現(xiàn)有的主要為人工機(jī)械推進(jìn)結(jié)構(gòu)，如螺旋槳推進(jìn)、葉輪推進(jìn)、射流推進(jìn)等.在推進(jìn)靈活性、穩(wěn)定性和效率等方面與魚類的推進(jìn)方式相比有著巨大的提高空間.根據(jù)Lighthill對(duì)水生動(dòng)物的運(yùn)動(dòng)方式分類，波動(dòng)擺動(dòng)推進(jìn)是其中的一類，且大部分魚類采用該運(yùn)動(dòng)形式[7-8].

文獻(xiàn)[9]建立了研究魚類勻速直線推進(jìn)的“抗力水動(dòng)力學(xué)模型”，該理論模型忽略慣性力，利用魚體與流體的靜力學(xué)平衡研究魚體的動(dòng)力學(xué)，適應(yīng)于低雷諾數(shù)的情況.隨后，Lighthill提出“非穩(wěn)態(tài)細(xì)長體理論”[10]、“伸長體理論”[11]和“大擺幅伸長體理論”[12]，用來研究柔性波動(dòng)板波動(dòng)推進(jìn)特征.文獻(xiàn)[13-14]考慮了板面展向變形對(duì)波動(dòng)柔性板推進(jìn)性能的影響，并使用波動(dòng)板模型和最佳運(yùn)動(dòng)理論研究新月形尾的推進(jìn)特性.

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)相關(guān)理論進(jìn)行了廣泛的研究，取得了一些成果，但由于問題的復(fù)雜性，對(duì)水中生物的推進(jìn)機(jī)理還需進(jìn)一步深入研究.本文嘗試將水中生物看作彈性圓柱殼體，并假設(shè)圓柱殼長度足夠長，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于半徑，將其近似為無限長圓柱殼.黏性流體中圓柱殼的擺動(dòng)采用行波狀運(yùn)動(dòng)表示，根據(jù)相容拉格朗日-歐拉法求解出的流函數(shù)表達(dá)式，計(jì)算出流體壓力、單位面積上的功率以及有效作用系數(shù)等.

1 黏性流體相容拉格朗日-歐拉法基本方程

假設(shè)流體雷諾數(shù)遠(yuǎn)小于1，同黏性成分相比，流體的納維-斯托克斯方程中慣性項(xiàng)可以忽略.在圓柱坐標(biāo)系(r,θ,z)中，與θ無關(guān)的二維流體運(yùn)動(dòng)的納維-斯托克方程近似為斯托克斯方程[15]

(1)

接觸面運(yùn)動(dòng)方程[16]為

(2)

(3)

其中：ψ為流函數(shù)，滿足rvz=?ψ/?r，rvr=-?ψ/?z；ul(l=r,z)為變形前空間點(diǎn)處位移矢量沿坐標(biāo)軸方向的分量；R為圓柱殼半徑；t為時(shí)間.

圓柱殼體表面行波振動(dòng)形式為

(4)

式中：α=2π/λ；ω=cα；λ和c為波的長度及速度；Zn和Rn為振幅.

2 方程的解

式(1)中消去壓力p得到方程

ψ=0，

(5)

方程(5)有解

(6)

其中：An、Bn為待定參數(shù)；K0、K1是麥克唐納函數(shù)[17]；V0是與時(shí)間無關(guān)、相對(duì)于不動(dòng)坐標(biāo)系無窮遠(yuǎn)處流體的運(yùn)動(dòng)速度，由給定問題及系數(shù)An和Bn同時(shí)確定，即相對(duì)于無窮遠(yuǎn)處不動(dòng)的流體而言，殼的推進(jìn)速度等于-V0.

(7)

其中：

流函數(shù)得到確定.

經(jīng)編程分析可知，N取值不同，計(jì)算結(jié)果的具體數(shù)值稍有不同，但變化規(guī)律一致，取N=1計(jì)算分析.由式(1)可得壓力的表達(dá)式為

μ2vzdz=μ2(?ψ/r?r)dz，

取N=1，則

單位寬度圓柱面上，一個(gè)波長運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的功率[18]為

(αz-ωt)，

其中：

為圓柱表面上的應(yīng)力[19].取N=1，可得

(8)

在αR較大時(shí)，取N=1，利用K0、K1的漸近表達(dá)式，由式(7)和(8)可得到薄板振動(dòng)時(shí)無窮遠(yuǎn)處流體速度V0和功率E分別為：

(9)

E=μω2α(R12+Z12).

(10)

薄板表面上所產(chǎn)生的拉力，采用近似式[20]

T=2μαV0，

(11)

將式(9)代入式(11)，得到

(12)

除了速度V0及拉力T之外，有效作用系數(shù)為波形運(yùn)動(dòng)的重要特性.按時(shí)間平均有效作用的流體動(dòng)力系數(shù)，表達(dá)式[20]為

(13)

將式(9)、(10)和(12)代入式(13)，不考慮α，可得無量綱有效作用系數(shù)

.

(14)

3 結(jié)果分析

表1給出了圓柱殼以行波形式振動(dòng)，振幅R1和Z1取不同數(shù)值時(shí)，殼體表面流體壓力p和功率E的數(shù)值.表中未標(biāo)明的參數(shù)分別取值為：ω=π rad/s，μ=1×10-2Pa·s，R=0.5 m，α=2 m-1.可以看出， 壓力p主要受縱向振動(dòng)振幅Z1的影響，而功率E受橫向振動(dòng)和縱向振動(dòng)振幅R1和Z1的影響都很大.

圖1 薄板振動(dòng)時(shí)有效作用系數(shù)與振幅比值R1/Z1之間關(guān)系Fig.1 Relation between efficiency parameter and quotient of amplitudes R1/Z1 while the sheet vibrating

Z1/mR1/mp/PaE/W 1×10-3 1×10-3-6.28×10-5-6.98×10-7 1×10-3 0-6.51×10-5-0.99×10-7 0 1×10-3 0.23×10-5-2.11×10-7 1×10-3 3×10-3-5.82×10-5-31.6×10-7 3×10-3 1×10-3-19.3×10-5-22.6×10-7 3×10-3 3×10-3-18.8×10-5-62.8×10-7-1×10-3 1×10-3 6.74×10-5 0.78×10-7 1×10-3-1×10-3-6.74×10-5 0.78×10-7

4 結(jié)束語

本文采用相容拉格朗日-歐拉法求解彈性圓柱殼行波振動(dòng)，給出了殼體的推進(jìn)速度、流體壓力、單位面積上的功率以及有效作用系數(shù)等，初步分析了振幅對(duì)薄板有效作用系數(shù)、圓柱殼壓力和功率的影響.