平面磁場的磁感應(yīng)線

盧軍強(qiáng) 翟 峰

(浙江師范大學(xué)物理系,浙江 金華 321004)

在數(shù)學(xué)物理方法的教材[1,2]中，解析函數(shù)的一個典型應(yīng)用是平面(靜)電場。借助復(fù)位勢可以方便地畫出平面電場的電場線和等勢線。作為平面電場的對偶，平面磁場的討論卻不多見。無限長的通電圓筒 (電流均勻分布)、通電直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場都是平面磁場。一根無限長的磁鐵，當(dāng)磁化強(qiáng)度均勻分布時，產(chǎn)生的磁場也是平面磁場。本文擬討論平面磁場的基本性質(zhì)，通過與平面電場的比較，發(fā)現(xiàn)平面磁場的磁感應(yīng)線與相應(yīng)特定平面電場的等勢線重合。

1 平面磁場和平面電場形式對應(yīng)關(guān)系

為方便起見，考慮平行于xOy平面的平面磁場和平面電場，它們具有形式

由磁場的高斯定理和安培環(huán)路定律可導(dǎo)出

產(chǎn)生平面磁場式(1)的電流密度場j只有z分量jz，它是傳導(dǎo)電流密度和磁化電流密度之和。

由靜電場的高斯定理和環(huán)路定理可導(dǎo)出

其中ρ(x,y)是產(chǎn)生平面電場式(2)的帶電體的電荷密度分布。

不難驗(yàn)證，若作替換μ0jz→ρ/ε0，(Bx,By)→(-Ey,Ex)，則式(3) 變?yōu)槭?6)，式(4)變?yōu)槭?5)。這表明：由電流密度是jz(x,y)ez的電流場產(chǎn)生的平面磁場式(1)，與由電荷密度是ρ=jz/c的帶電體產(chǎn)生的平面電場式(2)存在聯(lián)系：

Bx=-Ey/c,By=Ex/c

(7)

我們知道[1,2]，平面電場在無源區(qū)可由解析函數(shù)描述。由對應(yīng)關(guān)系式(7)可知，在電流密度為零的區(qū)域D，平面磁場式(1)也可由解析函數(shù)描述，它對應(yīng)解析函數(shù)fB(x+iy)=By(x,y)+iBx(x,y)，式(3)和式(4)則給出柯西-黎曼條件。若區(qū)域D是單連通的，則fB存在原函數(shù)wB=U+iV。由w′B=By+iBx可知wB虛部V的等值線是磁感應(yīng)線。wB的實(shí)部U代表什么物理量？一個答案與式(1)的某種磁矢勢A=Az(x,y)ez有關(guān)。由B=×A得出因此，Az與-U只相差一個常數(shù)。

我們基于對應(yīng)關(guān)系式(7)討論平面磁場的磁感應(yīng)線。磁場式(1)的磁感應(yīng)線滿足微分方程組

(8)

其中，s為磁感應(yīng)線相對于某個點(diǎn)的弧長。考慮與此平面磁場對應(yīng)的平面電場，它的等勢線在直角坐標(biāo)為 (x,y,z) 的點(diǎn)處的切線與Exex+Eyey垂直，即與-Eyex+Exey平行。固定切線沿-Eyex+Exey方向，可得等勢線滿足的微分方程組

(9)

由對應(yīng)關(guān)系式(7)，微分方程組式(8)和式(9)完全相同。因此平面磁場的磁感應(yīng)線和與之對應(yīng)的平面電場的等勢線重合。這里沒有考慮磁感應(yīng)線的走向。后者可由磁感應(yīng)線與電流線套鏈的右手法則來確定。

2 例： 3根彼此平行的通電直導(dǎo)線共同產(chǎn)生的磁場

目前有很多軟件(Matlab、Mathematica等) 能輕而易舉地繪制等勢線。因此，我們的結(jié)論對繪制平面磁場的磁感應(yīng)線是很有意義的。作為一個簡單的例子，考慮3根彼此平行的通電直導(dǎo)線共同產(chǎn)生的磁場B3l。這3根導(dǎo)線和xOy平面的交點(diǎn)分別是(x1,y1)=(-1,0),(x2,y2)=(1,0),(x3,y3)=(0,1)，載荷的電流是I1=I,I2=-2I,I3=I(I>0,采用國際單位制)。對應(yīng)的平面電場由三根均勻帶電直線產(chǎn)生，電荷線密度分別為λk=Ik/c,1≤k≤3，產(chǎn)生的電勢是U(x,y)=

圖1 3根分別載流I, -2I，I的直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場

圖2 3根都載流I的直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場

3 結(jié)語

本文通過討論平面磁場與平面電場的基本性質(zhì)以及它們之間的形式上的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)平面磁場的磁感應(yīng)線與相應(yīng)特定平面電場的等勢線重合；我們的發(fā)現(xiàn)為繪制平面磁場的磁感應(yīng)線提供了一種簡易方法。