一維單點(diǎn)位置缺陷分離時(shí)間量子行走的傳輸特性

薛燕,李志堅(jiān)

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

經(jīng)典隨機(jī)行走描述了一個(gè)粒子在離散空間的隨機(jī)運(yùn)動,并且作為統(tǒng)計(jì)工具,被廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)以及生物學(xué)[1]等領(lǐng)域。量子行走是經(jīng)典隨機(jī)行走的量子推廣。與隨機(jī)行走相比,由于量子態(tài)的疊加性和干涉效應(yīng),量子行走表現(xiàn)出許多不同于隨機(jī)行走的性質(zhì)[2]。利用這些性質(zhì),量子行走已經(jīng)被應(yīng)用于開發(fā)量子算法[3-4],使得計(jì)算效率與經(jīng)典的算法相比提高了很多,量子行走已被證明可以用來實(shí)現(xiàn)一般量子計(jì)算[5]。人們也利用量子行走建模,研究諸如光合作用中的能量傳輸[6]、安德森局域化[7]、拓?fù)湎郲8-9]等一些生物、物理現(xiàn)象。因此,量子行走為模擬、了解和控制各種物理和生物系統(tǒng)的動力學(xué)過程奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。與此同時(shí),近年來在實(shí)驗(yàn)上也通過使用囚禁離子[10]、中性原子[11]、核磁共振[12],波導(dǎo)[13]和光子[14]等不同系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了量子行走。這些成就吸引了更多的人來關(guān)注量子行走,利用量子模擬復(fù)雜的物理過程并期待實(shí)現(xiàn)高效的量子計(jì)算。

除了量子行走的應(yīng)用,量子行走本身也作為一個(gè)研究對象被人們做了詳細(xì)的研究。理想情況下,它的傳播行為是彈道傳輸,有更快的擴(kuò)展速度。作為一個(gè)量子系統(tǒng),它的性質(zhì)也會受到外界環(huán)境的顯著影響,文獻(xiàn)[15-18]已經(jīng)研究了退相干效應(yīng)的影響,結(jié)果顯示在退相干的影響下,量子行走的傳播行為會轉(zhuǎn)化為經(jīng)典隨機(jī)行走的擴(kuò)散行為。量子系統(tǒng)的無序或缺陷會改變量子的干涉模式,這既會導(dǎo)致量子行走的傳播行為向經(jīng)典行為的過渡,也會使得量子行走出現(xiàn)局域化現(xiàn)象[19-20]。文獻(xiàn)[21-25]分別研究了量子行走在一維和多維格點(diǎn)線上的傳播行為,其中在格點(diǎn)線上的某一點(diǎn)量子行走會得到一個(gè)附加的相位,這一相位可以等效為量子系統(tǒng)哈密頓量中的單粒子勢能。本文中,我們通過改變硬幣算符中表示粒子反射概率幅的參數(shù)來描述格點(diǎn)缺陷,研究一個(gè)位置格點(diǎn)的缺陷對一維格點(diǎn)線上量子行走的影響,首先解析地計(jì)算了量子行走在此位置缺陷下的本征態(tài),然后由此解釋量子行走在此一維缺陷格點(diǎn)線上的傳輸行為出現(xiàn)的局域化現(xiàn)象。

1 單點(diǎn)位置缺陷分離時(shí)間量子行走模型及其本征束縛解

一維分離時(shí)間量子行走定義在硬幣空間Hc和位置空間Hw的直積希爾伯特空間上,其中硬幣空間Hc是二維的,其兩個(gè)基矢態(tài){|↑〉,|↓〉}決定著量子行走在位置空間上行走的方向,位置空間Hw由一維格點(diǎn)對應(yīng)的態(tài)矢量{|x〉}(x∈Ζ)張開。分離時(shí)間量子行走的每一步時(shí)間演化算符U由硬幣算符C和條件平移算符S相繼作用得到

U=S(C?I) ，

(1)

其中I是位置空間的單位算符,條件平移算符S為

〈↑|?|x-1〉〈x|+|↓〉〈↓|?|x+1〉〈x|) ，

(2)

C為二維硬幣算符。若量子行走的初態(tài)為|Ψ(0)〉,則經(jīng)過t步演化后有:

|Ψ(t)〉=Ut|Ψ(0)〉

(3)

格點(diǎn)位置缺陷可以通過條件平移算符引入也可通過硬幣算符引入,這里我們定義一個(gè)位置相關(guān)的硬幣算符C(x),

(4)

其中r(x)表示量子行走在位置格點(diǎn)x處的反射概率幅,若只有在x=n處,量子行走的反射不同于其他格點(diǎn),則相當(dāng)于引入了一個(gè)單點(diǎn)的位置缺陷。本文中我們在其他格點(diǎn)運(yùn)用Hadamard硬幣算符,在x=n格點(diǎn)處引入一個(gè)任意參數(shù)r,即有

(5)

r∈[0,1]。整個(gè)系統(tǒng)的一步時(shí)間演化算符為

(6)

顯然,格點(diǎn)位置缺陷使得系統(tǒng)在位置空間中的平移對稱性遭到破壞,相應(yīng)的量子行走在單點(diǎn)位置缺陷處可能出現(xiàn)局域本征態(tài)。

(7)

?|x〉.

(8)

把方程(8)代入方程(7)得概率幅αx和βx滿足的方程為:

(9)

(10)

(11)

(12)

2λαx=αx+2+βx+2+αx-βx,x≠n,n-2 ，

(13)

2λβx=αx+βx-αx-2+βx-2,x≠n,n+2.

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

由方程(19)和(20),得到關(guān)系式

(21)

再把方程(21)代回方程(19),得到遞推方程

(22)

方程(22)的一般通解可表示為

(23)

(24)

方程(24)代入方程(22)得到特征方程

λy2-2(λ2-λ+1)y+λ=0.

(25)

(26)

(27)

(28)

把方程(24)和(26)代入方程(27)和(28)得到:

(29)

(30)

利用方程(24)、(26)、(29)和(30),由方程(15)和(16)分別得到

(31)

(32)

上述兩方程聯(lián)立,得到缺陷格點(diǎn)處束縛解滿足的特征方程:

(33)

方程(33)與方程(25)聯(lián)立,求得本征值λ和y的表達(dá)式為

(34)

(35)

(36)

因此,最后可以得到量子行走在格點(diǎn)空間中對應(yīng)本征值λ±的束縛態(tài)解

?|x〉 ,

(37)

(38)

(39)

2 一維單點(diǎn)位置缺陷分離時(shí)間量子行走的傳輸特性

上一節(jié)我們求出了一維格點(diǎn)線上某個(gè)點(diǎn)的反射幅出現(xiàn)缺陷時(shí)量子行走的本征束縛解,現(xiàn)在通過量子行走的幾率分布和位置偏差來討論束縛本征態(tài)對量子行走傳輸特性的影響。

Fig.1 (a)-(f) show the probability distributions of one-dimensional discrete timequantum walk for different defect values r,when a single-point position defect is located at the origin.Subfigure (d) gives the probability distribution of Hadamard quantum walk without single-point position defect. Solid blue lines and dashed red lines are corresponding to initial symmetric state |Ψs〉 and asymmetric state|Ψas〉,respectively.(a)-(f)分別對應(yīng)不同反射參數(shù)r的取值,其中(d)正是無缺陷的Hadamard量子行走概率分布;圖中藍(lán)實(shí)線和紅虛線分別對應(yīng)初始對稱態(tài)|Ψs〉和不對稱態(tài)|Ψas〉圖1 當(dāng)單點(diǎn)位置缺陷位于原點(diǎn)x=0處時(shí),一維分離時(shí)間量子行走在位置空間中的概率分布圖。

P0=|〈↑,0|ψ+〉〈ψ+|Ψ(0)〉|2+|〈↓,0|ψ+〉〈ψ+|Ψ(0)〉|2+

|〈↑,0|ψ-〉〈ψ-|Ψ(0)〉|2+|〈↓,0|ψ-〉〈ψ-|Ψ(0)〉|2,

(40)

Fig.2 The ratio of variances for one-dimensional discrete time quantum walk withdifferent defect values r and that without defect varies with the time steps. (a) and (b) are corresponding to initial state |Ψs〉 and |Ψas〉,respectively.圖2 當(dāng)單點(diǎn)位置缺陷位于原點(diǎn)x=0處時(shí)，在不同缺陷反射參數(shù)r下，一維分離時(shí)間量子行走的位置偏差與沒有位置缺陷的位置偏差的比值隨時(shí)間t的變化曲線，(a)和(b)分別對應(yīng)初始對稱態(tài)|Ψs〉和不對稱態(tài)|Ψas〉

Fig.3 (a)-(f) show the probability distributions of one-dimensional discrete timequantum walk for different defect value r,when a single-point position defect is located at the position x=3.Subfigure (d) gives the probability distribution of Hadamard quantum walk without single-point position defect.Solid blue lines and dashed red lines are corresponding to initial symmetric state |Ψs〉 and asymmetric state |Ψas〉,respectively.圖3 當(dāng)單點(diǎn)位置缺陷位于x=3處時(shí)，一維分離時(shí)間量子行走在位置空間中的概率分布圖。(a)-(f)分別對應(yīng)不同反射參數(shù)r的取值，其中(d)是無缺陷的Hadamard量子行走概率分布；圖中藍(lán)實(shí)線和紅虛線分別對應(yīng)初始對稱態(tài)|Ψs〉和不對稱態(tài)|Ψas〉。

3 結(jié)論