一階非瞬時脈沖微分方程邊值問題

姚美萍,胡靜

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

近年來,脈沖微分方程理論已成為一個重要的研究領(lǐng)域[1-4]。非瞬時脈沖微分方程作為一類新型脈沖理論,自2013年由Hernndez和O’Regan在文獻[5]中首次提出并給出相關(guān)理論后,文獻[6-12]及其參考文獻研究了非瞬時脈沖微分方程解的存在性理論。單調(diào)迭代技術(shù)結(jié)合上下解方法是研究微分方程解的存在性的一個重要工具,近年來一直被學(xué)者們所關(guān)注[13-17]。但將單調(diào)迭代技術(shù)應(yīng)用到非瞬時脈沖微分方程解的存在研究相對較少[18-19]。本文考慮了一階非瞬時脈沖微分方程邊值問題。

(1)

其中,fk∈C((sk,tk+1]×R,R),k=0,1,…,p,φk∈C((tk,sk]×R×R,R),k=1,2,…,p,0=s00和T∈R.

定義1 稱α(t)是問題(1)的一個下解。若α∈PC1([0,T])且滿足

若上述不等式反號,可定義問題(1)的一個上解。

考慮線性非瞬時脈沖微分方程邊值問題

(2)

其中Mk∈R,l>0,σk∈C((sk,tk+1],R),k=0,1,…,p,Lk,Kk,φk∈C((tk,sk],R),k=1,2,…,p.

其中0≤s≤t≤T,i≤k,k=0,1,…,p+1和i=1,2,…,p+1.

由分析技巧,可得如下關(guān)于問題(2)解的存在唯一性結(jié)論。

引理1 當(dāng)le-MpTG1,p(sp,0)≠1時,問題(2)存在唯一解。

證明首先由歸納法可知脈沖微分方程

(3)

在初始條件m(0)=m0下有唯一解m(t)如下

(4)

因此

結(jié)合邊界條件m(0)=lm(T)以及l(fā)e-MpTG1,p(sp,0)≠1,有

將m0代入(4),即可知問題(2)有唯一解存在。引理證畢。

注1 引理1證明中的表達式(4)給出了非瞬時脈沖微分方程初值問題解的統(tǒng)一表達式,而在已有非瞬時脈沖微分方程的相關(guān)文獻中只是給出了解在每個小區(qū)間上的表達式,并且每個小區(qū)間上解的表達式依賴于解在前一個小區(qū)間上的值。

引理2 假設(shè)m∈PC1([0,T])且滿足

其中Mk∈R,l>0,Kk∈C((tk,sk],(-∞,1)),Lk∈C((tk,sk],R+).若

le-MpTG1,p(sp,0)<1

(5)

則m(t)≤0,t∈[0,T].

證明令方程(3)中的σk(t)≤0,φk(t)≤0,則由(4)式可知方程(3)的解m(t)有如下估計

m(t)≤m(0)e-MktG1,k(sk,0).

(6)

結(jié)合m(0)≤lm(T),有

由條件(5)可知m(0)≤0.進一步由(6)可得m(t)≤0,t∈[0,T].引理證畢。

方便起見,列出以下所需條件。

(H1) 函數(shù)α,β∈PC1([0,T])分別是問題(1)的下解和上解且α(t)≤β(t),t∈[0,T].

(H2) 對k=0,1,…,p,函數(shù)fk∈C((sk,tk+1]×R,R)且存在常數(shù)Mk>0使得

fk(t,x)-fk(t,y)≤-Mk(x-y),

α(t)≤x≤y≤β(t),t∈(sk,tk+1],k=0,1,…,p.

(H3) 對k=1,2,…,p,函數(shù)φk∈C((tk,sk]×R×R,R)且存在Kk∈C((tk,sk],(-∞,1)),Lk∈C((tk,sk],R+)使得

φk(t,x1,y1)-φk(t,x2,y2)≤Lk(t)(x1-x2)+Kk(t)(y1-y2),

α(tk-0)≤x1≤x2≤β(tk-0),α(t)≤y1≤y2≤β(t),t∈(tk,sk],k=1,2,…,p.

α(t)≤x≤y≤β(t),t∈(sk,tk+1],k=0,1,…,p.

α(tk-0)≤x1≤x2≤β(tk-0),α(t)≤y1≤y2≤β(t),t∈(tk,sk],k=1,2,…,p.

定理1 假設(shè)(H1)-(H3)和(5)成立,則存在單調(diào)迭代序列{αn(t)},{βn(t)}在[α,β]分別一致收斂于問題(1)的極小解和極大解。

證明對任何函數(shù)η∈PC1([0,T]),我們考慮問題(2),其中

由引理1可知問題(2)有一個唯一解m存在。

定義算子Φ:PC1([0,T])→PC1([0,T])為Φη=m.則Φ有下面的性質(zhì)。

(i)α≤Φα和Φβ≤β.

(ii)Φ在[α,β]是不遞減的。即若η1≤η2,η1,η2∈[α,β],則Φη1≤Φη2.

首先證明(i),設(shè)α1=Φα,y=α-α1.則

-Mky(t),t∈(sk,tk+1],k=0,1,…,p,

y(t)=α(t)-α1(t)≤φk(t,α(t),α(tk-0))-Lk(t)α1(tk-0)-

Kk(t)α1(t)+Lk(t)α(tk-0)+Kk(t)α(t)-φk(t,α(t),α(tk-0))≤

Lk(t)y(tk-0)+Kk(t)y(t),t∈(tk,sk],k=1,2,…,p,

y(0)=α(0)-α1(0)≤lα(T)-lα1(T)=ly(T).

由引理2,我們有y(t)≤0,t∈[0,T],從而α(t)≤(Φα)(t),t∈[0,T]. 因此,α≤Φα. 類似地可以得到Φβ≤β.

其次證明(ii).令u1=Φη1,u2=Φη2和y=u1-u2,結(jié)合(H2),(H3).我們有

-Mky(t),t∈(sk,tk+1],k=0,1,…,p,

y(t)=u1(t)-u2(t)=Lk(t)[u1(tk-0)-η1(tk-0)]+

Kk(t)[u1(t)-η1(t)]+φk(t,η1(t),η1(tk-0))-

Lk(t)[u2(tk-0)-η2(tk-0)]-Kk(t)[u2(t)-η2(t)]-φk(t,η2(t),η2(tk-0))≤

Lk(t)y(tk-0)+Kk(t)y(t),t∈(tk,sk],k=1,2,…,p,

y(0)=u1(0)-u2(0)=lu1(T)-lu2(T)=ly(T).

由引理2,我們有y(t)≤0,t∈[0,T]. 因此,Φη1≤Φη2.

定義函數(shù)序列{αn(t)},{βn(t)}為Φαn=αn+1,Φβn=βn+1,n=0,1,…,其中α0=α,β0=β. 由性質(zhì)(i)和(ii),我們可以得到

α0≤α1≤…≤αn≤…≤βn≤…≤β1≤β0.

假設(shè)對某個n,有αn≤x≤βn. 令y=αn+1-x,則我們可得

y′(t)=-Mk[αn+1(t)-αn(t)]+fk(t,αn(t))-fk(t,x(t))≤

-Mky(t),t∈(sk,tk+1],k=0,1,…,p,

y(t)=Lk(t)[αn+1(tk-0)-αn(tk-0)]+Kk(t)[αn+1(t)-αn(t)]+

φk(t,αn(t),αn(tk-0))-φk(t,x(t),x(tk-0))≤

Lk(t)y(tk-0)+Kk(t)y(t),t∈(tk,sk],k=1,2,…,p,

y(0)=αn+1(0)-x(0)=lαn+1(T)-lx(T)=ly(T).