基于改進Gini-Simpson指數(shù)的指標(biāo)及權(quán)重均為混合屬性的廣義灰靶決策方法

馬金山

(河南理工大學(xué) 能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南 焦作 454000)

一、引 言

自鄧聚龍教授提出灰靶決策方法以來，許多學(xué)者對其進行了研究改進[1]171-209。隨著決策理論與方法研究的深入，決策方案的指標(biāo)值也由單純的實數(shù)值拓展為混合屬性指標(biāo)值?；旌蠈傩曰野袥Q策方法也隨之產(chǎn)生，進一步增強了該方法的適用性?；野袥Q策方法的核心是求各決策方案對于靶心的靶心距，并以靶心距作為各方案優(yōu)劣決策的依據(jù)。決策方案指標(biāo)值為確定性實數(shù)的灰靶決策方法，其對靶心距的獲取主要采用距離法，如采用歐氏距離法或馬氏距離法等[2]。包含確定數(shù)和不確定數(shù)的混屬性灰靶決策方法對靶心距的獲取方法：一類是采用距離的方法進行處理，主要是采用歐氏距離[3-4]；另一類是采用變形方法如采用蛛網(wǎng)面積和關(guān)聯(lián)系數(shù)求靶心距[5-6]；還有一類是采用向量的方法進行處理，這稱為混合屬性廣義灰靶決策方法[7-8]。廣義灰靶決策方法是基于傳統(tǒng)的灰靶決策方法，在遵循其基本原理不變的基礎(chǔ)上提出的一種方法，基本的計算過程與傳統(tǒng)方法有所不同[7-9]。由于混合屬性灰靶決策中涉及不確定性的屬性值，需要融入能夠測度這種不確定性的理論方法來進行方案的決策更具有理論意義和實際的應(yīng)用價值。意大利統(tǒng)計學(xué)家Gini首次提出了不均等指數(shù)及其算法，稱為基尼指數(shù)(Gini index)。該指數(shù)是一個定量測定收入分配差異程度的指標(biāo)[10]。隨著研究的深入，基尼指數(shù)已經(jīng)不局限于度量收入分配的不均衡，而有了更深入的改進和應(yīng)用。基尼系數(shù)有許多表現(xiàn)形式，近年來其重要的形式Gini-Simpson指數(shù)得到了重視和應(yīng)用[11-13]。Gini-Simpson指數(shù)主要應(yīng)用于生物多樣性的檢測等方面[11-12]。另外該方法在醫(yī)學(xué)病毒檢測方面的應(yīng)用也獲得了理想的效果[14]。同時，Gini-Simpson指數(shù)還被用于不確定性的測度方面[15-17]。鑒于Gini-Simpson指數(shù)能夠測度信息的不確定性，所以可以將其用于涉及不確定數(shù)的混合屬性廣義灰靶決策中。

二、基本理論

(一)不確定數(shù)及區(qū)間數(shù)

由于客觀事物的復(fù)雜性和不確定性以及人類的知識局限性和認識能力的模糊性，人們對事物的認識常常具有不確定性，而描述這些事物特征的數(shù)據(jù)則稱為不確定數(shù)。在實際的應(yīng)用中，由于測量、計算所帶來的數(shù)據(jù)誤差，以及信息不完全帶來的數(shù)據(jù)缺乏，表示特征行為的原始數(shù)據(jù)往往會是一個范圍，為此下面給出區(qū)間數(shù)及其拓展的n參數(shù)區(qū)間數(shù)(多參數(shù)區(qū)間數(shù))的定義。

本文在不引起歧義的情況下，區(qū)間數(shù)有時也包含n參數(shù)區(qū)間數(shù)(多參數(shù)區(qū)間數(shù))，而本文所稱的不確定數(shù)主要指的是區(qū)間數(shù)及其拓展的多參數(shù)區(qū)間數(shù)。

(二)二元聯(lián)系數(shù)

定義2記R為實數(shù)域，稱A+Bi為二元聯(lián)系數(shù)，其中A，B∈R，i∈[-1,1]，A表示確定的項，B表示不確定的項，i是一個變動的項，它的存在統(tǒng)一了不確定數(shù)的確定和不確定性。

(1)

(2)

(3)

(4)

v=min{η,θ}

(5)

圖1 確定-不確定空間

(三)Gini-Simpson指數(shù)

定義5Gini-Simpson指數(shù)。對于概率分布P=(p1，p2，…，pm)，其Gini-Simpson指數(shù)定義為[12-13]：

(6)

其中pj為對應(yīng)的某一變量的概率。

定義6綜合加權(quán)Gini-Simpson指數(shù)。設(shè)S=((x1，y1)，(x2,y2)，…，(xm,ym))Τ為在多屬性灰靶決策中某方案指標(biāo)的(確定度，不確定度)二元組數(shù)向量，E=((p1,q1)，(p2,q2)，…，(pm,qm))T為靶心的(確定度，不確定度)二元組向量，且S和E已經(jīng)過了規(guī)范化處理，其屬性權(quán)重向量為W=(w1,w2,…,wm)Τ，則其綜合加權(quán)Gini-Simpson指數(shù)為：

(7)

與式(6)不同，式(7)包含了針對各方案指標(biāo)的(確定度，不確定度)二元組數(shù)與靶心指標(biāo)的(確定度，不確定度)二元組數(shù)的相互聯(lián)系，即由式(7)中的|xj-pj|和|yj-qj|予以體現(xiàn)，表示的是各方案指標(biāo)與靶心指標(biāo)的相似性程度。即改進后的綜合加權(quán)Gini-Simpson指數(shù)既體現(xiàn)各自指標(biāo)的差異又反映了與靶心指標(biāo)的相似性。

三、基于Gini-Simpson指數(shù)的混合屬性廣義灰靶決策方法

(一)決策的基本原理

基于改進Gini-Simpson指數(shù)的指標(biāo)及權(quán)重均為混合屬性的廣義灰靶決策方法，其基本原理是：首先，將決策方案的各指標(biāo)均轉(zhuǎn)換為可以統(tǒng)一度量的二元聯(lián)系數(shù)；其次，將各指標(biāo)的二元聯(lián)系數(shù)分解為(確定，不確定)二元組數(shù)，并據(jù)此求出各屬性靶心指標(biāo)的(確定，不確定)二元組數(shù)；然后，對方案指標(biāo)和靶心指標(biāo)的(確定度，不確定度)二元組數(shù)進行規(guī)范化處理，采用權(quán)重函數(shù)將各混合屬性指標(biāo)權(quán)重確定化；最后，求得各方案的綜合加權(quán)Gini-Simpson指數(shù)，以其值越小方案越優(yōu)。

該決策方法有如下關(guān)鍵點：一是采用二元聯(lián)系數(shù)作為基本的工具，將各類不同的數(shù)據(jù)如實數(shù)和區(qū)間數(shù)(包括多參數(shù)區(qū)間數(shù))等統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為包含了確定和不確定性的二元聯(lián)系數(shù)便于隨后的統(tǒng)一處理；二是將靶心指標(biāo)與對應(yīng)的各方案指標(biāo)歸一化后的(確定度，不確定度)二元組數(shù)建立聯(lián)系，此處是確定靶心指標(biāo)與對應(yīng)的各方案指標(biāo)接近性或同一性的重要依據(jù)；三是構(gòu)造混合屬性指標(biāo)權(quán)重確定化方法，將不確定性混合指標(biāo)權(quán)重確定化。

(二)基本決策要素的處理

設(shè)有方案集T={T1,T2,…,Tn}，屬性集A={A1,A2,…,Am}，則方案Ts在屬性At下的指標(biāo)值記為vst(s=1,2,…,n;t=1,2,…,m)，其屬性權(quán)重向量為W=(w1,w2,…,wm)T。

1.方案指標(biāo)均轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)

采用式(1)～(5)將不同類型的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為二元A+Bi的聯(lián)系數(shù)形式，其中實數(shù)認為是二元聯(lián)系數(shù)中的確定項為該數(shù)值本身，不確定項為0，即為A+0i的形式。設(shè)轉(zhuǎn)化后的各指標(biāo)聯(lián)系數(shù)為Vst=Ast+Bsti(s=1,2,…,n;t=1,2,…,m)。

2.各指標(biāo)屬性的靶心指標(biāo)二元組數(shù)的獲取

(8)

式(8)為求某一指標(biāo)屬性靶心的(確定，不確定)二元組數(shù)，注意此處所求出的(確定，不確定)二元組數(shù)為未事先進行規(guī)范化的二元組數(shù)。當(dāng)其為正向指標(biāo)時，分別取該屬性下的最大確定項及最小的不確定項為該屬性下的靶心二元組數(shù)；當(dāng)其為逆向指標(biāo)時，分別取該屬性下的最小確定項及最小不確定項為該屬性下的靶心二元組數(shù)。

3.各決策方案指標(biāo)值的歸一化處理

已得到各屬性下各方案的指標(biāo)聯(lián)系數(shù)Vst(s=1,2,…,n;t=1,2,…,m)及靶心的指標(biāo)聯(lián)系數(shù)Vct(c=n+1;t=1,2,…,m)，則可以將其表示為由確定度和不確定度組成的二元組數(shù)向量。

(9)

式(9)中ast，bst分別代表對應(yīng)的某一屬性下各指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化后的二元聯(lián)系數(shù)的確定度和不確定度。為此，可以組成各方案的二元組數(shù)向量為((as1,bs1),(as2,bs2),…,(asm,bsm))T。但此處需要說明的是針對實數(shù)的情況，由于不確定性部分為0，所以首先不能對其進行規(guī)范化處理，否則某一屬性下的實數(shù)值的確定性部分會全部相同，導(dǎo)致計算過程出現(xiàn)錯誤。

前面所求出的各方案的指標(biāo)向量與靶心指標(biāo)向量的(確定度，不確定度)二元組數(shù)是不同的，屬性之間不具有可比性，因此這里需要針對各個屬性下的(確定度，不確定度)二元組數(shù)中的元素ast和bst進行歸一化，計算見式(10)。

s=1，2，…，n；t=1，2，…，m

(10)

4.混合屬性指標(biāo)權(quán)重的確定化方法

混合屬性指標(biāo)權(quán)重值wt(t=1,2,…,m)包含了不確定性的內(nèi)容，其可以為實數(shù)或不確定數(shù)，當(dāng)其取值為不確定數(shù)時，可為區(qū)間數(shù)、3參數(shù)區(qū)間數(shù)或者4參數(shù)區(qū)間數(shù)形式，即有：

(11)

此時一般有下面的關(guān)系式成立：

(12)

指標(biāo)權(quán)重為混合屬性值時確定化的步驟如下：

(1)將各屬性權(quán)重值轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)

首先采用式(2)～(5)計算各類型權(quán)重值的基本參數(shù)包括均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差值。然后將各類型數(shù)據(jù)表示的權(quán)重轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)的形式見式(1)，并且分別組成(確定，不確定)二元組數(shù)。以二元組數(shù)構(gòu)成的權(quán)重向量為((a1,b1),(a2,b2),…,(am,bm))Τ。

(2)求權(quán)重(確定，不確定)二元組數(shù)的基準(zhǔn)值

根據(jù)權(quán)重的(確定，不確定)二元組數(shù)，求出各二元組數(shù)中確定項的最大值和不確定項的最小值，即采用式(13)。

w0=(max{aj},min{bj}),j=1,2,…,m

(13)

由式(13)可以得到權(quán)重確定的基準(zhǔn)二元組數(shù)為(amax,bmin)，amax和bmin分別代表選出的(確定，不確定)二元組數(shù)中，確定性最大的項及不確定性最小的項。值得注意的是此處的bmin為除0以外的其它的不確定項的最小值。

(3)構(gòu)造不確定性權(quán)重確定化的函數(shù)

不確定性權(quán)重確定化既要包含確定性因素對權(quán)重的影響，也要考慮不確定性部分對權(quán)重的影響，其權(quán)重函數(shù)見式(14)。

j=1,2,…,m

(14)

其中，αj為求權(quán)重wj時(確定，不確定)二元組數(shù)中確定項所貢獻的比例；βj為不確定項所貢獻的比例；bmin為除0以外最小的不確定項的取值。公式(14)表示，當(dāng)bj≠0時，某指標(biāo)確定性的權(quán)重與其(確定，不確定)二元組數(shù)中確定性部分和不確定性部分相關(guān)；當(dāng)若權(quán)重指標(biāo)(確定，不確定)二元組數(shù)為(aj，0)的形式時則wj只取決于確定性部分。

式(14)中，雖然αj的取值可以根據(jù)決策者的偏好來決定，但考慮到不確定數(shù)自身所包含的信息，所以對式(14)進行參數(shù)的賦值修正見式(15)。

wj=

j=1,2,…,m

(15)

(4)擬采用權(quán)重的歸一化處理

步驟(3)所求出的各指標(biāo)屬性的權(quán)重值wj未經(jīng)規(guī)范化，與通常意義上的各指標(biāo)屬性權(quán)重值的和為1有所差異。為此，對步驟(3)求出的權(quán)重數(shù)據(jù)參考式(10)進行線性歸一化處理，得到通常意義下的權(quán)重值。

(三)決策步驟

基于改進的綜合加權(quán)Gini-Simpson指數(shù)的混合屬性廣義灰靶決策方法決策步驟如下：

(1)所有方案指標(biāo)依據(jù)式(1)～(5)轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)，并分別組成為(確定，不確定)二元組數(shù)。

(2)采用式(8)求各屬性下的靶心指標(biāo)的(確定，不確定)二元組數(shù)。

(3)將各指標(biāo)及靶心的(確定，不確定)二元組數(shù)運用式(9)進行標(biāo)準(zhǔn)化，然后對在各屬性下的(確定度，不確定度)二元組數(shù)采用式(10)進行線性歸一化處理。

(4)采用式(13)及(15)獲得各決策方案指標(biāo)屬性的確定性權(quán)重。

(5)采用式(7)求得各方案的綜合加權(quán)Gini-Simpson指數(shù)，根據(jù)所獲得的Gini-Simpson指數(shù)對各決策方案進行決策，以其值越小方案越優(yōu)。

四、案例分析

(一)數(shù)據(jù)來源

對戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈進行評估，采用6個指標(biāo)分別是命中精度(km)、彈頭載荷(kg)、機動性能(km·h-1)、價格(106g)、可靠性和可維護性，分別用A1～A6表示[7]。其中A1和A4為成本型指標(biāo)，其余為效益型指標(biāo)。其中各個指標(biāo)的權(quán)重為W=([0.16 0.18

0.2],[0.18 0.2 0.22],0.1,[0.18 0.2 0.22

0.24],[0.14 0.18],[0.12 0.16])。4個方案分別用T1～T4表示，數(shù)據(jù)見表1所示。

表1 各方案的指標(biāo)值

(二)決策過程

(1)計算決策方案指標(biāo)的二元聯(lián)系數(shù)參數(shù)。由表1中數(shù)據(jù)采用式(1)～(5)可以求出各指標(biāo)的用于二元聯(lián)系數(shù)計算的參數(shù)見表2。

表2 各方案指標(biāo)參數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和最大偏差

注：表中的“a/b/c代表“均值/標(biāo)準(zhǔn)差/最大偏差”。

(2)將所有方案的指標(biāo)均轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)。根據(jù)式(1)～(5)，基于表2數(shù)據(jù)將表1所示的各指標(biāo)值轉(zhuǎn)化為聯(lián)系數(shù)的形式見表3。然后對表3的二元聯(lián)系數(shù)形式轉(zhuǎn)化為(確定，不確定)二元組數(shù)的形式，見表4所示。

表3 轉(zhuǎn)化后的各指標(biāo)二元聯(lián)系數(shù)

表4 轉(zhuǎn)化后的各指標(biāo)二元組數(shù)

(3)求各指標(biāo)屬性靶心的二元組數(shù)。采用式(8)求得各屬性的靶心的二元組數(shù)向量為：((1.8,0)，(540,0)，(55.5,0.5)，(4.7,0.5)，(0.7,0.1),(0.9，0.1))。

(4)對各方案及靶心確定度及不確定度二元組數(shù)進行規(guī)范化。首先對表4的各方案指標(biāo)及靶心指標(biāo)二元組數(shù)采用式(9)進行規(guī)范化，然后采用式(10)再對其二元組數(shù)進行歸一化處理后見表5。

表5 各方案及靶心的規(guī)范化二元組數(shù)

(5)不確定性權(quán)重的確定化。已經(jīng)給定各個指標(biāo)的混合屬性權(quán)重W=([0.16 0.18 0.2],[0.18 0.2 0.22],0.1,[0.18 0.2 0.22 0.24],[0.14 0.18],[0.12 0.16])，其中以不確定數(shù)表示的權(quán)重數(shù)據(jù)的參數(shù)下限值為小于或等于1，而上限值為大于或等于1。首先，采用式(1)～(5)計算各個混合數(shù)據(jù)類型權(quán)重的參數(shù)見表6；其次，將各權(quán)重表示為二元聯(lián)系數(shù)向量的形式見表7。

表6 所有指標(biāo)權(quán)重參數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和最大偏差

表7 指標(biāo)權(quán)重的二元聯(lián)系數(shù)

采用式(13)計算得到權(quán)重(確定，不確定)二元組數(shù)的基準(zhǔn)二元組數(shù)為(0.21，0.02)。然后采用式(15)計算得到確定化的權(quán)重為(2.644 2,2.849 5,1.609 9,2.962 7,2.463 0,2.312 6)。最后進行線性歸一化后得到的權(quán)重為W=(0.178 0，0.192 0，0.108 5，0.199 6，0.166 0，0.155 8)。

(6)求各方案與靶心綜合加權(quán)Gini-Simpson指數(shù)。給定確定化后的權(quán)重W=(0.178 0，0.192 0，0.108 5，0.199 6，0.166 0，0.155 8)，采用式(7)計算得到各方案的綜合加權(quán)Gini-Simpson指數(shù)為ICWGS=(0.006 0，0.037 8，0.011 8，0.024 7)。根據(jù)綜合加權(quán)Gini-Simpson指數(shù)越小越優(yōu)的決策原則，可以得到各方案的優(yōu)劣排序為T1?T3?T4?T2。

(三)分析討論

為了說明該方法的可行性和有效性，此處與Ma的以向量接近度為決策依據(jù)的方法進行對比[7]，同樣采用權(quán)重W=(0.178 0，0.192 0，0.108 5，0.199 6，0.166 0，0.155 8)時，可得到各方案綜合加權(quán)的接近度為：ICWP=(0.195 5，0.303 0，0.227 0，0.274 4)。根據(jù)綜合接近度越小方案越優(yōu)的原則，可以得到各決策方案的排序為：T1?T3?T4?T2。表8為兩種不同方法計算結(jié)果的對比。

表8 兩種決策方法的計算結(jié)果對比

以上兩種不同方法決策結(jié)果的對比分析，說明所提出的決策方法決策結(jié)果與以向量接近度為依據(jù)的方法相比決策結(jié)果完全一致，決策的效果較好。兩種決策方法的相同點為：均是將各類不同的數(shù)據(jù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為包含確定和不確定性的可統(tǒng)一處理的二元聯(lián)系數(shù)，即二元聯(lián)系數(shù)為各類不同數(shù)據(jù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化的工具。兩種決策方法的不同點為：本文的方法是采用基于改進綜合加權(quán)Gini-Simpson 指數(shù)的方法作為決策的依據(jù)，是從方案的不確定性度量的視角進行決策；而文獻[7]中的方法則是采用以向量為基礎(chǔ)的接近度為基礎(chǔ)作為決策的依據(jù)，是從方案的向量接近性或相似性視角進行決策。

總之，案例分析的結(jié)果表明，本文的方法與已有的以向量接近度為基礎(chǔ)的方法相比決策結(jié)果符合性很好。不同于以向量的接近性或相似性為視角的混合屬性廣義灰靶決策方法的決策思路，該方法解決問題的視角是以方案的不確定性度量為基礎(chǔ)的。