線矢力各向同性分析與其在機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合中的應(yīng)用

許允斗 郭金偉 王志峰 陳 陽 姚建濤 趙永生

(1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004； 2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004； 3.首都航天機(jī)械有限公司， 北京 100076)

0 引言

線矢力是指被約束在方向、位置固定的直線上的矢量[1]，它是力螺旋的一種特殊形式，在基于螺旋理論的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析[2-3]及構(gòu)型綜合[4-6]中發(fā)揮了重要的作用，在六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形分析[7-9]及各向同性六自由度并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計[10]方面也有一定的應(yīng)用。除此之外，尚無線矢力在并聯(lián)機(jī)構(gòu)其他方面的應(yīng)用研究報道。機(jī)構(gòu)的承載能力也直接與線矢力相關(guān)，如3-PRRR三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)[11]3條支撐分支輸入運(yùn)動副對動平臺施加的3個驅(qū)動線矢力(輸入運(yùn)動副所產(chǎn)生的約束線矢力)之間的各向同性[12]決定了機(jī)構(gòu)的承載性能(P為移動副，R為轉(zhuǎn)動副)。因此，線矢力的各向同性是其重要的性能指標(biāo)。

然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)對線矢力各向同性的研究較少，文獻(xiàn)[10,13-15]研究如何布置各測量分支使得并聯(lián)機(jī)構(gòu)六維力傳感器達(dá)到力和力矩各向同性，該類型傳感器每個測量分支向測量平臺施加一個沿著分支軸線的約束線矢力，所以每個測量分支實(shí)際上相當(dāng)于一個線矢力。除此之外，尚無其他對線矢力自身各向同性性能進(jìn)行分析的報道。文獻(xiàn)[16-18]對三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合進(jìn)行了研究，并已得到了很多新構(gòu)型。但這些文獻(xiàn)的對象均為非冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，即輸入運(yùn)動副數(shù)目等于自由度數(shù)，目前對有冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)尚未見報道。然而，冗余驅(qū)動在承載能力的提高方面[19-21]起到了至關(guān)重要的作用，如國內(nèi)外幾種典型的大型農(nóng)業(yè)機(jī)械[22-23]均采用冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)以有效地提高其承載能力，所以冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有良好的應(yīng)用前景。

此外，現(xiàn)有文獻(xiàn)綜合三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)時并未考慮機(jī)構(gòu)的承載性能，即不考慮由各輸入運(yùn)動副引起的驅(qū)動線矢力之間的幾何關(guān)系。因此，本文結(jié)合線矢力的各向同性分析，對冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)型綜合時，先考慮各驅(qū)動線矢力的幾何關(guān)系，以得到承載能力各向同性的冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

1 線矢力各向同性分析

本文分析僅當(dāng)線矢力相交于一點(diǎn)的情況。在交點(diǎn)處建立一個參考坐標(biāo)系OXYZ，設(shè)相交于一點(diǎn)的n條線矢力在該坐標(biāo)系的Plücker坐標(biāo)為

(1)

式中 (ai,bi,ci)T——第i條線矢力的方向矢量

一般情況下，為滿足各向同性，各線矢力在空間應(yīng)呈對稱分布，則可設(shè)n條線矢力均勻分布在一錐面上，如圖1所示。n條線矢力的Plücker坐標(biāo)可寫為

(2)

其中

α=2π/n

式中θ——線矢力所在錐面的錐頂角的一半

α——各相鄰線矢力在水平面投影的夾角

由于各線矢力均通過坐標(biāo)原點(diǎn)，線矩始終為零，故將其省略。

圖1 線矢力在空間上的分布Fig.1 Spatial distribution of line vector forces

將各線矢力的Plücker坐標(biāo)寫成矩陣形式

(3)

為了使各線矢力滿足各向同性，則矩陣M的條件數(shù)應(yīng)等于1，即矩陣M的最大奇異值和最小奇異值的比值為1。由矩陣分析理論可知，矩陣M的奇異值恰好等于MMT矩陣特征值的開方，MMT可表示為

(4)

經(jīng)分析可知，該矩陣前(n-3)個特征值為零，故要求MMT矩陣的最后3個特征值相同，結(jié)合MMT特征矩陣的行列式，可以求得使MMT矩陣滿足最后3個特征值相同時錐頂角的一半θ為54.736°。比如，當(dāng)線矢力數(shù)目為4時，即n=4，則α=π/4，故4個線矢力組成的矩陣為

(5)

此時該矩陣3個奇異值均為1.154 7，故4條線矢力滿足各向同性，如圖2所示。

圖2 4條線矢力滿足各向同性時的分布Fig.2 Distribution of four isotropic line vector forces

當(dāng)線矢力分布在一平面內(nèi)時，此時是空間情況的一種特殊情形，即當(dāng)圓錐頂點(diǎn)在底面時，則圓錐上均勻分布的線矢力處于一平面內(nèi)，此時它們也滿足各向同性條件。如空間線矢力數(shù)目為4時，投影到平面恰好為分布在兩條坐標(biāo)軸上的4條線矢力，顯然滿足各向同性條件。

2 冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合

2.1 基于螺旋理論的約束綜合法基礎(chǔ)

根據(jù)反螺旋理論[1]可知，支鏈末端施加給動平臺的結(jié)構(gòu)約束力螺旋，與該支鏈的所有運(yùn)動副的運(yùn)動螺旋互易。機(jī)構(gòu)末端約束力螺旋系為所有支鏈結(jié)構(gòu)約束力螺旋組成的螺旋系，該約束力螺旋系決定機(jī)構(gòu)的自由度。由文獻(xiàn)[4-6,24]可知，并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合過程為首先根據(jù)機(jī)構(gòu)要求的末端運(yùn)動螺旋系求出其末端約束力螺旋系，然后構(gòu)造支鏈約束力螺旋系，求出支鏈運(yùn)動螺旋系構(gòu)造支鏈機(jī)械結(jié)構(gòu)，最后配置這些支鏈機(jī)械結(jié)構(gòu)形成符合要求的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

2.2 基于螺旋理論的約束綜合法冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合

關(guān)于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合的研究，一般情況下當(dāng)?shù)玫讲⒙?lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型后，需添加驅(qū)動副，并判斷所添加驅(qū)動副是否合理[25-26]。為了得到滿足預(yù)期承載能力要求的機(jī)構(gòu)，本文先考慮驅(qū)動副的類型與布置。此時，就需要考慮各驅(qū)動副產(chǎn)生的驅(qū)動力螺旋的幾何關(guān)系，還需考慮驅(qū)動力螺旋與約束力螺旋之間的關(guān)系。驅(qū)動力螺旋是指支鏈的驅(qū)動運(yùn)動副施加給動平臺的力螺旋，它與該支鏈中除驅(qū)動副外其他所有運(yùn)動副互易。

這里只構(gòu)造冗余驅(qū)動數(shù)目為1的對稱冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，即驅(qū)動副數(shù)目為4，4個驅(qū)動副對稱分布在4條支鏈中。則每個分支施加給動平臺的約束力螺旋可以是1、2或3個約束力偶，驅(qū)動副施加給動平臺的驅(qū)動力螺旋是一個線矢力，這里將結(jié)合前面得到的線矢力各向同性條件使4條支鏈?zhǔn)┘咏o動平臺的4個驅(qū)動線矢力達(dá)到各向同性，即構(gòu)造各向同性冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

首先根據(jù)支鏈?zhǔn)┘觿悠脚_的約束力偶和驅(qū)動線矢力構(gòu)造支鏈除驅(qū)動副外的其他運(yùn)動副組成的運(yùn)動鏈，該運(yùn)動鏈的運(yùn)動螺旋系與分支約束力偶和驅(qū)動線矢力均互易；然后構(gòu)造與約束力偶互易且與驅(qū)動線矢力不互易的驅(qū)動副。

表1滿足支鏈約束力偶和驅(qū)動線矢力要求的典型運(yùn)動鏈
Tab.1Typicalkinematicchainssatisfiedexpectedrequirementofconstraintcouplesandactuationforce

圖3 典型各向同性冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型(1)Fig.3 Typical isotropic redundantly actuated 3-DOF translational parallel mechanisms(1)

圖4 典型各向同性冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型(2)Fig.4 Typical isotropic redundantly actuated 3-DOF translational parallel mechanisms(2)

3 冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)承載能力分析

(6)

圖機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖Fig.5 Structural diagram of PM

設(shè)動平臺中心O在參考坐標(biāo)系VXYZ坐標(biāo)為(x,y,z)T，各支與動平臺連接點(diǎn)bi(i=1,2,3,4)在參考坐標(biāo)系VXYZ下坐標(biāo)分別為

(7)

設(shè)各支鏈與定平臺的連接點(diǎn)為ai，由于支鏈自身的結(jié)構(gòu)約束，可知ai與bi坐標(biāo)在各自支鏈移動副軸線ri上的投影相等，則可得到ai坐標(biāo)在ri上的投影值為

(8)

令各支鏈驅(qū)動P副的輸入為qi，則可得

(9)

式中a0——初始位置各支鏈連接定平臺的鉸鏈點(diǎn)沿P副軸線的位移

對式(9)兩邊求時間的導(dǎo)數(shù)，可得輸入速度與動平臺速度之間的關(guān)系為

(10)

式中J——將動平臺速度映射到輸入速度的速度雅可比矩陣

由虛功原理[27]可得外力與各支鏈驅(qū)動力之間的關(guān)系為

(11)

式中F——外力

τi——支鏈i提供的驅(qū)動力

假設(shè)各驅(qū)動副的承載能力極限值均為τmax，則可求得該機(jī)構(gòu)在X、Y和Z主方向的承載能力極限值均為2.309 4τmax[28]，而且JT是一個常數(shù)陣，表明該機(jī)構(gòu)在運(yùn)動過程中始終是滿足承載能力各向同性的。由此表明，在構(gòu)型綜合時考慮了驅(qū)動線矢力的各向同性，綜合得到的機(jī)構(gòu)也是滿足承載能力各向同性的。因此，也一定程度上驗(yàn)證了關(guān)于線矢力各向同性的分析以及對冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的綜合理論是正確的。

4 線矢力各向同性在其他并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合的應(yīng)用分析

5 結(jié)論

(1)對線矢力各向同性的條件進(jìn)行了深入分析，得出當(dāng)線矢力均勻分布在錐頂角為109.472°的錐面上時，恒滿足各向同性條件。

(2)先考慮4條支鏈驅(qū)動副產(chǎn)生的驅(qū)動線矢力的布置，即使其滿足各向同性，得到了數(shù)種典型的各向同性冗余驅(qū)動三自由度移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，這些并聯(lián)機(jī)構(gòu)的力雅可比矩陣為常數(shù)陣，機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程中在各個主方向的承載能力一致。

(3)提出的構(gòu)型綜合方法先考慮了驅(qū)動副的布置，不但可使機(jī)構(gòu)滿足給定的任務(wù)要求，而且不必再選擇機(jī)構(gòu)的輸入運(yùn)動副，更不涉及輸入運(yùn)動副選擇合理性的判斷，為并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合提供了一種新的嘗試。