基于裂縫尖端應力強度因子的裂縫穿層行為分析

李浩哲，姜在炳，范 耀,2

(1.中煤科工集團西安研究院 資源勘探開發(fā)與瓦斯防治技術研發(fā)中心，陜西 西安 710077； 2.煤炭科學研究總院，北京 100013)

引 言

對于水力壓裂裂縫在地層界面處的延伸行為，國內外專家學者已經開展了一定的物理模擬研究和數值模擬研究[1-13]?，F有的水力壓裂裂縫擴展分析中，常用歐文(Irwin)裂縫擴展準則判別裂縫是否延伸[14]，即當裂縫尖端應力強度因子大于地層的斷裂韌性時，裂縫發(fā)生擴展。因此，研究裂縫穿層擴展過程中應力強度因子的變化對于分析裂縫的穿層行為具有十分重要的意義。而目前的研究主要是對裂縫穿層延伸影響因素的定性分析，對于裂縫穿層過程中裂縫尖端應力強度因子的變化規(guī)律則研究較少。本文基于應力強度因子理論，分析了界面處裂縫尖端應力強度因子的變化規(guī)律；應用數值模擬，研究裂縫在砂巖-泥巖界面和粉砂巖-煤層界面處的穿層延伸行為，探討了界面兩側巖石力學性質對裂縫穿層行為的影響，并應用研究成果開展案例分析。

1 界面處裂縫尖端應力強度因子分析

1.1 層狀地層模型與基本假設

裂縫在層狀地層界面處的擴展模型如圖1所示。假設裂縫尖端距離地層界面距離為a，界面兩側巖石力學性質不同，以μi,νi(i=1,2)表示界面兩側材料的剪切模量和泊松比。為適當簡化計算，假設界面兩側為彈性均質材料，巖石的斷裂行為滿足線彈性斷裂力學，并且?guī)r石斷裂形式為Ⅰ型斷裂。目前對于層間界面的研究包括兩類[13-14]，即非膠結界面(界面的上下兩層只是接觸關系，中間不存在膠結物)和膠結界面(上下兩層界面之間存在著膠結物，將上下兩巖層膠結在一起)。本文研究界面為非膠結界面。

圖1 層狀地層界面處裂縫延伸示意圖Fig.1 Schematic diagram of fracture extension at interface of layered strata

1.2 裂縫尖端應力強度因子

根據以上假設，距界面為a的裂縫尖端Ⅰ型應力強度因子KI為[15]

KI=c(α,β)kIaλ-1/2。

其中：kI為載荷系數，與裂縫內部壓力成正比；c為無因次量，是Dundurs參數α,β的函數[16]，α,β取決于界面兩側材料性質，即

λ為Zak & Williams方程的實根[17]，其大小與Dundurs參數α,β有關，即

從式(1)可以看出，若λ<1/2，當a→0時KI(a)→，即裂縫尖端應力強度因子迅速增大，根據歐文(Irwin)裂縫擴展準則，裂縫可直接穿層延伸；反之，若λ>1/2，則當a→0時KI(a)→0，裂縫尖端應力強度因子將隨著裂縫與界面距離的減小而減小，裂縫穿層趨勢受到限制，可能表現出復雜的擴展特性，如停止擴展、沿界面擴展、拐折擴展等。由此可見，λ對于裂縫在界面處的擴展行為影響較大。

從式(4)可知，λ的大小受到α,β的共同影響。采用數值解的方法，繪制λ-(α,β)關系曲線如圖2所示，其中，α∈(-0.95,0.95),β∈(-0.45,0.45),λ∈(0,1)，為巖石力學性質的常見范圍[18]。從圖中可以看出，當α,β均較大時，λ較小。

圖2 λ-(α,β)關系曲線Fig.2 Relation curve between λ and α,β

如上文所述，λ與0.5的相對大小決定了裂縫尖端I型應力強度因子的變化趨勢。令λ=1/2，化簡式(4)可得

α=-β。

α,β關系曲線如圖3所示。對于不同的巖石力學性質，可通過計算得到不同的α、β，圖中直線右側區(qū)域滿足λ<1/2，直線左側區(qū)域滿足λ>1/2。

圖3 α,β關系曲線Fig.3 Relation curve between α and β

將式(2)、式(3)代入式(5)后化簡可得界面兩側材料的剪切模量和泊松比的關系為

引入比例χ=μ1(3-4ν2)/μ2(3-4ν1)，可得當χ>1時，α>-β，此時Zak & Williams方程的實根λ<1/2，裂縫可順利穿層擴展；反之，當χ<1時，裂縫穿層擴展將受到影響。B.Nuller等[18]將該系數稱為界面強度系數(ITI)，通過該系數可以判斷裂縫在界面處的擴展行為。

2 數值模擬

2.1 數值模型

為研究裂縫在不同性質的地層界面處的擴展行為，采用ABAQUS軟件建立二維數值模擬模型如圖4所示。模型尺寸為6m×3m，模型單元為平面四節(jié)點應力單元CPS4R。模型上下兩部分為兩種具有不同力學性質的巖層，厚度相等，均為1.5m。模型右側施加6MPa的均勻拉力。模型上部的預制裂縫長度為0.5m。

圖4 物理模型及尺寸Fig.4 Physical model and its dimension

2.2 應力強度因子的計算

裂縫尖端應力強度因子的求解方法較多，可分為解析法和數值法[19-20]，其中，數值法的應用較為廣泛。應力強度因子的數值計算方法包括基于單元應力的外推法和基于節(jié)點位移的外推法。在有限元分析軟件中，位移是求解的基本變量，其精度比應力高，因此，研究中采用基于節(jié)點位移的外推法來計算應力強度因子。

對于距離裂縫尖端r處，裂縫后端垂直位移u的數據可以在有限元軟件中讀取。根據I型裂紋尖端附近的位移場，裂紋面上的張開位移比較顯著，采用θ=π時的裂紋張開位移值求解I型應力強度因子即

其中，E為彈性模量，ν為泊松比，κ為膨脹模量；對于平面應力問題，κ=(3-ν)/(1+ν)；對于平面應變問題，κ=3-4ν。

利用上式構造數據對(ri,KIi)，假設(ri,KIi)之間可用線性關系表示，用最小二乘法擬合數據點，所得直線截距即為所需計算的應力強度因子。

2.3 砂巖-泥巖界面裂縫擴展行為分析

2.3.1 巖石力學性質

數值模擬模型中，砂巖和泥巖的巖石力學參數見表1[1]。根據式(2)—式(4)分別計算得到α,β,λ以及界面強度系數χ如表2所示。從表中可以看出，當裂縫從砂巖向泥巖中擴展時，λ=0.455 0<1/2，χ=1.60>1而當裂縫從泥巖向砂巖中擴展，λ=0.553 2>1/2，χ=0.63<1。

表1 砂-泥巖模型中巖石力學性質參數Tab.1 Mechanical properties of rock in sandstone-mudstone numerical model

表2 砂-泥巖模型中裂縫擴展行為判別參數Tab.2 Judgment parameters for fracture extension behavior in sandstone-mudstone model

2.3.2 裂縫穿層擴展行為分析

裂縫由砂巖向泥巖穿層擴展過程中的Mises應力云圖如圖5所示。從圖中可以看出，裂縫延伸初期，裂縫尖端距界面較遠，界面對裂縫的延伸影響較小。隨著裂縫尖端接近砂巖-泥巖界面，裂縫尖端出現應力集中，界面處出現明顯的應力不連續(xù)現象。裂縫到達界面后穿過界面進入下部泥巖，并且延伸速度逐漸加快，直至貫穿整個模型。從裂縫擴展的整個過程來看，裂縫擴展方向穩(wěn)定，從上部砂巖向下部泥巖擴展過程中，并未發(fā)生偏轉或拐折現象。

圖5 裂縫從砂巖向泥巖擴展過程中應力場變化Fig.5 Varying of stress field during fracture propagation from sandstone to mudstone

裂縫由泥巖向砂巖穿層擴展過程中的Mises應力云圖如圖6所示。裂縫擴展初期，裂縫尖端距界面較遠，界面對裂縫的延伸影響較小。隨著裂縫尖端與界面距離逐漸減小，裂縫尖端出現應力集中現象。當裂縫尖端距界面為0.25 m時，裂縫發(fā)生拐折，與界面斜交穿層進入下部砂巖層中繼續(xù)擴展，直至裂縫貫穿整個模型。從裂縫擴展的整個過程來看，裂縫擴展初期方向穩(wěn)定，隨著裂縫尖端接近界面，裂縫發(fā)生拐折，拐折角度約為5.7°，裂縫拐折后穿層進入硬度較大的砂巖擴展。

圖6 裂縫從泥巖向砂巖擴展過程中應力場變化Fig.6 Varying of stress field during fracture propagation from mudstone to sandstone

2.3.3 應力強度因子變化

為觀察裂縫擴展過程中應力強度因子的變化情況，采用上文所述方法，計算當裂縫尖端距離界面1.0 m、0.75 m、0.5 m、0.25 m、0 m(裂縫長度為0.5 m、0.75 m、1.0 m、1.25 m、1.5 m)時裂縫尖端的I型應力強度因子，結果如圖7所示。對于裂縫從砂巖向泥巖擴展的情況，裂縫開裂后，裂縫尖端應力強度因子逐漸增大，達到約8 MPa·m1/2后，裂縫平穩(wěn)擴展。隨著裂縫尖端逐漸接近砂巖-泥巖界面，I型應力強度因子迅速增大，使裂縫加速穿層，從上部砂巖中進入下部泥巖中擴展。

圖7 砂-泥巖模型中裂縫尖端接近界面時應力強度因子變化Fig.7 Varying of stress intensity factor when crack tip approaches interface in sandstone-mudstone model

對于裂縫從泥巖向砂巖擴展的情況，裂縫擴展初期與裂縫從砂巖向泥巖中擴展相似，裂縫起裂延伸后，裂縫尖端應力強度因子逐漸增大，達到約7 MPa·m1/2后，裂縫向下部延伸，裂縫長度逐漸增大。隨著裂縫端部與泥巖-砂巖界面的距離的減小，裂縫尖端應力強度因子逐漸降低，裂縫穿層擴展的趨勢受到限制。在裂縫尖端到達界面前，裂縫已發(fā)生拐折現象。

2.4 煤層頂板-煤巖界面裂縫擴展行為分析

2.4.1 巖石力學性質

數值模擬模型中，煤層頂板和煤層的巖石力學性質根據陜西彬縣4號煤相關參數進行設置[3]，具體數值如表3所示。根據式(2)—式(4)分別計算得到α,β,λ以及界面強度系數χ如表4所示。從表中可以看出，當裂縫從煤層頂板向煤層中擴展時， λ=0.340 7<1/2， χ=5.90>1， 而當裂縫從煤層向頂板粉砂巖中擴展時，λ=0.6956>1/2，χ=0.17<1。

表3 煤層-頂板模型中巖石力學性質參數Tab.3 Mechanical properties of rock in roof-coal rocknumerical model

表4 煤層-頂板模型中裂縫擴展行為判別參數Tab.4 Judgment parameters for fracture extension behavior in roof-coal rock model

2.4.2 裂縫穿層擴展行為分析

裂縫從頂板(粉砂巖)向煤層穿層擴展過程中的Mises應力云圖如圖8所示。從圖中可以看出，裂縫從上部粉砂巖中起裂后，沿原方向向下擴展，到達并穿過界面后進入煤層，直至貫穿整個模型。在裂縫擴展的整個過程中，裂縫擴展方向穩(wěn)定，并未發(fā)生偏轉或拐折現象。

圖8 裂縫從頂板向煤層擴展過程中應力場變化 Fig.8 Varying of stress field during fracture propagation from roof to coal rock

裂縫由煤層向粉砂巖擴展過程中的Mises應力云圖如圖9所示。從圖中可以看出，裂縫起裂后立即向模型右側偏轉，當裂縫尖端到達界面時與界面斜交，夾角約為45°。隨后裂縫沿該角度穿層延伸進入下部粉砂巖中，在砂巖中裂縫尖端距界面距離0.6 m處，裂縫發(fā)生第二次轉向并向模型底部擴展，直至貫穿整個模型。裂縫擴展過程表明，裂縫擴展初期即發(fā)生明顯的拐折現象，偏轉角度最大可達45°，界面兩側巖石力學性質差異對裂縫的穿層延伸過程產生了較大的影響。

2.4.3 應力強度因子變化

為觀察裂縫擴展過程中應力強度因子的變化情況，計算當裂縫尖端距離界面1.0 m、0.75 m、0.5 m、0.25 m、0 m(裂縫長度為0.5 m、0.75 m、1.0 m、1.25 m、1.5 m)時裂縫尖端的I型應力強度因子，結果如圖10所示。對于裂縫從粉砂巖向煤層中擴展的情況，裂縫從粉砂巖中起裂后，應力強度因子逐漸增大，當裂縫長度由0.75 m增大至1.0 m的過程中，裂縫在粉砂巖層中穩(wěn)定擴展，裂縫尖端應力強度因子變化不大。隨著裂縫尖端逐漸接近界面，應力強度因子急劇增加，裂縫加速穿層擴展。對于裂縫從煤層向粉砂巖擴展的情況，應力強度因子較為穩(wěn)定，整體呈現先增加后緩慢下降的趨勢。從裂縫擴展過程可知，裂縫在穿層擴展前已發(fā)生明顯的拐折現象，裂縫尖端接近界面時，界面強度因子降低，不利于裂縫穿層擴展。

圖9 裂縫從煤層向頂板擴展過程中應力場變化Fig.9 Varying of stress field during fracture propagation from coal rock to roof

圖10 煤層-頂板模型中裂縫尖端接近界面時應力強度因子變化Fig.10 Varying of stress intensity factor when crack tip approaches interface in roof-coal rock model

3 實例應用

某煤層氣水平井位于煤層頂板中，擬通過水力壓裂的方式與下部煤層實施溝通，其工程模型如圖11所示。水力壓裂裂縫從煤層頂板起裂后能否溝通下部煤層，形成有效的產氣通道，是技術成功的關鍵，因此需要判斷水力壓裂裂縫在煤層頂板和煤層界面處的穿層行為。煤層及其頂板的巖石力學參數見表5，利用研究成果，計算得到裂縫從煤層頂板(泥巖)向煤層中擴展時的相關參數如表6所示。從表中可以看出，當裂縫從煤層頂板向煤層中擴展時，λ=0.4834<1/2，χ=1.22>1。根據上述結論，當裂縫從頂板起裂后到達煤層頂板和煤層的界面處時，可沿原路徑順利穿層擴展，進入煤層，從而溝通水平井井筒與煤層，為煤層氣進入井筒提供通道。

圖11 頂板壓裂裂縫延伸示意圖Fig.11 Schematic diagram for extension of fracture in fracturing of roof horizontal well

巖性抗拉強度/MPa彈性模量/GPa剪切模量/GPa泊松比煤層頂板(泥巖)0.56010.304.080.31煤層0.0697.202.730.40

表6裂縫穿層行為判別參數Tab.6 Judgment parameters for fracture extension behavior from roof (mudstone) to coal seam

為觀察水力壓裂裂縫形態(tài)，判斷裂縫在縱向上的延伸情況，該水平井在實施分段壓裂時，對其中2個壓裂段進行了微地震監(jiān)測。鉆井數據表明，水平井井筒距下部煤層頂部距離為0.5～1.5 m。微地震監(jiān)測數據分析表明，煤層及其頂板中均有較多的微地震事件，解釋得到的壓裂裂縫高度分別為20.5 m和17.6 m，證明裂縫實現了穿層擴展，溝通了水平井井筒和煤層，為煤層氣進入井筒提供了通道。

4 結 論

(1)界面兩側巖石力學性質差異對裂縫的穿層延伸具有影響。

(2)由巖石力學性質差異決定的界面強度系數可用于判斷裂縫的穿層擴展行為。當界面強度系數大于1時，裂縫可沿原路徑順利穿層擴展；當界面強度系數小于1時，裂縫的穿層行為將受到影響，裂縫可能停止擴展或拐折穿層擴展。

(3)當裂縫從高強度巖層起裂向低強度巖層擴展時，裂縫擴展方向穩(wěn)定，裂縫擴展角度基本不變，裂縫尖端應力強度因子隨著裂縫尖端與界面距離的減小迅速增大；當裂縫從低強度巖層起裂向高強度巖層擴展時，裂縫在到達界面前發(fā)生偏轉，且界面兩側巖石力學性質差異越大，裂縫偏轉角度越大，裂縫尖端應力強度因子隨著裂縫尖端與界面距離的減小逐漸減小。