裂縫性油藏注水井動態(tài)滲吸數(shù)學(xué)模型及特征分析

李蒙蒙，李 琪,，林加恩，畢 剛

(1.中國石油大學(xué)(北京) 石油工程學(xué)院，北京 102249；2.西安石油大學(xué) 石油工程學(xué)院，陜西 西安 710065)

引 言

在20世紀(jì)50年代，美國Spraberry砂巖油田發(fā)現(xiàn)滲吸采油是裂縫性油藏采油的重要機(jī)理。1958年，Aronofsky等人[1]將飽和油樣的巖心浸沒在純水中，經(jīng)過一段時(shí)間后計(jì)算滲吸累采油量，提出了經(jīng)典的指數(shù)型滲吸經(jīng)驗(yàn)公式。后來有許多學(xué)者應(yīng)用此經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算裂縫與基質(zhì)之間的竄流量。1978年，De Swaan[2]考慮裂縫中含水飽和度的變化，基于裂縫中水的體積守恒，提出了卷積形式的滲吸經(jīng)驗(yàn)公式。1992年，Kazemi等人[3]基于De Swaan提出的滲吸經(jīng)驗(yàn)公式，得到了裂縫性油藏一維Buckley-Leverett 流動方程，并進(jìn)行了解析和數(shù)值求解。后來也有一些學(xué)者[4-9]考慮滲吸作用，建立了一維油水兩相滲流數(shù)學(xué)模型，但多是基于單個(gè)基質(zhì)巖塊進(jìn)行的流動分析。國內(nèi)也有許多學(xué)者對裂縫性油藏油水兩相驅(qū)替過程中滲吸作用進(jìn)行了研究，陳鐘祥[10]、郭大立[11]等人基于Aronofsky滲吸經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，?yīng)用特征線法對雙重孔隙介質(zhì)油水兩相驅(qū)替方程進(jìn)行求解，分別得到了方程的近似解析解和精確解。鄧英爾[12-13]基于擾動橢圓的概念，分別建立了雙重孔隙介質(zhì)油藏垂直裂縫井和水平井的油水兩相流動滲流數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了數(shù)值求解。但應(yīng)用數(shù)值方法[14-17]分析裂縫性油藏水驅(qū)變化規(guī)律存在計(jì)算量大、數(shù)值彌散等問題。本文在前人研究基礎(chǔ)上，建立了兩種裂縫性油藏注水井動態(tài)滲吸數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用Laplace變換與Laplace 反演算法進(jìn)行解析求解，分析了裂縫性油藏的動態(tài)滲吸特征。

1 注水井物理模型

裂縫性油藏中心有一口注水井定注入量進(jìn)行注水，將油藏分成三個(gè)區(qū)域。其中一區(qū)為高含水區(qū)域，二區(qū)為油水兩相過渡區(qū)，三區(qū)為注入水未波及的具有原始含油飽和度的油區(qū)。裂縫性油藏分別采用雙孔單滲模型和雙孔雙滲模型兩種模型進(jìn)行描述。儲層厚度不變，流體為微可壓縮流體，在裂縫與基質(zhì)系統(tǒng)中的流動符合達(dá)西定律?；|(zhì)與裂縫之間存在竄流，且流動為擬穩(wěn)態(tài)流動。裂縫性油藏注水井物理模型示意圖，見圖1。

2 注水井滲吸數(shù)學(xué)模型

裂縫性油藏在注水過程中，注入水首先進(jìn)入裂縫，驅(qū)替裂縫中的原油。

圖1 裂縫性油藏注水井物理模型Fig.1 Physical model of water injection well in fractured reservoir

此時(shí)，基質(zhì)周圍的裂縫中充滿水，在毛管力的作用下，水從裂縫進(jìn)入基質(zhì)，通過滲吸作用，將基質(zhì)中的原油驅(qū)替到裂縫中。Arnofsky假定被水包圍的基質(zhì)巖塊的累積采油量是關(guān)于時(shí)間的連續(xù)單調(diào)函數(shù)并且收斂于一極限值，得到了裂縫性油藏累積采油量與時(shí)間的指數(shù)型經(jīng)驗(yàn)公式[1]

R=R∞(1-eRct)。

(1)

其中：

R∞=φm(1-Sorm-Swcm)，

(2)

R=φm(Swm-Swcm)。

(3)

式中：R為采收率，%；Rc為滲吸強(qiáng)度系數(shù)，1/d；R∞為最終累積采出程度，%；φm為基質(zhì)系統(tǒng)孔隙度，%；t為時(shí)間，h；Sorm為基質(zhì)系統(tǒng)殘余油飽和度，%；Swcm為基質(zhì)系統(tǒng)束縛水飽和度，%；Swm為基質(zhì)系統(tǒng)含水飽和度，%。

Arnofsky的指數(shù)型經(jīng)驗(yàn)公式是在靜態(tài)滲吸的條件下得到的，而在注水過程中，裂縫性油藏基質(zhì)周圍的裂縫中含水飽和度是不斷變化的?；诖?，De Swaan考慮裂縫中含水飽和度變化，提出了新的積分形式的滲吸經(jīng)驗(yàn)公式[2]

(4)

式中：qm為滲吸采收率，%；Swf為裂縫系統(tǒng)中的含水飽和度，%。

下面根據(jù)此滲吸經(jīng)驗(yàn)公式，分別建立雙孔單滲模型和雙孔雙滲模型的徑向水驅(qū)油Buckley-Leverett(B-L)方程[18]，并通過Laplace變換與反演算法得到解析解。

2.1 雙孔單滲油藏滲吸數(shù)學(xué)模型

雙孔單滲模型即為Warren-Root模型，模型中存在相互正交的基質(zhì)系統(tǒng)和裂縫系統(tǒng)。裂縫系統(tǒng)作為流體的流動通道，注入水進(jìn)入地層以后，首先驅(qū)出裂縫中的原油，此時(shí)裂縫中的含水飽和度上升。由于毛管力滲吸作用，注入水進(jìn)入基質(zhì)巖塊，排驅(qū)其中的原油。忽略基巖系統(tǒng)內(nèi)部的流動，基質(zhì)系統(tǒng)看作向裂縫系統(tǒng)補(bǔ)給的“源”。根據(jù)裂縫中的體積守恒，結(jié)合一維水驅(qū)油B-L流動方程和滲吸經(jīng)驗(yàn)公式，得到雙孔單滲油藏徑向流動B-L方程[19-20]。

裂縫系統(tǒng)：

(5)

基質(zhì)系統(tǒng)：

(6)

初始條件：

Swf(r,t=0)=0。

(7)

邊界條件：

Swf(r=0,t)=1。

(8)

式中：q為日注水量，m3/d；h為儲層厚度，m；r為徑向距離，m；rw為井徑，φf為裂縫系統(tǒng)孔隙度。

引入Laplace變量z1，對式(5)、式(6)和式(8)進(jìn)行Laplace變換并代入初始條件可得

(9)

(10)

(11)

通過積分求解，并代入邊界條件可得Laplace空間中裂縫與基質(zhì)系統(tǒng)的含水飽和度變化公式

(12)

(13)

其中：

(14)

(15)

通過拉普拉斯反演，可以得到實(shí)空間中基質(zhì)與裂縫系統(tǒng)中含水飽和度變化公式：

(16)

(17)

2.2 雙孔雙滲油藏滲吸數(shù)學(xué)模型

雙孔雙滲模型是在Warren-Root模型的基礎(chǔ)上，考慮了基質(zhì)系統(tǒng)中流體的流動。即當(dāng)注入水進(jìn)入地層以后，流體同時(shí)進(jìn)入基質(zhì)系統(tǒng)與裂縫系統(tǒng)中，但由于裂縫系統(tǒng)滲透率大于基質(zhì)系統(tǒng)，所以裂縫中水的推進(jìn)速度要快于基質(zhì)系統(tǒng)中水的推進(jìn)速度。由于毛管力滲吸作用，裂縫系統(tǒng)中的水進(jìn)入基質(zhì)巖塊，排驅(qū)其中的原油，從而抑制裂縫中水的突進(jìn)。雙孔雙滲模型基質(zhì)系統(tǒng)的滲流控制方程在雙孔單滲模型的基礎(chǔ)上添加了流動項(xiàng)。根據(jù)裂縫中的體積守恒，結(jié)合一維水驅(qū)油B-L流動方程和滲吸經(jīng)驗(yàn)公式，得到雙孔雙滲油藏徑向流動B-L方程。

裂縫系統(tǒng)：

(18)

基巖系統(tǒng)：

(19)

初始條件：

Swf(r,t=0)=0，

(20)

Swm(r,t=0)=Swcm。

(21)

邊界條件：

Swf(r=0,t)=1，

(22)

Swm(r=0,t)=1。

(23)

引入Laplace變量z1，對式(18)、式(19)、式(22)和式(23)進(jìn)行Laplace變換并代入初始條件可得

(24)

(25)

(26)

(27)

通過積分求解，并代入邊界條件可得Laplace空間中裂縫與基質(zhì)系統(tǒng)的含水飽和度變化公式

(28)

(29)

通過拉普拉斯反演，可以得到實(shí)空間中基質(zhì)與裂縫系統(tǒng)中含水飽和度變化公式：

(30)

(31)

3 裂縫性油藏滲吸特征分析

根據(jù)裂縫性油藏注水井滲吸數(shù)學(xué)模型得到的解析解，使用MATLAB軟件編程可得到注水井注水過程中基質(zhì)與裂縫系統(tǒng)中的含水飽和度變化規(guī)律，從而分析滲吸作用對水驅(qū)油效果的影響。圖2和圖3反映了雙孔單滲模型注水井動態(tài)滲吸特征，圖4和圖5反映了雙孔雙滲模型的注水井動態(tài)滲吸特征，應(yīng)用滲吸數(shù)學(xué)模型計(jì)算注水過程中的飽和度值，所使用的參數(shù)如表1所示。

表1 裂縫性油藏飽和度分布計(jì)算參數(shù)Tab.1 Parameters for calculation of water saturation distribution in fractured reservoir

圖2和圖3為注水井注入100 d后，滲吸強(qiáng)度系數(shù)分別為0, 0.001, 0.01, 0.1 和1時(shí)，雙孔單滲油藏裂縫系統(tǒng)和基質(zhì)系統(tǒng)中的含水飽和度分布圖。通過兩圖對比可以看出，當(dāng)滲吸強(qiáng)度系數(shù)為0，即不考慮滲吸時(shí)，水在裂縫中的驅(qū)替過程相當(dāng)于活塞式驅(qū)替，裂縫水淹較快，水驅(qū)替過后裂縫中含水飽和度達(dá)到最大含水飽和度值。在驅(qū)替前沿處，含水飽和度存在一個(gè)突變?；|(zhì)中的含水飽和度基本沒有發(fā)生變化，含水飽和度值為束縛水飽和度。表明當(dāng)不考慮滲吸時(shí)，注入水沿裂縫突進(jìn)，只能驅(qū)替出裂縫中的原油，基質(zhì)中的原油基本不能被采出，驅(qū)油效果較差。

從圖3可以看出，當(dāng)滲吸強(qiáng)度系數(shù)不為0時(shí)，注入裂縫中的水會通過毛管力滲吸作用進(jìn)入基質(zhì)，基質(zhì)中的原油被驅(qū)替到裂縫中，從而抑制裂縫中水的突進(jìn)，使裂縫中含水上升變緩。在油水界面處含水飽和度沒有發(fā)生突變，而是逐漸緩慢的變化，存在油水過渡帶。隨滲吸強(qiáng)度的增加，油水兩相區(qū)的擴(kuò)大速度變慢，含水上升速度變緩，裂縫中的水能夠充分進(jìn)入基質(zhì)，驅(qū)替出更多的原油。裂縫中的原油主要靠水的驅(qū)動作用采出，而基質(zhì)中的原油主要靠毛管力滲吸作用驅(qū)出。表明對于裂縫性親水油藏，毛管力滲吸作用是水驅(qū)油的主要動力。

圖4和圖5為當(dāng)滲吸強(qiáng)度系數(shù)分別為0.01和1時(shí)，注入時(shí)間分別為5，50，100，200，300 d時(shí)，雙孔雙滲油藏基質(zhì)與裂縫系統(tǒng)中的含水飽和度變化曲線。兩圖對比可以看出，當(dāng)滲吸強(qiáng)度系數(shù)較小(Rc=0.01)時(shí)，隨注入時(shí)間的增加，油水兩相區(qū)的范圍逐漸變大，水驅(qū)前沿在裂縫與基質(zhì)系統(tǒng)中的推進(jìn)速度基本一致。這是由于當(dāng)滲吸強(qiáng)度系數(shù)較小時(shí)，裂縫中的水雖然會進(jìn)入基質(zhì)，但是基質(zhì)與裂縫中的流體作用不夠充分，基質(zhì)中只有部分原油被驅(qū)出，所以油水兩相區(qū)的范圍會變大。

圖2 不同滲吸強(qiáng)度系數(shù)條件下裂縫系統(tǒng)中的含水飽和度分布Fig.2 Water saturation distributions in fracture system under different imbibition intensity

圖3 不同滲吸強(qiáng)度系數(shù)條件下基質(zhì)系統(tǒng)中的含水飽和度分布Fig.3 Water saturation distributions in matrix under different imbibition intensity

圖4 滲吸強(qiáng)度系數(shù)為0.01時(shí)基質(zhì)系統(tǒng)和裂縫系統(tǒng)中的含水飽和度變化曲線Fig.4 Varying curves of water saturation in matrix and fracture with distance when Rc=0.01

圖5 滲吸強(qiáng)度系數(shù)為1時(shí)基質(zhì)系統(tǒng)和裂縫系統(tǒng)中的含水飽和度變化曲線Fig.5 Varying curves of water saturation in matrix and fracture with distance when Rc=1

從圖5可以看出，當(dāng)滲吸強(qiáng)度系數(shù)較大(Rc=1)時(shí)，隨注入時(shí)間的增加，水驅(qū)前沿在基質(zhì)和裂縫中的推進(jìn)速度基本一致，油水兩相區(qū)的范圍相比滲吸強(qiáng)度系數(shù)為0.01時(shí)變小。這是由于隨滲吸強(qiáng)度系數(shù)的增加，裂縫中的水能夠充分進(jìn)入基質(zhì)，使裂縫與基質(zhì)中流體交換更加充分，驅(qū)替出更多的原油。因此，當(dāng)滲吸強(qiáng)度系數(shù)為1時(shí)，水驅(qū)前沿在基質(zhì)和裂縫中的推進(jìn)速度比滲吸強(qiáng)度系數(shù)為0.01時(shí)的推進(jìn)速度變緩。

4 結(jié) 論

(1)將裂縫性油藏分為雙孔雙滲油藏和雙孔單滲油藏兩種類型，基于一維B-L水驅(qū)油理論和滲吸經(jīng)驗(yàn)公式，建立了兩種裂縫性油藏注水井的動態(tài)滲吸數(shù)學(xué)模型。采用Laplace變換與反演方法進(jìn)行求解，得到了兩種裂縫性油藏?cái)?shù)學(xué)模型的解析解。

(2)裂縫性油藏注水過程中，注入水將油藏分成高含水區(qū)、油水兩相過渡區(qū)和注入水未波及區(qū)三個(gè)區(qū)域。當(dāng)不考慮滲吸作用時(shí)，注入水將油藏分為注入水波及區(qū)和注入水未波及區(qū)兩個(gè)區(qū)域，不存在油水兩相區(qū)。注入水沿裂縫突進(jìn)較快，基質(zhì)中原油基本未被驅(qū)出，驅(qū)油效果較差。

(3)注入水在滲吸作用下，會沿裂縫進(jìn)入基質(zhì)，將基質(zhì)中的原油驅(qū)出。隨滲吸強(qiáng)度系數(shù)的增加，滲吸作用逐漸增大，裂縫中更多的水進(jìn)入基質(zhì)，從而抑制裂縫中水的突進(jìn)，使裂縫中含水上升變緩。同時(shí)，較多的原油被驅(qū)替到裂縫中，使驅(qū)油效果變好。

(4)當(dāng)滲吸作用較小時(shí)，隨注入時(shí)間的增加，油水兩相區(qū)的范圍會逐漸變大。當(dāng)滲吸作用較大時(shí)，油水兩相區(qū)的范圍會變小，水驅(qū)前沿的推進(jìn)速度會變慢，但是裂縫與基質(zhì)中流體交換會更加充分，能夠驅(qū)替出較多的原油。