含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)分析方法

王祖華，殷洪

武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北武漢430205

0 引 言

含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)由面板和內(nèi)含多種組分的復(fù)雜芯層組成，是一種兼具力學(xué)和聲學(xué)性能的夾層吸聲復(fù)合材料。沿厚度方向植入的增強(qiáng)柱能夠較好地提高夾芯結(jié)構(gòu)的承載能力［1］，在上、下面板之間使用合理布置的圓臺(tái)形空腔可以實(shí)現(xiàn)吸、隔聲功能［2］。含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的芯層由芯材、周期性分布的點(diǎn)陣增強(qiáng)柱及空腔組成，其結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，各結(jié)構(gòu)組分的形狀、尺寸、材料參數(shù)均可影響整體結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)性能，故難以直接運(yùn)用經(jīng)典的層合板理論對(duì)其固有振動(dòng)開展研究。

目前，針對(duì)芯層含內(nèi)部組分的復(fù)合材料夾芯結(jié)構(gòu)的振動(dòng)研究方法，主要包括基于板殼理論的解析方法和有限元方法。王展光等［3］對(duì)金字塔點(diǎn)陣夾芯結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了理論分析，其假設(shè)面板只承受面內(nèi)軸力而不承受橫向剪力，腹桿承受橫向剪力而不承受軸力，從而將點(diǎn)陣夾芯板折算為等效的均質(zhì)夾層板，采用Reissner夾層板理論，對(duì)其在自由振動(dòng)和簡諧載荷作用下的受迫振動(dòng)問題進(jìn)行了研究。Lok和Cheng［4］通過將梯形棱柱點(diǎn)陣夾芯板等效為均勻的正交各向異性厚板，采用一階剪切變形理論，解決了在四邊簡支邊界條件下自由振動(dòng)和簡諧載荷作用時(shí)的受迫振動(dòng)問題。徐勝今等［5］采用Reddy高階剪切理論，對(duì)正交各向異性蜂窩夾層板進(jìn)行分層研究，推導(dǎo)出了蜂窩夾層板的動(dòng)力學(xué)基本方程，并對(duì)正交各向異性單向蜂窩夾層板的自由振動(dòng)進(jìn)行深入研究，給出了對(duì)邊簡支時(shí)的頻率方程和振型函數(shù)，同時(shí)分析了夾芯厚度及厚跨比對(duì)頻率的影響。Lou等［6］研究了復(fù)合材料四面體點(diǎn)陣夾芯結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性，通過對(duì)單胞進(jìn)行受力分析，求得金字塔點(diǎn)陣芯子的等效橫向剪切模量，考慮面板的彎曲變形和芯子的剪切變形，根據(jù)哈密爾頓（Hamilton）變分原理推導(dǎo)自由振動(dòng)控制方程，并求解了固有頻率的理論值。朱波等［7］應(yīng)用ANSYS有限元分析軟件，采用8節(jié)點(diǎn)Solid 45實(shí)體單元，對(duì)建立的增強(qiáng)型夾層圓柱殼物理模型進(jìn)行了自由振動(dòng)及瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)過程分析，并考慮樹脂材料性能、尺寸和分布等參數(shù)變化，分析了點(diǎn)陣增強(qiáng)和齒槽增強(qiáng)對(duì)夾層圓柱殼動(dòng)力學(xué)性能的影響。

前人使用的解析方法主要基于成熟的板殼理論，將含內(nèi)部組分的芯層進(jìn)行簡化等效處理，以方便控制方程的求解，從而對(duì)復(fù)合材料夾芯結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行分析。該類方法對(duì)于芯層內(nèi)部組分材料相同、尺寸單一且分布形式相似的夾層結(jié)構(gòu)具有一定的普遍適用性，但對(duì)于芯層內(nèi)含2種以上組分，且組分材料不一、尺寸不同的夾層結(jié)構(gòu)，則無法直接適用。

對(duì)于多組分復(fù)合材料的等效處理研究，Zhu等［8］基于廣義自洽法，采用分步均勻化等效的思路，獲取了電化學(xué)沉積修復(fù)飽和混凝土的有效性能。本文將借鑒文獻(xiàn)［8］提供的多層次均勻化等效思路，來處理含空腔、點(diǎn)陣增強(qiáng)柱和泡沫基體的復(fù)雜芯層的等效問題，并基于一階剪切變形的夾層板理論，對(duì)四邊簡支含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)進(jìn)行研究。

1 芯層的均勻化等效

含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)由面板和內(nèi)含多種組分的復(fù)雜芯層組成，如圖1所示。該夾芯結(jié)構(gòu)的芯層是由芯材、周期性分布的空腔和點(diǎn)陣增強(qiáng)柱組成的3相復(fù)合材料。研究夾芯結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)的關(guān)鍵是解決含空腔、點(diǎn)陣增強(qiáng)柱和泡沫基體的復(fù)雜芯層的等效問題。本文基于Mori-Tanaka方法，采用多層次均勻化的思路對(duì)含復(fù)雜組分的芯層進(jìn)行等效處理。

圖1 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

1.1 Mori-Tanaka方法

Mori-Tanaka方法是一種基于Eshelby等效夾雜理論求解復(fù)合材料等效彈性模量的細(xì)觀力學(xué)方法［9-10］。對(duì)于兩相夾雜復(fù)合材料，其有效模量表示為

其中，應(yīng)變集中因子張量A為

式中：?為等效后復(fù)合材料的彈性常數(shù)張量；L0為基體相的彈性常數(shù)張量；I為四階單位張量；C1為夾雜相的體積比；L1為夾雜相的彈性常數(shù)張量；S為Eshelby張量，其值由L0和夾雜形狀決定。

Zhao等［11］給出了Eshelby張量S的表達(dá)式，當(dāng)夾雜相為圓柱形，材料各向同性，泊松比為ν0時(shí)，其Eshelby張量S的矩陣形式可寫為

對(duì)于正交各向異性（各向同性為其中的特殊情況）材料，式（1）和式（2）中的彈性常數(shù)張量L，L0，L1均可表示為以下矩陣形式［12］：

式中：E11，E22，E33分別為彈性主方向上的彈性模量；G12，G23，G31分別為平面內(nèi)的剪切模量；ν12，ν23，ν13為主泊松比；ν21，ν31，ν32為次泊松比。

將L0，L1的矩陣形式代入式（1）和式（2），可求出復(fù)合材料的等效彈性常數(shù)張量L?，對(duì)其矩陣形式求逆，就能較方便地得到各個(gè)等效彈性模量。

1.2 芯層的等效過程

對(duì)于周期性分布的增強(qiáng)柱及空腔的芯層結(jié)構(gòu)，本文采用多層次均勻化等效的思路來獲取其等效彈性模量。

1）第1層次等效。

以泡沫芯材作為基體，空腔作為夾雜相，兩相復(fù)合成為含空腔泡沫芯層?？涨粸閳A臺(tái)形，在面內(nèi)方向上，含空腔泡沫芯層可視作各向同性材料；考慮到本文主要研究的是芯層整體結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)，可通過體積平均，將圓臺(tái)形空腔近似視為圓柱形空腔來處理，進(jìn)一步與芯材基體等效為正交各向異性材料，并記作等效復(fù)合材料A，等效過程如圖2（a）所示。利用式（1）和式（2），即可求得復(fù)合材料A的等效彈性模量。為避免計(jì)算過程中出現(xiàn)的奇異問題，將空腔視作一種彈性模量和泊松比都非常小的材料［13］。

采用體積平均方法將圓臺(tái)形空腔等效為圓柱形空腔，其等效直徑為

式中，?1，?2分別為圓臺(tái)形空腔的上、下端直徑。

2）第2層次等效。

以等效復(fù)合材料A為基體，點(diǎn)陣增強(qiáng)柱作為夾雜相，兩相復(fù)合進(jìn)行第2層次的等效。由于增強(qiáng)柱為圓柱形，可以將復(fù)合材料等效為正交各向異性材料，并記作等效復(fù)合材料B。采用Mori-Tanaka方法，將式（3）和式（4）代入式（1），即可求得正交各向異性等效復(fù)合材料B的等效彈性模量。等效過程如圖2（b）所示。

圖2 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)芯層等效為正交各向異性材料的過程Fig.2 Process of the lattice-reinforced core with cavities equalizing to orthotropic material

由上述多層次均勻化等效過程可知，等效復(fù)合材料B的模量即可反映含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)芯層的宏觀力學(xué)性能。

2 一階剪切變形的層合板理論

取芯層中面作為坐標(biāo)平面，含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)共 3 層，h0，h1，h2，h3分別為各層厚度，如圖3所示。

根據(jù)一階剪切變形的假設(shè)，層合板內(nèi)任意一點(diǎn)在x，y，z方向上的位移u，ν，w可表示為

圖3 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)截面示意圖Fig.3 Layered section diagram of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

式中：u0(x，y)，ν0(x，y)和w0(x，y)分別為層合板中面上對(duì)應(yīng)位置點(diǎn)在x，y，z方向的位移；φx(x，y)和φy(x，y)分別為法線在x，y方向的轉(zhuǎn)角；t為時(shí)間。

根據(jù)小變形假設(shè)，任意位置處的正應(yīng)變?chǔ)舩，εy和剪應(yīng)變?chǔ)脁y，γxz，γyz分別為：

對(duì)于正交各向異性材料，應(yīng)力σx，σy和τxy的應(yīng)變關(guān)系滿足下式：

式中，Q11，Q12，Q22和Q66分別為各層的剛度系數(shù)，計(jì)算公式如下：

截面合力N=（Nx，Ny，Nxy）T及截面彎矩M=（Mx，My，Mxy）T為

式中，矩陣元素Aij，Bij，Dij是關(guān)于Qij及厚度方向坐標(biāo)z的積分，表達(dá)式分別為：

對(duì)于一階剪切變形理論中自由邊界上的剪應(yīng)力不為0的矛盾，此處按照剪切余能相等的原則，假定剪應(yīng)力在厚度方向呈拋物線分布，進(jìn)行修正并推導(dǎo)正交各向異性夾層板的剪切剛度為：

式中：h為層合板總厚度；Hi為中間過程量，

從而夾層板的剪應(yīng)力可以寫為

由哈密爾頓原理，可推導(dǎo)出層合板結(jié)構(gòu)真空中的固有振動(dòng)方程為

式中：為單位面積層合板的質(zhì)量；Q為單位面積層合板的分布質(zhì)量在平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)生耦合時(shí)的耦合慣量；I為單位面積層合板的分布質(zhì)量對(duì)所取坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，相應(yīng)的表達(dá)式為：

式中，ρ為各層材料的密度。

在四邊簡支邊界條件下，采用雙三角級(jí)數(shù)解法，可對(duì)層合板的固有振動(dòng)方程式（15）進(jìn)行求解，得到

式中：u0mn，v0mn，φxmn，φymn和wmn為廣義位移幅值，是待定的值；m和n分別為板振動(dòng)時(shí)在x，y方向的半波數(shù)；a，b分別為夾芯板的長度和寬度。取式（17）第m×n項(xiàng)，代入式（16），并在方程兩邊分別乘上對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)表達(dá)式，利用三角函數(shù)正交性解耦，可得到關(guān)于廣義位移幅值的線性方程組，取該方程組的系數(shù)行列式值為0，即可求得各階模態(tài)的固有頻率。

3 算例及結(jié)果討論

3.1 算例模型

圖4所示為含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)模型的尺寸示意圖。圖中：c為芯材厚度，f為面板厚度，d為支柱間距，?為增強(qiáng)柱直徑，?1，?2分別為圓臺(tái)形空腔上、下端直徑。具體尺寸如表1所示。

由夾雜相的周期性分布規(guī)律，取單胞長、寬、厚依次為60，60，40 mm，增強(qiáng)柱體積比RVR為2.18%，空腔的體積比RVC為9.45%。

圖4 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)尺寸示意圖Fig.4 Schematic diagram of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

表1 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)Table 1 Dimension parameters of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

表2給出了含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)結(jié)構(gòu)使用的材料參數(shù)。其中，面板為正交各向異性材料，泡沫芯材和增強(qiáng)柱視為各向同性材料。

表2 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)Table 2 Material parameters of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

在ANSYS有限元軟件中輸入正交各向異性材料的材料參數(shù)時(shí)，3個(gè)平面的剪切模量設(shè)置為相同的值，厚度方向的楊氏模量Ez也近似用Ex或者Ey代替。

3.2 本文方法與有限元方法對(duì)比

采用3.1節(jié)的模型尺寸參數(shù)，在ANSYS有限元軟件中建立含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的詳細(xì)模型，圖5所示為其局部剖面圖。圖中，面板采用Shell 181單元，泡沫芯材、增強(qiáng)柱均采用Solid 185單元。劃分網(wǎng)格計(jì)算至結(jié)果收斂，網(wǎng)格數(shù)為73 367。計(jì)算固有振動(dòng)頻率，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析討論。

對(duì)上述夾芯結(jié)構(gòu)進(jìn)行四邊簡支約束，計(jì)算其在真空中的固有振動(dòng)，提取前5階彎曲固有模態(tài)結(jié)果。表3給出了相應(yīng)的固有頻率。在采用解析法計(jì)算的過程中，為避免出現(xiàn)奇異問題，將空腔視作一種彈性模量和泊松比都非常小的材料，通過對(duì)空腔彈性模量Ec和空腔泊松比ν0展開收斂性分析，在Ec不大于芯材基體模量的0.001倍（Ec≤0.001Em），同時(shí)空腔的泊松比不大于芯材基體泊松比 νm(νc≤ νm)時(shí)，滿足計(jì)算要求。

圖5 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)模型局部剖面圖Fig.5 Partial section of the lattice reinforced sandwich structure with cavities

表3 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的固有頻率Table 3 Natural frequencies of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

從表3中可以看出，本文方法的固有頻率解析解與含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)結(jié)構(gòu)詳細(xì)模型的有限元計(jì)算結(jié)果吻合得較好，前5階固有頻率的相對(duì)誤差不超過2%。如圖6所示，隨著彎曲模態(tài)階數(shù)的逐漸增大，當(dāng)?shù)陀?0時(shí)，固有頻率的相對(duì)誤差基本穩(wěn)定在6%以內(nèi)；當(dāng)上升至40以上時(shí)，部分階數(shù)的固有頻率的相對(duì)誤差迅速增大至10%以上。

圖6 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的前50階彎曲模態(tài)固有頻率Fig.6 The first 50thorder bending mode natural frequencies of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

表4給出了固有頻率相對(duì)誤差超過10%的部分模態(tài)的詳細(xì)信息。表中，固有頻率相對(duì)誤差較大的模態(tài)振型呈現(xiàn)如下規(guī)律：半波數(shù)在長度方向超過9或在寬度方向超過5。提取第41階模態(tài)（固有頻率為3 873.4 Hz）云圖分析，并與解析法云圖對(duì)比，結(jié)果如圖7所示。當(dāng)振型半波數(shù)為1×6時(shí)，模態(tài)整體基本相似，但含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的有限元云圖出現(xiàn)了明顯的局部模態(tài)特征。其他固有頻率相對(duì)誤差大于5%的模態(tài)階數(shù)對(duì)應(yīng)的云圖也表現(xiàn)出了類似的特征。

表4 相對(duì)誤差超過10%的部分模態(tài)詳細(xì)信息Table 4 Details of some modes with relative error exceeding 10%

圖7 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)等效模型第41階模態(tài)Fig.7 The 41thmode of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

結(jié)合上述分析，考慮到本算例中含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的內(nèi)部周期性分布了9×5個(gè)增強(qiáng)柱和8×4個(gè)空腔，可以總結(jié)得出，在模態(tài)振型半波數(shù)超過對(duì)應(yīng)方向的內(nèi)部夾雜結(jié)構(gòu)數(shù)量時(shí)，增強(qiáng)柱和空腔的局部模態(tài)對(duì)實(shí)際夾芯結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)影響較大，導(dǎo)致本文采用解析法和有限元方法得到的固有頻率的相對(duì)誤差快速增大；而對(duì)于前40階模態(tài)，在模態(tài)振型半波數(shù)不超過對(duì)應(yīng)方向的內(nèi)部夾雜結(jié)構(gòu)數(shù)量時(shí)，增強(qiáng)柱和空腔的局部模態(tài)對(duì)含空腔點(diǎn)陣夾芯結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)影響較小，夾芯結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主要以整體模態(tài)為主，此時(shí)本文采用解析法與有限元方法得到的結(jié)果吻合較好。

以上中、低頻固有振動(dòng)的計(jì)算結(jié)果表明，本文采用多層次均勻化等效Mori-Tanaka方法，將包含空腔、點(diǎn)陣增強(qiáng)柱和泡沫基體的復(fù)雜芯層結(jié)構(gòu)等效為正交各向異性材料，并基于一階剪切變形夾層板理論，計(jì)算四邊簡支含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的中、低頻固有頻率時(shí)具有良好的適用性和準(zhǔn)確性。

3.3 芯材面板模量比Em/Ep對(duì)含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)芯層等效彈性模量的影響規(guī)律

芯層尺寸及材料參數(shù)同3.1節(jié)，保持芯材模量Em不變，改變面板模量Ep，求不同芯材面板模量比Em/Ep下含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的固有頻率。圖8所示為前5階結(jié)果。

圖8 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)固有頻率隨芯材面板模量比Em/Ep的變化關(guān)系Fig.8 Relation between natural frequencies of the latticereinforced sandwich structure with cavities andEm/Ep

由圖可以看出，當(dāng)芯材模量Em不變時(shí)，隨著芯材面板模量比Em/Ep的增大，各階固有頻率均呈下降趨勢；當(dāng)芯材面板模量Ep較小時(shí)，各階固有頻率隨著芯材面板模量比Em/Ep的增大而減小較快，即當(dāng)芯材與面板模量相比較為懸殊時(shí)，芯材面板模量比Em/Ep對(duì)含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)固有頻率的影響較大。

3.4 增強(qiáng)柱體積比RVR對(duì)含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)固有頻率的影響規(guī)律

芯層尺寸及材料參數(shù)同3.1節(jié)，改變點(diǎn)陣增強(qiáng)柱直徑，采用本文解析方法，求不同增強(qiáng)柱體積比RVR對(duì)應(yīng)的含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的固有頻率。圖9所示為前5階結(jié)果。

圖9 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)固有頻率隨增強(qiáng)柱體積比RVR的變化關(guān)系Fig.9 Relation between natural frequencies of the latticereinforced sandwich structure with cavities and RVR

由圖可以看出，隨著增強(qiáng)柱體積比RVR的增大，各階固有頻率均逐漸增大，但增大的趨勢較小。這說明增強(qiáng)柱對(duì)整體結(jié)構(gòu)的中、低頻固有頻率的影響較小。

3.5 空腔體積比RVC對(duì)含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)芯層等效彈性模量的影響規(guī)律

芯層尺寸及材料參數(shù)同3.1節(jié)，保持點(diǎn)陣增強(qiáng)柱直徑?=10 mm不變，改變空腔體積，求不同空腔體積比RVC對(duì)應(yīng)的含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的固有頻率。圖10所示為前5階結(jié)果。

圖10 含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)固有頻率隨空腔體積比RVC的變化關(guān)系Fig.10 Relation between natural frequencies of the latticereinforced sandwich structure with cavities and RVC

由圖可以看出，隨著空腔體積比RVC的增大，各階模態(tài)的固有頻率幾乎呈線性下降，同時(shí)減小的趨勢較明顯。這說明空腔體積比對(duì)整體結(jié)構(gòu)的固有頻率的影響較大。

4 結(jié) 論

本文采用多層次等效的思路處理結(jié)構(gòu)復(fù)雜的芯層，并基于一階剪切變形夾層板理論研究了四邊簡支含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性，得出如下結(jié)論：

1）采用多層次均勻化等效的Mori-Tanaka方法處理含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜芯層是適用的，芯層結(jié)構(gòu)的等效彈性模量可以用于預(yù)測含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的中、低頻固有頻率。

2）基于一階剪切變形理論，計(jì)算四邊簡支含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)得到的中、低頻固有頻率的誤差不超過3%，可滿足工程精度要求，且數(shù)理模型清晰，計(jì)算速度快，便于固有振動(dòng)特性的規(guī)律研究。

3）芯材面板模量比、點(diǎn)陣增強(qiáng)柱體積比和空腔體積比對(duì)含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)的固有頻率均有一定的影響，當(dāng)芯材與面板模量之比較小時(shí)，芯材面板模量比對(duì)含空腔點(diǎn)陣增強(qiáng)夾芯結(jié)構(gòu)固有頻率的影響較大。

對(duì)于中、高頻振動(dòng)，即模態(tài)振型半波數(shù)大于對(duì)應(yīng)方向的內(nèi)部夾雜結(jié)構(gòu)數(shù)量時(shí)，固有頻率的誤差增大較快，本文方法將不再適用。將考慮采用板—桿耦合振動(dòng)的思路來開展下一步的研究，并通過模型試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證和修正。