泄水建筑物反弧急流水深的顯式解

寧利中， 張 珂， 寧碧波， 田偉利

(1.西安理工大學(xué) 省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710048； 2.嘉興學(xué)院建筑工程學(xué)院, 浙江 嘉興 314001 ；3. 上海大學(xué) 美術(shù)學(xué)院, 上海 200444)

1 研究背景

泄水建筑物的水力特性是進(jìn)行泄水工程設(shè)計(jì)的依據(jù)，關(guān)于泄水建筑物的水力特性的實(shí)驗(yàn)研究、計(jì)算分析與數(shù)值模擬研究等，已經(jīng)有許多成果[1-6]。這為泄水建筑物的設(shè)計(jì)提供了安全保證。在進(jìn)行泄水建筑物下游水流消能防沖銜接方式分析時(shí)，必須依據(jù)泄出水流的水力參數(shù)。這些水力參數(shù)以水深最小，流速最大的收縮斷面的水力要素為代表。收縮斷面可看作泄出水流與下游消能防沖銜接的開始斷面。因此，收縮斷面的水力特性資料是計(jì)算水流消能方式的基本要素[1]。在設(shè)計(jì)泄水建筑物反弧段體形時(shí)也要用到收縮斷面的水力特性資料，許多研究已經(jīng)發(fā)現(xiàn)泄水建筑物的反弧半徑是反弧段水深和流速的函數(shù)[7-13]。根據(jù)我國的重力壩、拱壩、溢洪道規(guī)范規(guī)定以及水工設(shè)計(jì)手冊建議，泄水建筑物的反弧半徑是隨著反弧段水深而變化的[14-17]。另一方面，在進(jìn)行泄水建筑物反弧段動(dòng)水壓力計(jì)算時(shí)也必須知道反弧水深。因此，泄水建筑物的反弧段水深是進(jìn)行反弧半徑設(shè)計(jì)時(shí)的必要資料。

關(guān)于泄水建筑物的反弧段水深已經(jīng)有了一些分析和實(shí)驗(yàn)研究成果，分別給出了分析方程[8,18]和經(jīng)驗(yàn)公式[19-21]。由實(shí)驗(yàn)給出的經(jīng)驗(yàn)公式由于實(shí)驗(yàn)的條件、實(shí)驗(yàn)參數(shù)變化范圍的限制，都有一定的應(yīng)用限制條件。文獻(xiàn)[18]建議的恒定急變流的能量方程，理論上更加合理但應(yīng)用該方法時(shí)計(jì)算較復(fù)雜。本文基于恒定急變流的能量方程對泄水建筑物的反弧水流進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上，對恒定急變流的能量方程建立的反弧段水深方程，通過級(jí)數(shù)展開近似處理，得到泄水建筑物反弧水深的顯式解。經(jīng)過誤差分析，在實(shí)際工程的參數(shù)變化范圍內(nèi)，本文建議的泄水建筑物反弧水深的顯式解具有足夠的精度。同時(shí)，計(jì)算工作量大幅減少。

2 反弧段流動(dòng)的分析

對于圖1所示的溢流壩的過流，水流從壩頂下泄時(shí)，勢能逐漸轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，水深沿程減小，流速沿程增大。到達(dá)壩址的c-c斷面，流速達(dá)到最大，水深變得最小。這個(gè)斷面稱為收縮斷面，該處水深稱為收縮水深。收縮水深小于臨界水深。水力要素如圖1所示，hc代表收縮水深，m；P2代表從下游床面算起的壩高，m；H代表堰上水頭，m；v0代表0-0斷面流速，m/s；α0代表0-0斷面動(dòng)能修正系數(shù)；g代表重力加速度，m/s2；E代表從下游床面算起的0-0斷面的水頭，m；E0代表從下游床面算起的0-0斷面的全水頭，m。現(xiàn)在以收縮斷面底部為基準(zhǔn)面，對壩前0-0斷面和c-c收縮斷面應(yīng)用恒定急變流能量方程[18]，有：

(1)

(2)

則公式(1)變?yōu)椋?/p>

(3)

為了討論方便，定義流速系數(shù)為：

(4)

式中:q為單寬流量，m3/(s·m)。公式(4)為計(jì)算收縮水深的基本方程。它可以改寫為：

(5)

(6)

為了獲得精確的收縮水深，對于流速系數(shù)φ0進(jìn)行了大量的研究，它取決于泄水建筑物的形式，尺寸；與反弧半徑，壩面粗糙度，單寬流量等影響因素有關(guān)。已經(jīng)有許多研究成果。系數(shù)k可按文獻(xiàn)[18]對圓柱反弧體形時(shí)同心圓理論的分析結(jié)果取值。由于在某些情況下反弧水流并不符合同心圓假定[8,19]。因此，也可以按照文獻(xiàn)[8]的處理直接給出考慮急變流的流速系數(shù)φ的數(shù)值。由于公式(4)是關(guān)于hc的三次方程，不容易直接求解，一般通過式(5)用試算法或者迭代法求解。為了計(jì)算的方便，本文將尋求收縮水深hc的顯式近似解。

圖1 溢流壩泄水示意圖

3 反弧段急流水深的顯式近似解

3.1 顯式近似解1

將公式(6)變形，得:

(7)

(8)

考慮流能比，將公式(8)取前兩項(xiàng)代入公式(7)，得:

(9)

公式(9)變形，得:

(10)

求解公式(10)，得收縮水深的計(jì)算式為:

(11)

3.2 顯式近似解2

(12)

將公式(12)取前兩項(xiàng)代入式(6)，得：

(13)

公式(13)變形，得收縮水深的計(jì)算式為:

(14)

4 顯式解的誤差分析與討論

對于一般的溢流壩反弧段的流能比K在0.01到0.30之間變化，對于有閘門或者無閘門控制的溢流壩反弧段急變流流速系數(shù)φ在0.85到1.0之間變化。下面分析近似解(11)和近似解(14)與精確解(6)的誤差。表1給出了不同流能比和不同流速系數(shù)情況下近似解(11)與精確解(6)的誤差。它們的結(jié)果如圖2所示。

表1 顯式近似解公式(11)與精確解公式(6)的比較

表2給出了不同流能比和不同流速系數(shù)情況下近似解(14)與精確解(6)的誤差。它們的結(jié)果如圖3所示。

由表1、2可以看出，(1)隨著流能比的減小，由顯式近似式計(jì)算的反弧急流水深與精確解的誤差變?。浑S著流速系數(shù)的增大，由顯式近似式計(jì)算的反弧急流水深與精確解的誤差減??；(2)顯式近似解(11)與精確解的最大誤差為1.85%，顯式近似解(14)與精確解的最大誤差為4.24%，最大誤差都發(fā)生在流速系數(shù)φ=0.85、流能比K=0.3的情況下。在小流能比情況下，顯式近似解與精確解的誤差更小。流能比K≤0.05的情況下，顯式近似解(11)與顯式近似解(14)的誤差均為零。在大流能比情況下，顯式近似解(11)的誤差小于顯式近似解(14)的誤差。顯式近似解(11)在流能比K≤0.2的情況下，誤差小于0.7%。 顯式近似解(14)在流能比K≤0.15的情況下，誤差小于0.75%；(3)在實(shí)際工程的水力參數(shù)變化范圍內(nèi)，本文給出的顯式近似解公式(11)和顯式近似解公式(14)都有足夠的精度，并且兩公式均為簡單顯式函數(shù)，它們都可以應(yīng)用到實(shí)際工程的水力計(jì)算中。從精度方面考慮，優(yōu)先推薦顯式近似解(11)。

表2 顯式近似解公式(14)與精確解公式(6)的比較

圖2不同流速系數(shù)情況下顯式近似解公式(11)的誤差隨著流能比的變化 圖3不同流速系數(shù)情況下顯式近似解公式(14)的誤差隨著流能比的變化

5 結(jié) 論

(1)基于恒定急變流的能量方程對于泄水建筑物的反弧水流進(jìn)行分析，對恒定急變流的能量方程建立的反弧段水深方程應(yīng)用級(jí)數(shù)展開近似處理，得到泄水建筑物反弧急流水深的顯式解。

(2)反弧急流水深的精確解和顯式解的誤差分析表明，當(dāng)急變流流速系數(shù)φ在0.85到1.0之間變化，流能比K在0.01到0.3之間變化時(shí)，誤差隨著流速系數(shù)φ的增大而減?。徽`差隨著流能比K的減小而減小。顯式近似解(11)與精確解的最大誤差為1.85%，顯式近似解(14)與精確解的最大誤差為4.24%，最大誤差都發(fā)生在流速系數(shù)φ=0.85、流能比K=0.3的情況下。

(3)在上述流速系數(shù)和流能比的變化范圍內(nèi)，本文建議的反弧急流水深顯式解具有形式簡單、計(jì)算方便、又具有足夠精度的特點(diǎn)。因此，可應(yīng)用于實(shí)際工程的的水力計(jì)算與設(shè)計(jì)。