基于比例歸一化LMS算法次級(jí)通道模型辨識(shí)

陳媛媛，周德好，王 強(qiáng)

（1.南京理工大學(xué)，南京210094；2.北京航天光華電子技術(shù)有限公司，北京100039）

0 引言

作為公共交通工具的一種，地鐵已經(jīng)在國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展中發(fā)揮出了越來越重要的作用。受限于地面空間的種種局限，我國(guó)的地鐵多建設(shè)于地下。為確保乘客及地鐵工作人員所處環(huán)境的舒適性，以及確保地鐵設(shè)備的安全穩(wěn)定運(yùn)行，通常需要使用大功率的軸流風(fēng)機(jī)來滿足地下通風(fēng)、散熱、排煙等的需求。這些風(fēng)機(jī)主要包括隧道風(fēng)機(jī)、回排風(fēng)機(jī)、新風(fēng)風(fēng)機(jī)、排熱風(fēng)機(jī)、變功率大風(fēng)量空調(diào)等，以及用于各類機(jī)房、車控間等通風(fēng)需求的小系統(tǒng)風(fēng)機(jī)。這些風(fēng)機(jī)必須無(wú)間斷運(yùn)行，并且已成為地鐵通風(fēng)隧道的主要噪聲源。常見的地鐵通風(fēng)隧道的噪聲控制方式，如消聲器、表面加貼吸聲材料等，均為被動(dòng)噪聲控制手段。其缺點(diǎn)在于：1）對(duì)氣流產(chǎn)生較強(qiáng)阻抗作用，不利于節(jié)能減排的需求； 2）對(duì)低頻噪聲（20Hz～2000Hz）的控制效果差，而在通風(fēng)隧道中多為低頻噪聲；3）噪聲控制設(shè)備安裝復(fù)雜，綜合費(fèi)用高昂。

主動(dòng)噪聲控制技術(shù)已被證明是一種行之有效的噪聲控制方法，在低頻段具有很好的降噪效果。主動(dòng)噪聲控制技術(shù)基于聲波干涉原理，利用次級(jí)聲源作為控制源，生成與初始噪聲等幅反相的次級(jí)噪聲，再將其與初始噪聲進(jìn)行疊加，從而達(dá)到消除噪聲的目的［1］?？刂频年P(guān)鍵點(diǎn)在于通過誤差聲傳感器實(shí)時(shí)跟蹤噪聲場(chǎng)的變化，以動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)控制器參數(shù)。濾波?X 最小均方 算 法 （Filtered?X LMS，F(xiàn)XLMS）是最為典型的控制算法，F(xiàn)XLMS算法中包含一項(xiàng)濾波?X或?yàn)V波?U的信號(hào)矢量，它是輸入信號(hào)矢量與次級(jí)通道脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積［2］。次級(jí)通道（Secondary Path）是指系統(tǒng)中從次級(jí)聲源到誤差聲傳感器之間的信號(hào)通路，其傳遞函數(shù)特性對(duì)于整個(gè)主動(dòng)噪聲控制系統(tǒng)有著非常重要的影響。其影響主要表現(xiàn)在：1）次級(jí)通道模型誤差影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和降噪效果［3］；2）次級(jí)通道模型參數(shù)在很大程度上影響著控制算法的計(jì)算量［4］?？梢?，對(duì)于次級(jí)通道模型的準(zhǔn)確辨識(shí)，獲得精確的傳遞函數(shù)是實(shí)現(xiàn)主動(dòng)噪聲控制的關(guān)鍵因素之一。

對(duì)次級(jí)通道的辨識(shí)是影響主動(dòng)噪聲控制效果的一個(gè)關(guān)鍵因素。1989年，Eriksson等［5］提出了有效的次級(jí)路徑辨識(shí)方法。但是，由于引入了附加噪聲，導(dǎo)致主動(dòng)控制過程與次級(jí)路徑辨識(shí)過程之間產(chǎn)生了相互干擾，從而使得整個(gè)系統(tǒng)的性能出現(xiàn)了下降。相關(guān)研究者也做出了很多有意義的改進(jìn)。針對(duì)Eriksson所提出的算法的不足，竇長(zhǎng)勝等［6］提出利用誤差預(yù)測(cè)濾波器來減少主動(dòng)控制環(huán)節(jié)對(duì)辨識(shí)環(huán)節(jié)的影響，但其忽視了隔離附加噪聲對(duì)控制器系數(shù)的影響，需要選用特定的激勵(lì)信號(hào)才能取得滿意的效果。Zhang等［7］采用了交叉更迭（Cross?updated）方法，使用了3個(gè)交叉更新的自適應(yīng)濾波器，來盡量避免主動(dòng)控制部分與次級(jí)路徑辨識(shí)過程之間的相互干擾。Akhtar等［8］在Zhang的基礎(chǔ)上避免了第3個(gè)濾波器的引入，將變步長(zhǎng)LMS算法用于建模濾波器，取得了較好的性能效果。遺憾的是，Akhtar的方法忽略了控制濾波器及附加噪聲對(duì)辨識(shí)的影響，且算法步長(zhǎng)范圍的控制也不能讓人滿意，難以被應(yīng)用于實(shí)際。針對(duì)次級(jí)通道的不確定性，玉昊昕等［9］通過建立濾波?X最小均方算法（FXLMS）的等效傳遞函數(shù)，用線性時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)求解算法的穩(wěn)定條件，求得次級(jí)通路誤差存在時(shí)收斂系數(shù)的取值范圍，然后通過系統(tǒng)極點(diǎn)來分析此時(shí)算法的收斂特性，并研究收斂系數(shù)取值對(duì)次級(jí)通路誤差的承受能力。針對(duì)含次級(jí)通道辨識(shí)的窄帶ANC系統(tǒng)，為了降低輔助噪聲對(duì)次級(jí)通道辨識(shí)的影響，提出了一種變遺忘因子、變步長(zhǎng)的濾波?X加權(quán)累加最小均方算法［10］。利用互相關(guān)的誤差信號(hào)構(gòu)建了變遺忘因子策略，并通過遺忘因子構(gòu)造了變步長(zhǎng)策略，使系統(tǒng)獲得了更優(yōu)的參數(shù)值，更好地平衡了算法的收斂速度、跟蹤能力及穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。但是，這些改進(jìn)方法都無(wú)一例外地引入了額外的自適應(yīng)濾波器，使得計(jì)算的復(fù)雜性大幅提高，產(chǎn)生了不必要的計(jì)算量，這一問題阻礙著噪聲主動(dòng)控制技術(shù)在微處理器平臺(tái)上的實(shí)現(xiàn)。在主動(dòng)噪聲控制應(yīng)用中，由于次級(jí)聲通道的存在，將會(huì)使進(jìn)入控制算法的誤差信號(hào)產(chǎn)生延時(shí)，進(jìn)而導(dǎo)致誤差信號(hào)與參考信號(hào)二者在時(shí)序上出現(xiàn)差異，造成算法的不穩(wěn)定。這一點(diǎn)也會(huì)因?yàn)閺?fù)雜的聲學(xué)環(huán)境而被放大，控制系統(tǒng)將無(wú)法正常地完成控制任務(wù)。達(dá)到滿意的消聲效果的必要條件是對(duì)隧道中聲學(xué)環(huán)境的準(zhǔn)確評(píng)估，這主要就需要對(duì)次級(jí)聲通道進(jìn)行辨識(shí)。

考慮到噪聲主動(dòng)控制的實(shí)際應(yīng)用一般是基于微處理器平臺(tái)實(shí)現(xiàn)的，在滿足計(jì)算復(fù)雜度的前提下需盡可能快地提高其次級(jí)通道辨識(shí)的速度與準(zhǔn)確性，這也是上述算法很難應(yīng)用在實(shí)際場(chǎng)合中的主要原因。本文將自適應(yīng)算法中較為成熟的 “比例”、“歸一化”等思想應(yīng)用在了地鐵通風(fēng)隧道的次級(jí)通道辨識(shí)場(chǎng)合，在不需要增加額外自適應(yīng)濾波器的前提下改善了次級(jí)聲學(xué)路徑的辨識(shí)性能。

1 次級(jí)通道辨識(shí)

次級(jí)聲通道的辨識(shí)就是對(duì)實(shí)際的聲學(xué)物理通路傳遞函數(shù)的估計(jì)過程，其實(shí)際的物理模型一般被稱之為對(duì)象。

由圖1可知，主動(dòng)噪聲控制系統(tǒng)的核心是設(shè)計(jì)合適的控制器，其結(jié)構(gòu)一般為線性自適應(yīng)濾波器。線性自適應(yīng)濾波器一般由兩部分組成：特定結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的濾波器和相應(yīng)的自適應(yīng)算法。濾波器結(jié)構(gòu)一般選定為有限脈沖響應(yīng)（FIR）結(jié)構(gòu)。在主動(dòng)噪聲控制的實(shí)際應(yīng)用中，常用的自適應(yīng)算法是基于最小均方誤差準(zhǔn)則的算法，其中包括最小均方算法（LMS）及以此為基礎(chǔ)的改進(jìn)算法。在實(shí)際的應(yīng)用中，還必須就具體的應(yīng)用背景對(duì)相關(guān)算法做出改進(jìn)，本文所用的噪聲控制算法是濾波?X最小均方算法（FXLMS）。

圖1 主動(dòng)噪聲控制系統(tǒng)的原理Fig.1 Principle of active noise control system

在圖1中，P（z）為參考傳聲器到誤差傳聲器之間的主路徑傳遞函數(shù)，S（z）為次級(jí)揚(yáng)聲器到誤差傳聲器之間的次路徑傳遞函數(shù)，W（z）為控制器傳遞函數(shù)，x（n）為初始噪聲信號(hào)，d（n）為初始噪聲經(jīng)過主聲學(xué)通道P（z）后的期望噪聲信號(hào)，y（n）為次級(jí)聲源發(fā)出的“抵消噪聲”，e（n）為噪聲抵消后的殘余誤差信號(hào)。由圖1可得

假設(shè)控制器W（z）收斂到最佳值，此時(shí)誤差信號(hào) e（n）＝0，即

則 W（z）可表達(dá)為

由式（3）可知，控制器傳遞函數(shù)W（z）是與次級(jí)通道傳遞函數(shù)S（z）密切相關(guān)的，次級(jí)通道的建模與辨識(shí)是必不可少的［11］。

設(shè)計(jì)次級(jí)聲學(xué)路徑的建?？驁D如圖2所示。

圖2 次級(jí)聲學(xué)路徑建?？驁DFig.2 Block diagram for secondary path modeling

在圖2中，信號(hào)源為噪聲發(fā)生器，x（n）為實(shí)際的噪聲信號(hào)，S（z）為未知的次級(jí)聲學(xué)路徑傳遞函數(shù)，Sh（z）為通過自適應(yīng)算法辨識(shí)出的模擬次級(jí)聲學(xué)路徑傳遞函數(shù)，e（n）為殘差信號(hào)。假設(shè)傳遞函數(shù)Sh（z）權(quán)向量為Sh（n）＝［b0（n） b1（n） …bM-1（n）］T，M 是濾波器長(zhǎng)度，X（n）＝［x（n） x（n-1） … x（n-M ＋ 1）］T為輸入向量，則自適應(yīng)濾波流程為：

1）初始化；

2）更新：n＝1，2，3，…

濾波：y（n）＝ShT（n）X（n）

誤差估計(jì)：e（n）＝d（n）-y（n）

權(quán)向量更新：Sh（n ＋ 1）＝Sh（n）＋ μe（n）X（n）

其中，μ是用來控制穩(wěn)定性和收斂速度的步長(zhǎng)參數(shù)。μ值越大，算法收斂越快，但穩(wěn)態(tài)誤差也越大；μ值越小，算法收斂越慢，穩(wěn)態(tài)誤差越小。綜合考慮，一般必須滿足0 ＜ μ ＜2/MPin，Pin＝E［X2（n）］為輸入功率。采用固定步長(zhǎng)μ，就很難滿足算法追求的快速收斂性能。為了改善算法的快速收斂性能，對(duì)權(quán)向量的更新做歸一化，權(quán)向量的更新表達(dá)式為

式（4）中，δNLMS為一極小正值，用于防止在初始化時(shí)由于分母為0而導(dǎo)致算法無(wú)法運(yùn)行。

盡管在進(jìn)行歸一化后，算法的快速收斂性得到了一定程度的改善，但其尚不足以滿足實(shí)際的應(yīng)用需求。本文將比例的思想融入自適應(yīng)算法中以加快算法的收斂速度，同時(shí)保持了較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量。比例化的自適應(yīng)算法充分利用了沖激響應(yīng)中的稀疏性（Sparse）的結(jié)構(gòu)特征［12］。稀疏性結(jié)構(gòu)特征是指這樣一種特性：在描述沖激響應(yīng)的大量數(shù)據(jù)中，大部分的系數(shù)均為0或較小的值，只有少量的系數(shù)具有較大的值。稀疏性通常用來衡量沖激響應(yīng)的能量集中程度，狹小的封閉空間或回聲路徑等通常都是一個(gè)典型的稀疏性沖激響應(yīng)（Sparse Impulse Response）。傳統(tǒng)的自適應(yīng)算法影響其收斂性能的一個(gè)原因就是其為所有的系數(shù)配上了相同的步長(zhǎng)因子，這樣就導(dǎo)致較小的系數(shù)能夠很快得到收斂，但較大的系數(shù)需要經(jīng)過多次迭代才能夠收斂到最優(yōu)值。利用比例思想的自適應(yīng)算法為小系數(shù)配上了小的步長(zhǎng)因子，為大系數(shù)配上了較大的步長(zhǎng)因子，從而加快了其收斂速度。融入比例思想的自適應(yīng)算法在其自適應(yīng)過程中，通過引入一個(gè)步長(zhǎng)控制矩陣K（n）來分別為各個(gè)濾波器系數(shù)賦予不同的步長(zhǎng)。

式（5）中，M為濾波器的長(zhǎng)度。

式（7）中，μ為算法的固定步長(zhǎng)，K（n）為步長(zhǎng)控制矩陣，δ為防止算法發(fā)散的一個(gè)極小正值。將式（5）代入式（7），即可得到比例歸一化LMS算法。

2 數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)

評(píng)價(jià)自適應(yīng)算法主要從收斂性能、穩(wěn)態(tài)失調(diào)性能、計(jì)算復(fù)雜度、魯棒性等幾個(gè)方面來考慮。在主動(dòng)降噪的實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)算法的評(píng)價(jià)將更加側(cè)重于收斂性能、穩(wěn)態(tài)失調(diào)性能。收斂速度的快慢可以表征算法能否在非平穩(wěn)的環(huán)境中準(zhǔn)確地跟蹤權(quán)系數(shù)的變化；穩(wěn)態(tài)失調(diào)則表征了在權(quán)系數(shù)收斂到最優(yōu)值時(shí)，由噪聲梯度估計(jì)引起的瞬時(shí)偏差產(chǎn)生的額外最小均方誤差。由于在LMS算法中，系數(shù)的跟蹤能力依賴于輸入信號(hào)相關(guān)矩陣的特征值，在仿真中將采用多種稀疏度不同的沖激響應(yīng)來充分驗(yàn)證算法的性能。

輸入信號(hào)為白噪聲信號(hào)，目的在于充分激勵(lì)沖激響應(yīng)的各個(gè)頻率分量。在實(shí)際工程應(yīng)用中，可以根據(jù)需要選擇合適的輸入噪聲信號(hào)，用以激勵(lì)特定的頻率分量。其中，考慮到輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣原因，LMS算法的步長(zhǎng)選擇為0.003（步長(zhǎng)單位均為 1），NLMS與 PNLMS的步長(zhǎng)則選為0.1。

圖3為算法模擬的沖激響應(yīng)。從圖3中截取部分細(xì)節(jié)進(jìn)行放大，紅色曲線為初始沖激響應(yīng)，黑色曲線為L(zhǎng)MS算法的識(shí)別結(jié)果，藍(lán)色曲線為歸一化LMS算法的識(shí)別結(jié)果，綠色曲線為比例歸一化LMS算法的識(shí)別結(jié)果?？梢钥闯?，對(duì)于該沖激響應(yīng)，3種算法模擬出的沖激響應(yīng)基本上均能與次級(jí)通道的實(shí)際沖激響應(yīng)相吻合。但在沖激響應(yīng)系數(shù)變化較大時(shí)，仍能看出PNLMS算法的吻合度要高于其他兩種算法，這表現(xiàn)為綠色曲線對(duì)紅色曲線的跟蹤最為準(zhǔn)確。圖4為高稀疏度沖激響應(yīng)條件下算法的仿真結(jié)果。從圖4（a）可以看出，PNLMS算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量最小，LMS算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量最大，說明PNLMS算法的穩(wěn)定性要好于其他兩種算法。從圖4（b）可以看出，PNLMS算法的收斂速度最快。在算法穩(wěn)定的情況下，3種算法的最小均方誤差均能穩(wěn)定維持在一個(gè)很小的區(qū)間內(nèi)，這充分說明PNLMS算法在處理具有稀疏性結(jié)構(gòu)特征的沖激響應(yīng)時(shí)的優(yōu)勢(shì)。

圖3 算法模擬的沖激響應(yīng)Fig.3 Impulse response simulated by algorithms

圖4 高稀疏度沖激響應(yīng)的算法性能對(duì)比Fig.4 Performance comparison of algorithms for impulse response with high sparse

圖5為系統(tǒng)沖激響應(yīng)在稀疏程度降低、其他參數(shù)均相同的情況下的仿真結(jié)果?？梢钥闯?，隨著稀疏性程度的降低，LMS算法的性能有了較大的退化。在圖5（a）中，LMS算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量逐漸增大；在圖5（b）中，LMS算法的收斂速度也嚴(yán)重減慢。對(duì)比圖4（b），在迭代次數(shù)為20時(shí)能夠收斂退化，到迭代次數(shù)為30時(shí)才能收斂。同樣，在穩(wěn)態(tài)失調(diào)性能與收斂性能上，NLMS算法也有了一定程度的退化，只有PNLMS算法維持了很好的收斂性能，保持著較低的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量和較快的收斂速度。

圖5 稀疏度降低時(shí)算法性能對(duì)比Fig.5 Performance comparison of algorithms for impulse response with low sparse

為了對(duì)上述仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，設(shè)計(jì)了地鐵通風(fēng)隧道噪聲次級(jí)聲通道的辨識(shí)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)依據(jù)國(guó)標(biāo) 《城市軌道交通車站站臺(tái)聲學(xué)要求和測(cè)量方法》（GB 14227?2006），測(cè)量時(shí)傳聲器應(yīng)置于車站站臺(tái)中部、距地面高度為1.6m的位置。傳聲器前端應(yīng)朝向被測(cè)列車的軌道一側(cè)，其軸向與線路方向垂直，測(cè)量時(shí)傳聲器應(yīng)使用風(fēng)罩。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原理如圖6所示。

圖6 隧道次級(jí)聲通道辨識(shí)實(shí)驗(yàn)原理圖Fig.6 Block diagram for secondary path modeling in tunnel

采集地鐵通風(fēng)隧道中的實(shí)際噪聲，根據(jù)上述步驟，辨識(shí)出的次級(jí)通道沖激響應(yīng)如圖7所示。

圖7 隧道實(shí)際沖激響應(yīng)Fig.7 Actual secondary path impulse response of tunnel

圖8為沖激響應(yīng)條件下算法的實(shí)際結(jié)果。由圖8（a）可以看出，LMS算法的收斂速度明顯慢于另外兩種算法，且其穩(wěn)態(tài)失調(diào)量最大，NLMS算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量也稍稍高于PNLMS算法。由圖8（b）可以看出，PNLMS算法在收斂速度上占有一定優(yōu)勢(shì)，而LMS算法在70次迭代的時(shí)間內(nèi)仍未完成收斂。在實(shí)際的地鐵通風(fēng)隧道主動(dòng)降噪系統(tǒng)中，采用PNLMS算法不僅能夠以較快的速度收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，而且還能保證較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量，對(duì)整個(gè)主動(dòng)降噪系統(tǒng)的穩(wěn)定與性能都有著明顯的優(yōu)化效果。

圖8 實(shí)際沖激響應(yīng)算法辨識(shí)性能對(duì)比Fig.8 Performance comparison of algorithms for the real sparse impulse response

3 結(jié)論

由于地鐵通風(fēng)隧道的復(fù)雜環(huán)境，次級(jí)通道的辨識(shí)問題始終是其噪聲主動(dòng)控制的一個(gè)重點(diǎn)。使用單一的LMS算法進(jìn)行辨識(shí)，效果完全無(wú)法適應(yīng)地鐵通風(fēng)隧道復(fù)雜多變的環(huán)境，故本文使用比例歸一化改進(jìn)的LMS算法來對(duì)次級(jí)聲學(xué)通道進(jìn)行辨識(shí)。從仿真與實(shí)驗(yàn)的對(duì)比結(jié)果可以看出，使用PN?LMS算法能夠加快自適應(yīng)算法的收斂速度，穩(wěn)態(tài)失調(diào)性能也能保持恒定，可提升次級(jí)聲通道辨識(shí)的精確性與及時(shí)性，最終使得噪聲控制效果有了較大幅度的提升。值得說明的是，本文式（6）中的α的取值為固定值0，這會(huì)導(dǎo)致PNLMS算法的性能介于NLMS算法與LMS算法之間，無(wú)法始終保持最優(yōu)性能。對(duì)不同的沖激響應(yīng)進(jìn)行預(yù)判，從而自適應(yīng)地選擇合適的α值，是本文進(jìn)一步的工作重點(diǎn)。