密度比模型下兩獨立總體方差比的半?yún)?shù)推斷

彭 凱

（南京財經(jīng)大學應用數(shù)學學院，江蘇南京210023）

現(xiàn)實中，常常需要比較不同分布的方差，尤其需要知道總體間是否具有方差齊性.例如在容器制造過程中，為了更高的適配率，質(zhì)控人員不僅希望其生產(chǎn)的容器和蓋子的尺寸有相等的均值，而且希望它們具有方差齊性；大型考試，常常需要多名批卷老師合作批卷，管理者會希望不同的老師有相似的改卷風格即具有方差齊性，以使批卷結果對不同的學生更為公平合理. 因此，比較不同分布的方差具有非常重要的現(xiàn)實意義.

傳統(tǒng)的參數(shù)統(tǒng)計領域，對于兩總體方差的比較是在總體為正態(tài)分布的假設下進行的.在實際研究中，遇到的多是非正態(tài)數(shù)據(jù)，這時用傳統(tǒng)的方法并不合理，要想去證明非正態(tài)總體下檢驗統(tǒng)計量的分布或漸進分布也未必容易.

本文基于Qin 和Zhang[1]提出的半?yún)?shù)密度比模型，以方差比作為統(tǒng)計指標來比較總體間方差大小.以G,H分別表示隨機變量X,Y的分布函數(shù)，以g(x),h(x)分別表示兩個總體的密度函數(shù). 該模型如下：

這里α 是一個標量參數(shù)，β 是一個p×1 的向量參數(shù)，r(x)是一個p×1 的關于x 的光滑的向量函數(shù).該模型已被應用到各種具體統(tǒng)計方法上. 例如：Zhang[2]研究了半?yún)?shù)分位數(shù)估計方法；Qin 和Zhang[3]以及Wan 和Zhang[4]建立了該模型下進行ROC 曲線估計的半?yún)?shù)方法；Wan 和Zhang[5]建立了該模型下進行ROC 曲線比較的半?yún)?shù)方法；Folkianos[6]、Cheng 和Chu[7]、Qin 和Zhang[8]建立了半?yún)?shù)密度函數(shù)估計方法；Wan 和Xu[9]證明了半?yún)?shù)估計下的均值差以及方差之差各自漸進服從于正態(tài)分布，并且給出半?yún)?shù)估計量比參數(shù)估計量漸進有效的理論證明. Kay 和Little[10]討論了r(x)的選取以及其下適用的具體分布類型.

本文的核心思想是假定兩總體服從密度比模型下用經(jīng)驗似然方法討論兩獨立總體方差比的推斷問題. 密度比模型不設定總體分布類型，并且模型包含未知參數(shù)，因此屬于半?yún)?shù)模型范疇. 這種方法可以看作是常用F統(tǒng)計量推斷的一種半?yún)?shù)推廣.

1 主要方法

設兩總體樣本數(shù)據(jù)分別為X1,X2,…,Xn0～g(x),Z1,Z2,…,Zn1～h(x)并且設定聯(lián)合數(shù)據(jù)為{X1,X2,…,Xn0,Z1,Z2,…,Zn1} ={t1,t2,…,tn} ，記n=n0+n1.另，設g(x)的均值為μ1,方差為；h(x)的均值為μ2,方差為.此外，假定模型（1）成立.

根據(jù)經(jīng)驗似然方法，可以寫出經(jīng)驗似然函數(shù)：

其中pi=dG(ti)(i=1,2,…,n)是概率的躍遷，且總和為1.

時獲得. 式中ρ= n1n0,(α?,β?)是(α,β)的似然估計量，其數(shù)值可解以下計分方程組而獲得：

這里l(α,β)是關于(α,β)的剖面對數(shù)似然函數(shù)，其值為：

那么，可以用以下半?yún)?shù)經(jīng)驗分布函數(shù)作為總體G,H的半?yún)?shù)估計量：

為使表達式更為簡便，規(guī)定：

根據(jù)以上結果能得到θ的半?yún)?shù)估計量：

2 Bootstrap 推斷

Bootstrap 置信區(qū)間有多種構建方式，對于該假設檢驗采用EP法獲得置信區(qū)間，那么Bootstrap推斷算法步驟如下：

（1）根據(jù)原始數(shù)據(jù)X,Z計算θ的點估計數(shù)值θ?.

（2）從樣本X 中有放回重抽樣（以原始數(shù)據(jù)容量）得到B組Bootstrap數(shù)據(jù)X*(b).

（3）從樣本Z 中有放回重抽樣（以原始數(shù)據(jù)容量）得到B組Bootstrap數(shù)據(jù)Z*(b).

（4）聯(lián)合以上數(shù)據(jù)得到B 組Bootstrap 數(shù)據(jù)( X*(b),Z*(b)),b=1,2,…,B進而計算θ?*(b)的數(shù)值.

（5）對{θ?*(1),θ?*(2),…,θ?*(B)}數(shù)值向量進行升序排列，并用百分位數(shù)法獲得95% 等尾置信區(qū)間()，其中是百分位數(shù).

（6）把Bootstrap 置信區(qū)間用于假設檢驗H0：θ=θ0vs H1：θ ≠θ0. 如果θ0數(shù)值落在該置信區(qū)間內(nèi)則保留原假設，否則拒絕原假設. 這一步相當于置信水平為0.05 時的顯著性檢驗. 類似地，還可以運用單側置信區(qū)間進行單側假設檢驗.

3 統(tǒng)計模擬

模擬實驗目的是驗證方法的可行性. 這里考慮正態(tài)和指數(shù)分布兩類情況.

3.1 總體分布類型設定

3.2 統(tǒng)計模擬步驟

（1）對每種情況下產(chǎn)生N組容量為(n,n) 的蒙特卡洛模擬數(shù)據(jù).

（2）對每組蒙特卡洛數(shù)據(jù)進行有放回重抽樣得到B組Bootstrap數(shù)據(jù)，其容量為(n,n).

（3）每組蒙特卡洛數(shù)據(jù)下可以得到B 對α?,β?估計值，從而得到B個θ?估計值.

（4）計算N×B個θ?估計值的均值.

（5）計算N×B個θ?估計值的均方誤差.

（6）對每組蒙特卡洛數(shù)據(jù)構造一個95%等尾置信區(qū)間，并計算覆蓋概率（即N個置信區(qū)間中包含θ真值的個數(shù)與N的比例）.

3.3 統(tǒng)計模擬結果

表1、表2 是統(tǒng)計模擬結果. 從表1、表2 可以看出，參數(shù)真值與估計值的均值相差較小. 隨著樣本容量增加，參數(shù)真值與估計值均值逐漸接近，均方誤差逐漸減小.另外，置信區(qū)間覆蓋概率與預期的95%非常接近.因此，該方法是可行的.

表1 正態(tài)分布模擬結果（g( x )～N( 1,4 ),h( x )～N( 3,4 ),N=500,B=1000）

表2 指數(shù)分布模擬結果（g( x )～exp( 2 ),h( x )～exp( 1 ),N=500,B=1000）

4 實例分析

4.1 擬合優(yōu)度檢驗

在給定數(shù)據(jù)下使用半?yún)?shù)密度比模型時一個必要的步驟是檢驗該模型對于數(shù)據(jù)的適合度即擬合優(yōu)度. 該模型的擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量有很多種，例如Qin[1]提供的KS 統(tǒng)計量，Zhang[11]給出的卡方型檢驗統(tǒng)計量，Zhang[12]給出的信息矩陣統(tǒng)計量等等. 以下用到的實例數(shù)據(jù)已經(jīng)完成擬合優(yōu)度檢驗，其結果可參考Qin[1].

4.2 數(shù)據(jù)來源

采用Glovsky & Rigrodsky（1964）的數(shù)據(jù)作為分析案例.作者分析比較了智力缺陷兒童的發(fā)展歷史數(shù)據(jù)，研究了參加新澤西維蘭培訓學校的語言治療項目的41 名兒童. 其中有20 個兒童在其早年發(fā)展中被診斷出患有失語癥，剩下的21個兒童被診斷患有智力障礙. 令隨機變量Z 代表患有失語癥兒童的指標變量，X代表患有智力障礙兒童的指標變量.根據(jù)威尼蘭社會成熟量表測量得到的每個兒童的得分如下：

4.3 估計與檢驗

考慮以下假設檢驗

根據(jù)前面的推斷算法，得到θ?=1.088，置信區(qū)間為( 0.752,1.591 ). 另外，θ0=1 落在置信區(qū)間內(nèi)，因此選擇保留原假設. 換句話說，無法做出拒絕原假設的判斷.