全面總結(jié)知識(shí)，著力提高解題水平

董仲超

[摘? ? ? ? ? ?要]? 討論高等數(shù)學(xué)教學(xué)如何提高解題水平的一些問題，分兩部分進(jìn)行闡述。第一部分將題型分成概念公式題、遷移題、綜合題、證明題四類，第二部分闡述要善于從方方面面進(jìn)行總結(jié)。我們要總結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)，總結(jié)問題，總結(jié)解題方法，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，在總結(jié)中鞏固自己的知識(shí)、提高自己的能力和素質(zhì)，提高自己解決問題的本領(lǐng)。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 題型分類;總結(jié);解題;目標(biāo)

[中圖分類號(hào)]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2019）36-0256-02

一、常見題型分類

（一）概念公式題

1.定義

所謂概念公式題就是直接套概念公式就可以解出的題目。只要概念公式記住了，問題就能夠解決。

2.例子及解答

例題：設(shè)向量=（3，-2，1）=（p，-4，-5），已知⊥，則×等于多少？

解答：第一步，根據(jù)兩向量垂直，得到兩向量數(shù)量積等于零，算出p;第二步，根據(jù)向量積的公式得到兩向量的向量積。

3.此類問題的解決方法

這類問題的實(shí)質(zhì)就是考查記憶能力，只要記住了計(jì)算公式，稍加訓(xùn)練，遇到問題自然就解決了。

4.此類問題的教學(xué)方法

第一講清概念公式等知識(shí)點(diǎn)，第二手把手地教題目解答，第三在作業(yè)中練習(xí)知識(shí)點(diǎn)，第四在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常復(fù)習(xí)，可以在講解復(fù)雜的題目時(shí)帶到這些基礎(chǔ)知識(shí)，也可以簡單重復(fù)該知識(shí)點(diǎn)。

（二）遷移題

1.定義

所謂遷移題就是該問題并沒有接觸過，但是解決問題方法的實(shí)質(zhì)是已經(jīng)學(xué)過的。

2.例子及解答

例題1：已知空間直線方程==，求該直線xoy在面上的投影曲線？

解答：解決向量代數(shù)與空間解析幾何問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合。畫出圖來就會(huì)發(fā)現(xiàn)，所謂該直線在面上的投影曲線就是該直線的兩點(diǎn)在面上的投影，就是該直線上的任意兩不同點(diǎn)讓第三個(gè)坐標(biāo)為零就可以了。所以說雖然該問題沒有接觸過，但是解決問題的實(shí)質(zhì)或者思想方法就是投影柱面和投影曲線里面的思想。

例題2：計(jì)算I=-1dxdydz，其中Ω為曲面z=與z=1所圍成的區(qū)域。

解答：求三重積分的題目關(guān)鍵是畫出積分區(qū)域，并確定為何種類型的三重積分，是截面法、投影法、柱面坐標(biāo)還是球面坐標(biāo)？當(dāng)然要能確定為何種類型，自己首先知道各種類型的原型。但是這道題目里面含有絕對(duì)值。怎么辦？這個(gè)問題一般教材上沒有，但是解決問題的方法其實(shí)一句話，找到積分區(qū)域上的被積函數(shù)。這個(gè)思想方法我們是一貫在求三重積分時(shí)候用的，但是就是沒有提煉出來，明確下來。所以這道題只要在原點(diǎn)畫個(gè)半徑為1的圓就把積分區(qū)域分成兩部分，然后在每個(gè)積分區(qū)域上用球面坐標(biāo)來做就可以了。

3.此類問題的解決方法

這類問題不但考查記憶能力，而且還要考查理解能力。所以首先要記住公式、概念，還要能清楚說出問題的原理。比如投影柱面、投影曲線、積分區(qū)域上的被積函數(shù)、球面坐標(biāo)都要能說清楚。

4.此類問題的教學(xué)方法

第一是要講清楚知識(shí)點(diǎn)，第二是要求學(xué)生會(huì)總結(jié)問題和解決問題的方法，要求問題與方法爛熟于心，第三是給予一定量、一定難度的題目訓(xùn)練，進(jìn)一步對(duì)概念、方法爛熟于心。經(jīng)過這樣的講解訓(xùn)練，達(dá)到熟能生巧的程度。

（三）綜合題

1.定義

綜合題涉及多個(gè)概念、方法、技巧的問題，需要我們對(duì)涉及的所有知識(shí)點(diǎn)都掌握后問題才能解決。

2.例子及解答

例題：在變力=yz+zc+xy的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢圓++=1上第一卦限的點(diǎn)M（ξ，η，ζ）。試問，當(dāng)ξ，η，ζ取何值時(shí)，力所作的功W最大？并求出W的最大值。

解答：第一步，根據(jù)變力沿曲線做功（這里直線可以理解成一種特殊的曲線）的數(shù)學(xué)模型是第二類曲線積分，得到一個(gè)第二類曲線積分的式子。第二步，列出曲線（該直線）的參數(shù)方程，計(jì)算出該第二類曲線積分的結(jié)果為一函數(shù)。第三步，判斷此問題為條件約束問題。根據(jù)約束條件，列出拉格朗日函數(shù)，用拉格朗日乘數(shù)法解出最大值。

3.此類問題的解決方法

這類問題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，要求每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都掌握。換句話說，如果我們掌握了每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，那么我們就能解決這類問題。這道題目的考點(diǎn)有第一類曲線積分的概念、計(jì)算公式、物理原型，直線的點(diǎn)向式、參數(shù)式方程，條件約束問題及解決方法。如果這些知識(shí)點(diǎn)都掌握了，那么這個(gè)問題就能解決了。

4.此類問題的教學(xué)方法

首先是講清楚每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，然后要穩(wěn)扎穩(wěn)打，經(jīng)常復(fù)習(xí)，同時(shí)要求同學(xué)做好總結(jié)。總結(jié)概念、方法、技巧、公式、符號(hào)、解題步驟，在總結(jié)中提高自己。

（四）證明題

1.定義

證明題就是運(yùn)用所學(xué)概念、方法、技巧、公式來進(jìn)行判斷和推理，證明某項(xiàng)結(jié)論成立的問題。

2.例子及解答

例題1：如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)an收斂，試證級(jí)數(shù)也收斂。

解答：第一步，對(duì)要求的級(jí)數(shù)通項(xiàng)進(jìn)行放縮，拆成兩項(xiàng);第二步，利用條件和p級(jí)數(shù)的收斂得到右端收斂;第三步，利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，得到左端級(jí)數(shù)收斂。

例題2：設(shè)級(jí)數(shù)（an-an-1）收斂，bn是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，證明級(jí)數(shù)anbn絕對(duì)收斂。

解答：第一步，利用級(jí)數(shù)收斂其部分和必有極限，得到數(shù)列an收斂;第二步，利用數(shù)列an收斂必有界得到其有界M;第三步，利用放縮法證明anbn小于等于Mbn，右端收斂，所以左端絕對(duì)收斂。

3.此類問題的解決方法

這類問題和上面的綜合題比較起來，沒有直接告訴你用什么方法。我們必須熟悉所有的正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法，還要知道平方差公式的放縮技巧，經(jīng)過相當(dāng)題目的訓(xùn)練后，才能想到用上述方法技巧解決。第二題必須知道級(jí)數(shù)收斂就是部分和數(shù)列收斂就是其極限存在，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，絕對(duì)收斂的概念等。此類問題的關(guān)鍵就是我們必須學(xué)會(huì)運(yùn)用正確的概念、公式、方法、技巧進(jìn)行判斷和推理，得到一系列結(jié)論。

4.此類問題的教學(xué)方法

首先是講清楚每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，然后是要穩(wěn)扎穩(wěn)打，經(jīng)常復(fù)習(xí)，同時(shí)要求同學(xué)做好總結(jié)。在此基礎(chǔ)上，還要教會(huì)學(xué)生聯(lián)想的方法，就是考的是級(jí)數(shù)，你必須腦中有級(jí)數(shù)整章的知識(shí)結(jié)構(gòu)。另外，還要有一定的訓(xùn)練。同時(shí)，要教會(huì)學(xué)生運(yùn)用綜合分析法解決問題的方法。所謂綜合分析法就是“條件推推，結(jié)論推推，兩頭湊湊”。一定要學(xué)會(huì)用綜合分析法來解決問題，用活條件和結(jié)論。

二、全面總結(jié)，提高解題水平

（一）老師必需的教學(xué)步驟

教學(xué)步驟必須完整，而且要突出重點(diǎn)。要給學(xué)生教學(xué)資料，包括教材電子稿、試卷、題庫、授課計(jì)劃等;要備好課，上好課;要有習(xí)題課;要考前沖刺;要輔導(dǎo)答疑;要做好學(xué)生的溝通、激勵(lì);要做好平時(shí)測驗(yàn);要批改好作業(yè)等。重點(diǎn)是解答好學(xué)生心中的疑難困惑，老師要做好示范。

（二）學(xué)生必需的學(xué)習(xí)步驟

作為學(xué)生來說，必須做好預(yù)習(xí)，聽好課，做好復(fù)習(xí)，做好作業(yè)，做好試卷、題庫，有問題要及時(shí)請教同學(xué)、老師等。關(guān)鍵是要發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，學(xué)生在學(xué)習(xí)中要化被動(dòng)為主動(dòng)，積極構(gòu)建自己的知識(shí)體系，在任何問題上都不能有疑惑。在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，有疑惑一定要解決掉，絕不能放在那里，因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)往往是相互聯(lián)系的。

（三）學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是全面總結(jié)

1.目錄般的總結(jié)（含有經(jīng)典題型）

學(xué)生要按照教材目錄，對(duì)各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)?？偨Y(jié)中包括各節(jié)的知識(shí)框架，重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)要標(biāo)明弄清楚。在每章節(jié)的總結(jié)中，每節(jié)要有幾個(gè)經(jīng)典題型。既要做知識(shí)的總結(jié)，也要做題型的總結(jié)。所謂“練拳不練功到老一場空，練功不練拳猶如無舵船?！边@里的功就是基本功，就是各章節(jié)的知識(shí)點(diǎn);這里的拳就是各種題型。

2.專題總結(jié)

除了按照章節(jié)來總結(jié)的話，我們也要有意識(shí)地進(jìn)行專題總結(jié)。比如高等數(shù)學(xué)中的若干對(duì)稱性問題，總結(jié)如下。

①定積分中的對(duì)稱性問題：偶倍奇零是定積分中的對(duì)稱性問題的概括。

②二重積分中的對(duì)稱性問題

a、設(shè)函數(shù)f（x，y）在閉區(qū)域上連續(xù)，域D關(guān)于x軸對(duì)稱，D位于x軸上方的部分為D1，在D上，（1）f（x，-y）=f（x，y），則f（x，y）dσ=2f（x，y）dσ

（2）f（x，-y）=-f（x，y），則f（x，y）dσ=0

③第一類曲面積分中的對(duì)稱問題：我們以一個(gè)例子來講清楚這里面的對(duì)稱性問題。

Σ：x2+y2+z2=a2（z≥0），Σ1為Σ在第一卦限中的部分，則有

zdS=4xdS。

這里用到的對(duì)稱性實(shí)質(zhì)上仍是兩方面，第一是積分區(qū)域?qū)ΨQ，第二是在對(duì)稱的積分區(qū)域上函數(shù)相等。

④對(duì)稱性問題實(shí)質(zhì)的總結(jié)

對(duì)稱性問題的實(shí)質(zhì)就是積分區(qū)域?qū)ΨQ，這里面有各種各樣的對(duì)稱，然后就是在對(duì)稱的積分區(qū)域上被積函數(shù)相等或相反，最后就得出是倍數(shù)關(guān)系還是為零的結(jié)論。

3.解題經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

解題經(jīng)驗(yàn)總結(jié)一下就是三條：第一條，全面總結(jié)知識(shí)，有牢固的知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ);第二條，有一定的常規(guī)題、遷移題、綜合題、證明題的訓(xùn)練;第三條，要學(xué)會(huì)綜合分析法的解題思想方法。

4.學(xué)習(xí)方法總結(jié)

學(xué)習(xí)方法總的來說是要學(xué)會(huì)化被動(dòng)為主動(dòng)進(jìn)行自學(xué)，學(xué)會(huì)自己提煉問題并獨(dú)立解決問題，學(xué)會(huì)做筆記，構(gòu)建自己的知識(shí)體系，學(xué)會(huì)做到疑難困惑處給出明確答案，不斷前行。

（四）為達(dá)到教學(xué)目標(biāo)奠定扎實(shí)基礎(chǔ)

1.教學(xué)目標(biāo)是什么

高等教育的任務(wù)是培養(yǎng)具有社會(huì)責(zé)任感、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的高級(jí)專門人才，發(fā)展科學(xué)技術(shù)文化，促進(jìn)社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)。

通過本課程的學(xué)習(xí)，能夠?yàn)閷淼膶W(xué)習(xí)打下扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)方法基礎(chǔ)，能夠提高學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力。

在學(xué)習(xí)和應(yīng)用高等數(shù)學(xué)過程中，學(xué)生能發(fā)展出質(zhì)疑探索、抽象概括、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、歸納總結(jié)等數(shù)學(xué)核心能力。

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用正確的概念進(jìn)行判斷推理的能力;通過大量的題目訓(xùn)練可以培養(yǎng)出學(xué)生吃苦耐勞的品格，從而培養(yǎng)價(jià)值判斷能力;通過一系列的學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)、檢測、講解、答疑等教學(xué)環(huán)節(jié)，有助于學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀，認(rèn)識(shí)到成績是努力出來的，幸福是奮斗出來的。

2.通過總結(jié)我們學(xué)到了什么

通過總結(jié)，我們讓知識(shí)條理化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，把別人的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)思想變成自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)思想，通過總結(jié)為解題打下牢固的知識(shí)基礎(chǔ)，通過總結(jié)為達(dá)到教學(xué)目標(biāo)打下牢固的基礎(chǔ)。我們要經(jīng)常在學(xué)習(xí)中，在解決問題中，在提煉問題中總結(jié)問題和方法，做好總結(jié)這個(gè)基礎(chǔ)性工作。

只要學(xué)生肯穩(wěn)扎穩(wěn)打地認(rèn)真學(xué)，肯老老實(shí)實(shí)學(xué)，肯勤學(xué)苦練，高等數(shù)學(xué)是能夠?qū)W好的，能夠體會(huì)到解決問題的能力如登堂入室的感覺，能夠?yàn)槠渌鏖T功課的學(xué)習(xí)打下知識(shí)和學(xué)習(xí)方法的基礎(chǔ)，能夠全面提高素質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

陳曉龍，施慶生.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2016.

◎編輯 趙瑞峰