高中數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的課堂教學(xué)探析

馬 斌，楊艷華

(1. 江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué),江蘇 鎮(zhèn)江 212016; 2. 江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院 基礎(chǔ)部,江蘇 鎮(zhèn)江 212016)

拔尖創(chuàng)新人才是學(xué)生群體中的亮點(diǎn),拔尖人才培養(yǎng)是學(xué)校教學(xué)水平的體現(xiàn),是學(xué)校的名片,是學(xué)校工作的重心之一。拔尖人才的培養(yǎng)需要群策群力,統(tǒng)籌規(guī)劃[1]。無論是外部社會(huì),還是內(nèi)部教育行業(yè),越來越重視拔尖人才的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)拔尖人才思維敏捷,邏輯嚴(yán)謹(jǐn),想象力豐富,能直觀認(rèn)識(shí)空間、抽象數(shù)學(xué)模型;條理性強(qiáng),能輕松應(yīng)對(duì)復(fù)雜情形;計(jì)算精準(zhǔn),能更快、更準(zhǔn)地處理數(shù)據(jù)。他們對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣,知識(shí)面廣,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用、多種方法解題、數(shù)學(xué)建模等有獨(dú)特的見解。其最明顯的特點(diǎn)是在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中能夠嶄露頭角。他們?cè)诹己玫慕逃h(huán)境中學(xué)習(xí)自我控制,磨練耐性,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和獨(dú)立解決問題的能力,逐步形成個(gè)性化的思維。學(xué)校教育對(duì)拔尖人才的培養(yǎng)具有不可替代的作用,數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生的學(xué)科專業(yè)引領(lǐng)不可或缺。

1 因材施教,適當(dāng)補(bǔ)充和拓寬

課堂教學(xué)不能局限于課本知識(shí)[2],需要適當(dāng)補(bǔ)充競(jìng)賽內(nèi)容和思想方法,甚至可以提前學(xué)習(xí)大學(xué)的部分課程,如高等代數(shù)、初等數(shù)論等。對(duì)知識(shí)點(diǎn)的補(bǔ)充和拓展不僅可以滿足競(jìng)賽的需要,而且可以開闊學(xué)生的視野，拓展學(xué)生的思維[3]。

例如講解《對(duì)數(shù)的概念》時(shí),讓學(xué)生回顧幾個(gè)看似不相關(guān)的問題: 1) 2+?=3，2+?=1,圓半徑×?=圓周長(zhǎng); 2) 2?=4,2?=8,2?=5,引發(fā)學(xué)生思考。當(dāng)現(xiàn)有的“數(shù)”不能解答問題時(shí),人們就會(huì)引入新的“數(shù)”(符號(hào))。這一思想在《數(shù)系的發(fā)展——復(fù)數(shù)的引入》一節(jié)再次印證,即當(dāng)實(shí)數(shù)不能表示方程x2=-1的根時(shí),引入虛數(shù)這一概念。解答2?=5這個(gè)問題時(shí),讓學(xué)生先考慮是否存在這樣的(實(shí))數(shù),以培養(yǎng)學(xué)生思維的完備性而不是機(jī)械地記憶符號(hào)。由指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象可知,若作直線y=5,則該直線會(huì)與y=2x產(chǎn)生唯一的交點(diǎn),這說明存在唯一的實(shí)數(shù),使得2x=5。解決了這個(gè)數(shù)的存在性問題,引入對(duì)數(shù)的定義后,提問:既然存在唯一的實(shí)數(shù)log25,使得2x=5,那么這個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)?這個(gè)問題超出本節(jié)課的教學(xué)要求,但后期理科生需要學(xué)習(xí)反證法,且數(shù)論知識(shí)作為全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中二試的熱點(diǎn)也是必須掌握的，因此,引導(dǎo)學(xué)生嘗試用反證法。假設(shè)這個(gè)數(shù)是有理數(shù),則可設(shè)log25=qp,其中p,q互質(zhì)。于是,根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可將其化為指數(shù)形式,即2qp=5,兩邊同時(shí)p次方得2q=5p,當(dāng)p,q互質(zhì)時(shí),顯然2q為偶數(shù),而5p為奇數(shù),不可能相等,故假設(shè)不成立,即log25不是有理數(shù)。前面已知log25是實(shí)數(shù),所以log25是無理數(shù)。如此,可以加深學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)定義的理解,同時(shí),引入對(duì)數(shù)的兩個(gè)重要恒等式logaaN=N(a>0且a≠1)和alogaN=N(a>0且a≠1)。學(xué)生在理解中記憶公式,才會(huì)記得牢、記得久[4]。

2 注重思維訓(xùn)練

拔尖人才的課堂教學(xué)要注重知識(shí)的連貫性和思維的啟發(fā)性,把握學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián),融會(huì)貫通,才能站得更高、看得更遠(yuǎn)[5]。

講解《對(duì)數(shù)的運(yùn)算》時(shí),教材分為對(duì)數(shù)的加、減運(yùn)算,換底公式,對(duì)數(shù)恒等式等部分,很多學(xué)生一開始弄不清楚它們的聯(lián)系,使得記憶發(fā)生錯(cuò)誤。將之歸納為對(duì)數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算,學(xué)生非常熟悉和經(jīng)常使用這些運(yùn)算,很容易聯(lián)想其運(yùn)算法則。加、減運(yùn)算不作改動(dòng),引入對(duì)數(shù)的乘法運(yùn)算,即

logab·logbc=logac

(a>0,b>0,c>0,a≠1,且b≠1)。

記憶時(shí)可類比分?jǐn)?shù)的乘法,注意不是任意兩個(gè)對(duì)數(shù)都可以直接相乘的,必須一個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)與另一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)相同。乘式改為商式就是對(duì)數(shù)除法,即

logaclogab=logbc(a>0,b>0,c>0,a≠1,且b≠1)。

從左向右看是對(duì)數(shù)的除法,從右向左看是換底公式。將陌生的事物轉(zhuǎn)化為熟悉的事物,是數(shù)學(xué)中的重要思想方法——轉(zhuǎn)化與化歸。乘方運(yùn)算可歸結(jié)為

logaMbN=NMlogab(a>0,a≠1,且b>0)。

這樣一來,原本在學(xué)生看來雜亂分布的公式只需按照5種基本運(yùn)算就可以熟記,大大減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān),削弱了他們對(duì)陌生知識(shí)的恐懼感[6]210。

3 注重能力培養(yǎng)

思維是解題的核心,是教學(xué)的重中之重。對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)應(yīng)重于對(duì)知識(shí)和技能的傳授。而學(xué)生的思維發(fā)展是一個(gè)緩慢的、螺旋的、循序漸進(jìn)的過程,不可生硬地強(qiáng)制訓(xùn)練[7]119。

例1 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2n,求{an}中是否存在3項(xiàng)成等差數(shù)列?

解設(shè)1≤par,若ap,aq,ar成等差數(shù)列,則

2aq=ap+ar,

即

2q2q=p2p+r2r,
2q·2r-q=p·2r-p+r。

(1)

因?yàn)閞>0,所以

p·2r-p

即

2q-p<2qp。

(2)

令q-p=t,則t≥1,式(2)可化為

2t<2p+2tp=2+2tp。

1) 當(dāng)p=1時(shí),

2t<2+2t,

解得t=1或t=2。t=1時(shí),p=1,q=2,r無解;t=2時(shí),p=1,q=3,解得r=4。

2) 當(dāng)p≥2時(shí),

2t<2+2tp≤2+t,

解得t=1。此時(shí),q=p+1,代入式(1)得

2(p+1)·2r-(p+1)=p·2r-p+r,

即

2r-p=r。

因?yàn)閞-p≥2,所以令r=2k(k≥2,k∈N*),則

22k-p=2k,

即

2k-p=k。

所以p=2k-k,q=2k-k+1,r=2k,k≥2。

綜上,當(dāng)p=1,q=3,r=4或p=2k,q=2k-k+1,r=2k(k≥2)時(shí),ap,aq,ar成等差數(shù)列。

2017年的復(fù)習(xí)課上，考察等差(比)數(shù)列中是否存在等比(差)子數(shù)列時(shí),有學(xué)生提出常見的等差(比)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積構(gòu)成的數(shù)列是否也存在類似結(jié)論,師生研究后得出以上相對(duì)簡(jiǎn)潔的論證。

4 注重技巧及完備性

多角度、全方位向?qū)W生展示數(shù)學(xué)知識(shí),開闊學(xué)生的視野,拓展學(xué)生的思維,幫助學(xué)生掌握解題技巧、培養(yǎng)思維完備性。數(shù)學(xué)問題很多情況下存在一題多解,小到不同的計(jì)算方法,中到代數(shù)與幾何的互相轉(zhuǎn)化,大到不同學(xué)科之間的互通解法。也許這些解法在一道題中都能使用,到了另一題只能用其一,也許大學(xué)的解法更優(yōu),教學(xué)時(shí)應(yīng)盡可能多、全地教給拔尖學(xué)生,因?yàn)樗麄冇心芰φ莆詹W(xué)以致用[8]。

例2 已知函數(shù)f(x)=|x-a|lnx,其中實(shí)數(shù)a為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

1) 當(dāng)a=0時(shí),求該函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。

2) 當(dāng)a=1時(shí),解關(guān)于x的不等式

f(x)>-xlnx+2e-1。

3) 當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)y=f(x)不存在極值點(diǎn),求a的取值范圍。

解1),2)略。

3)a≤0時(shí),f(x)=(x-a)lnx,

f′(x)=lnx+x-ax=xlnx+x-ax,

記

h(x)=xlnx+x-a。

因?yàn)閤>1時(shí),

h(x)=xlnx+x-a>x,

所以y=f(x)不存在極值點(diǎn)時(shí),h(x)≥0恒成立,即hmin(x)≥0。由

h′(x)=lnx+2=0

得x=1e2,且01e2時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增。所以

hmin(x)=h(1e2)=1e2ln(1e2)+1e2-a=-1e2-a，

由hmin(x)≥0,解得a≤-1e2。

本題為鎮(zhèn)江市2017年高二期末統(tǒng)測(cè)壓軸題,筆者原創(chuàng)。原創(chuàng)時(shí)沒有條件a≤0,為了降低題目難度后來加上了。課堂評(píng)講中,將a≤0改為a∈R,讓學(xué)生解答。經(jīng)過整理,學(xué)生的回答如下:

1) 從初等代數(shù)角度看問題。

解當(dāng)a>0時(shí),

f(x)={(x-a)lnx,x≥a,

(a-x)lnx,0

當(dāng)x≥a時(shí),f(x)=(x-a)lnx不存在極值點(diǎn),

f′(x)=lnx+x-ax=xlnx+x-ax,

記

g(x)=xlnx+x-a,

由x→+∞時(shí),g(x)→+∞知,g(x)≥0對(duì)x≥a恒成立。

令g′(x)=lnx+2=0,解得x=1e2。

當(dāng)01e2時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增。

若0

gmin=g(1e2)=-1e2-a≥0,

解得a≤-1e2,不符合。

若a≥1e2,

gmin=g(a)=alna+a-a≥0,

解得a≥1。

所以當(dāng)x≥a時(shí),f(x)=(x-a)lnx不存在極值點(diǎn),則a≥1。

當(dāng)0

f′(x)=-lnx+a-xx=-lnx-x+ax。

令f′(x)≥0對(duì)0

令f′(x)≤0對(duì)0

所以若0

綜上,a=1。

2) 從數(shù)形結(jié)合角度看問題。函數(shù)f(x)=|x-a|lnx,當(dāng)a>0時(shí),容易觀察,x=a或x=1是函數(shù)的零點(diǎn),如果a≠1,由f(x)圖象的連續(xù)性知,在a與1之間f(x)必存在極值,所以a=1。用數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論后再證明a<1或a>1時(shí),f(x)有極值。

還有學(xué)生從高等代數(shù)角度利用左右極限相等解答了該問題,其思維能力已超出教師的預(yù)期。命題者只考慮了前兩種情況,而學(xué)生已經(jīng)超越了教師。由此可見,教師要讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的前提下開放思維,勇于創(chuàng)新。

5 結(jié)束語

總之,對(duì)拔尖人才的培養(yǎng)不再嚴(yán)格區(qū)分傳統(tǒng)的競(jìng)賽課與高考課,做到高考課以競(jìng)賽內(nèi)容為補(bǔ)充,競(jìng)賽課以高考知識(shí)為鋪墊。在課堂教學(xué)中,應(yīng)以啟發(fā)學(xué)生的思維為主,避免填鴨式的知識(shí)灌輸;以學(xué)生主動(dòng)探索、合作研究為主,避免以練代講的題海戰(zhàn)術(shù);以多樣化的解題思想方法為主,避免機(jī)械的一種方法打天下。