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      淺談高中數(shù)學(xué)“題組教學(xué)”的運用

      2019-01-29 17:26:11江蘇省江陰市青陽中學(xué)吳國華
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年17期
      關(guān)鍵詞:題組三邊小題

      ☉江蘇省江陰市青陽中學(xué) 吳國華

      題組教學(xué)這一教學(xué)形式在題目設(shè)置與順序編排上都有一定的考究,從易到難、從單一到綜合的題目設(shè)計往往能使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、技能、方法、思想重復(fù)出現(xiàn)并得到強化,教師因此可以及時掌握學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的達成情況并能因此進行針對性的后續(xù)教學(xué).

      一、概念教學(xué)中的題組運用

      概念教學(xué)這一重要內(nèi)容可以說是基礎(chǔ)知識與基本技能教學(xué)的核心,學(xué)好數(shù)學(xué)必然要以概念理解為基礎(chǔ),這在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是最為重要的.令學(xué)生學(xué)會概念的內(nèi)涵與外延,領(lǐng)悟概念中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法與基本解題技能,促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與素養(yǎng)的提升,培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力,這些是概念教學(xué)的基本任務(wù).

      例1請對以下各小題中集合A到集合B的對應(yīng)法則進行觀察和理解:

      (1)A={-1,-2,-3,1,2,3},B={1,4,9},對應(yīng)法則:求平方;

      (2)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5,6},對應(yīng)法則:乘以2;

      (3)A={x|x∈Z且x≠0},B=Q,對應(yīng)法則f:x→;

      (5)A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},對應(yīng)法則:開平方.

      教師在引導(dǎo)學(xué)生對上述小題觀察與思考時,可以進行一定的層次劃分,引導(dǎo)學(xué)生首先思考(1)——(3)小題中兩集合之間對應(yīng)法則的共同點,然后再啟發(fā)學(xué)生進行自主歸納與總結(jié).學(xué)生在觀察與思考中很快可以得出:對應(yīng)法則下的集合B中都有唯一確定的元素b和集合A中的每個元素a對應(yīng).學(xué)生的認識達到更高層次的同時還能給出映射的定義,教師在學(xué)生明確映射的定義之后,還可以再舉出一些反例來幫助學(xué)生更深層次地理解映射的定義,使學(xué)生在判斷(4)—(5)是否為映射時更好地理解映射這一對應(yīng)法則的內(nèi)涵.

      二、解題教學(xué)中的題組運用

      激發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進行解題規(guī)律的探求往往能取得更好的教學(xué)效果.題組教學(xué)在解題探究中的運用往往能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并掌握解題規(guī)律,使學(xué)生在運用規(guī)律解決問題的過程中獲得思維廣闊性的鍛煉與成長.

      例2(1)求值:cos60°cos15°+sin60°sin15°;

      (6)設(shè)函數(shù)f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x),若f(x)=,且],求x.

      題組(1)—(4)的設(shè)計是兩角和與差的余弦公式的逆用向提煉輔助角公式的過渡,asinα+bcosα=這一輔助公式的提煉過程也因此更加自然順暢.

      (5)—(6)兩題的設(shè)計讓學(xué)生在輔助角公式、二倍角公式、向量的結(jié)合應(yīng)用中獲得了更為充分的理解與掌握.學(xué)生在有意義的題組教學(xué)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、掌握規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律,在興致勃勃解決數(shù)學(xué)問題的過程中也更添解題的準(zhǔn)確性.

      三、強化教學(xué)重點中的題組運用

      求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值這一重要課題是函數(shù)單調(diào)性教學(xué)之后的重點問題,題組可以這樣設(shè)計:

      例3(1)設(shè)f(x)=x2-2x-2,x∈[-2,2],則f(x)的最大值、最小值分別為多少?

      (2)設(shè)f(x)=x2-2x-2,若將f(x)在區(qū)間[-2,t]上的最大值記作g(t),則g(t)的表達式如何?

      (3)設(shè)f(x)=x2-2x-2,若將f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最小值記作g(t),則g(t)的表達式如何?

      (4)設(shè)f(x)=x2-2ax-2,若將f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最小值記作g(x),則g(x)的表達式如何?

      求解二次函數(shù)最值問題的關(guān)鍵在于學(xué)生是否能結(jié)合圖像弄清函數(shù)圖像的對稱軸和區(qū)間之間的相對位置關(guān)系.解決第(2)小題這一“定對稱軸、動區(qū)間”的最值問題時(兩個端點“一定一動”),需要討論二次函數(shù)的圖像在頂點處的橫坐標(biāo)x=1和區(qū)間[-2,t]的關(guān)系,應(yīng)分以下情況進行討論:①t≤1;②1<t≤4;③t>4.求出g(t)的表達式也就不難了.解決第(3)小題這一“定對稱軸、動區(qū)間”的最值問題時(兩個變化的端點,但區(qū)間長度為定值),應(yīng)對二次函數(shù)圖像在頂點處的橫坐標(biāo)x=1和區(qū)間[t,t+1]的關(guān)系進行分析和討論:①t+1≤1;②t<1<t+1;③t≥1.在解決第(4)小題這一“定區(qū)間、動對稱軸”的最值問題時,應(yīng)對二次函數(shù)圖像在頂點處的橫坐標(biāo)x=a和區(qū)間[-2,1]的關(guān)系進行分析和討論:①a≤-2;②-2<a<1;③a≥1.學(xué)生在以上四個小題的學(xué)習(xí)與思考中往往能夠更為全面地掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的求解方法與思想.

      四、突破教學(xué)難點中的題組運用

      很多學(xué)生在一些看似復(fù)雜的問題上往往不能做到準(zhǔn)確分析,很凸顯問題的本質(zhì),若生搬硬套來解決這些問題,則更易產(chǎn)生解題錯誤了.

      例4(1)已知函數(shù)y=log2x,試求其單調(diào)增區(qū)間;

      (2)已知函數(shù)y=x2-6x+8,試求其單調(diào)增區(qū)間;

      (3)已知函數(shù)y=log2(x2-6x+8),試求其單調(diào)增區(qū)間;

      (4)若函數(shù)y=loga(2-ax)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,則a的取值范圍如何?

      學(xué)生面對題(1)、(2)這兩道初等函數(shù)單調(diào)區(qū)間的簡單問題時,往往能夠結(jié)合函數(shù)的圖像輕松解決,但面對題(3)、(4)這兩個復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題時往往會感到困擾.這對于教師來說也是一個值得研究的教學(xué)問題.

      略解:(3)設(shè)y=log2t,t(x)=x2-6x+8,其中t(x)=x2-6x+8>0.

      外函數(shù)y=log2t在(0,+∞)上單調(diào)遞增,因此,求函數(shù)y=log2(x2-6x+8)的單調(diào)遞增區(qū)間即轉(zhuǎn)化成了求內(nèi)函數(shù)t(x)=x2-6x+8的單調(diào)遞增區(qū)間,結(jié)合二次函數(shù)t(x)=x2-6x+8的圖像即可解決這一問題.不過,定義域t(x)>0這一問題在畫圖過程中是需要考慮的,這就意味著應(yīng)在x軸上方的圖像中找單調(diào)區(qū)間.

      (4)設(shè)y=logat,t(x)=2-ax,其中t(x)=2-ax>0.

      因為a>0,因此內(nèi)函數(shù)t=2-ax在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減.因為函數(shù)y=loga(2-ax)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,因此外函數(shù)y=logat在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,因此a>1.因為t(x)=2-ax>0在區(qū)間[0,1]上恒成立,因此tmin(x)=t(1)=2-a>0,所以1<a<2.

      若將題中區(qū)間[0,1]改為(0,1),結(jié)果又會怎樣?顯然前面是一樣的,但tmin(x)>t(1)=2-a≥0,所以1<a≤2.

      研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時應(yīng)考慮分解、定義域、內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)圖像寫單調(diào)區(qū)間這四個方面,例4中的題組教學(xué)在糾正學(xué)生錯誤的同時,也令學(xué)生更好地理解了函數(shù)概念的內(nèi)涵以及本質(zhì).

      五、發(fā)展思維教學(xué)中的題組運用

      學(xué)生思維的發(fā)散性與嚴密性往往能影響其對數(shù)學(xué)問題的大膽設(shè)想與質(zhì)疑,有意義的題組教學(xué)能夠更好地發(fā)展學(xué)生思維的發(fā)散性與嚴密性.

      例5(1)三角形的三邊長能組成等比數(shù)列嗎?如果不能,理由何在?如果可以,公比q的取值范圍如何?

      (2)直角三角形的三邊長能組成等差數(shù)列嗎?如果不能,理由何在?如果可以,該數(shù)列是怎樣的?

      (3)若三角形的三個內(nèi)角能組成等差數(shù)列且其對應(yīng)三邊也成等差數(shù)列,該三角形形狀如何?

      略解:(1)設(shè)三邊為a,aq,aq2(a>0,q>0),則當(dāng)q≥1時,最大邊為aq2,因此a+aq≥aq2;當(dāng)0<q<1時,最大邊為a,因此aq+aq2≥a.解上述兩個不等式,分別可得1≤q<

      (2)若某直角三角形的三條邊長可以組成等差數(shù)列,分別設(shè)其三邊為a-d,a,a+d,公差為d(d>0),則有(ad)2+a2=(a+d)2,解得,因此三條邊長分別是的直角三角形的三邊是可以組成等差數(shù)列的.

      (3)若某三角形的三個內(nèi)角可以組成等差數(shù)列,將其三個內(nèi)角分別設(shè)為α-β,α,α+β,則(α-β)+α+(α+β)=π,解得α=

      因為該三角形的三邊成等差數(shù)列,因此設(shè)其三邊為a-d,a,a+d.

      故該三角形為等邊三角形.

      除此以外,我們還可以在三角形的邊、角上進行其他情形的設(shè)想、學(xué)習(xí)和探索,并因此促成學(xué)生思維水平的不斷提升.

      總之,與現(xiàn)代主體教育思想吻合的題組教學(xué)能更好地幫助學(xué)生自主參與和探索,進而使學(xué)生獲得知識、能力與思維的同步發(fā)展.因此,教師應(yīng)善于運用題組教學(xué)并充分發(fā)揮其在教學(xué)中的作用,使學(xué)生能夠在靈活多變的題組教學(xué)中獲得數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)的共同提升.

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