數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的成分分析*

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

一、研究數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的意義

數(shù)學(xué)智慧永遠(yuǎn)離不開數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).智慧是無垠的海洋，經(jīng)驗(yàn)是智慧海洋中無盡的浪花.沒有經(jīng)驗(yàn)就沒有智慧.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)對于學(xué)生同化數(shù)學(xué)新的知識、方法、思想等具有決定性的作用.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)既是學(xué)習(xí)的必要基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)的目標(biāo)，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?zāi)芗せ钪庇X、涵育創(chuàng)新.因此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》［1］和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》［2］都提出了“積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”的教學(xué)目標(biāo).由此足見數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的重要性.但遺憾的是，對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的界定，這兩個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”均未明確給出，學(xué)術(shù)界也沒有達(dá)成共識，這給中小學(xué)一線教師的教學(xué)帶來困惑.因此，研究數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)具有學(xué)術(shù)必要性和現(xiàn)實(shí)緊迫性，研究的策略最好采用各個(gè)擊破的方法.顯然，弄清“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”的前提是（基本）弄清數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的成分.基于此，下面擬對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的成分作一些分析與探討.

二、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)成分的研究評述

近年來，一些教師對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的成分作了不少研究，下面對幾種具有代表性的觀點(diǎn)作探討和評述.

“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)分為靜態(tài)和動態(tài)兩個(gè)層面.從靜態(tài)上看，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是知識，從動態(tài)上看，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是過程，是經(jīng)歷.”［3］一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)含有知識成分，這是大家的共識.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是過程嗎？是經(jīng)歷嗎？或者反過來說，“過程是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”嗎？“經(jīng)歷是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”嗎？這就存疑了.從邏輯的角度看，這兩個(gè)說法是有差異的.經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程，必然會產(chǎn)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)嗎？顯然未必.事實(shí)上，“經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程”只是“產(chǎn)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”的必要條件，但不是充分條件.簡言之，“過程”只是“經(jīng)驗(yàn)”的必要條件但不是充分條件.也就是說，“數(shù)學(xué)活動的過程”或“經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動”都不能與“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”劃等號.正像當(dāng)下一些數(shù)學(xué)課堂，表面上看熱熱鬧鬧，教學(xué)過程緊湊，學(xué)生活動豐富多彩，但學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的收獲很少.課堂上學(xué)生回答問題明明是錯(cuò)誤的或不全面的，教師及時(shí)給予肯定甚至贊揚(yáng)，這樣的數(shù)學(xué)活動過程中學(xué)生不但不能獲得經(jīng)驗(yàn)，而且可能養(yǎng)成是非不分的惡習(xí).

“學(xué)生的基本活動經(jīng)驗(yàn)包含以下3類基本內(nèi)容：體驗(yàn)性內(nèi)容；策略性內(nèi)容；模式性、方法性內(nèi)容.”［4］這里不把數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想等明確地放在數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)內(nèi)，是不全面的.如果學(xué)生對某個(gè)數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想等的體驗(yàn)是錯(cuò)誤的或很不準(zhǔn)確，那這樣的體驗(yàn)算不算數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？這當(dāng)然不能算數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，比較恰當(dāng)?shù)刂v，可以算“數(shù)學(xué)活動教訓(xùn)”.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、問題解決和探究過程中得到的“數(shù)學(xué)活動教訓(xùn)”可能遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)多.因此，學(xué)生學(xué)習(xí)和探究數(shù)學(xué)更需要雪中送炭，也就是說，應(yīng)花大力氣研究數(shù)學(xué)活動教訓(xùn)，以及如何將教訓(xùn)變成經(jīng)驗(yàn).這才是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)研究的真問題和好問題.

“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生從經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動過程中獲得的感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟，以及由此獲得的數(shù)學(xué)知識、技能、情感與觀念等內(nèi)容組成的有機(jī)組合性經(jīng)驗(yàn).”［5］數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)中顯然有數(shù)學(xué)知識、技能、情感與觀念等成分，這說明數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的成分是復(fù)雜的.但這里的“有機(jī)組合性經(jīng)驗(yàn)”不容易理解.事實(shí)上，要弄清為什么要“組合”、怎樣“組合”、什么是“有機(jī)組合”、怎樣“有機(jī)組合”等問題很困難.這里能否得到這樣的啟示：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)框，什么都能往里面裝，而且框的東西還會相互作用、相互影響？

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是知識性成分、體驗(yàn)性成分、觀念性成分的“組合體”［6］.“組合體”與上面的“有機(jī)組合”的意思差不多.研究者認(rèn)為，把“組合體”改為“集合”，這里的“集合”可能是模糊集合或灰色集合，這樣改是否更貼切？經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)模糊概念或灰色概念，其元素有的是明確的，但有些元素可能具有模糊性或灰色性.因此，把經(jīng)驗(yàn)看成（當(dāng)成）模糊集合或灰色集合似乎更接近經(jīng)驗(yàn)的本質(zhì).

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)包括認(rèn)知性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、技能性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、觀念性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)［7］.這里把數(shù)學(xué)知識排除在外，可能是誤認(rèn)為“認(rèn)知性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”包括知識經(jīng)驗(yàn).但需注意的是，“認(rèn)知”與“知識”是兩個(gè)不同的概念.此外，“認(rèn)知性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”似有歧義，“認(rèn)知性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”是指認(rèn)知“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”，或者是指認(rèn)知“數(shù)學(xué)活動”的經(jīng)驗(yàn)，還是指“認(rèn)知數(shù)學(xué)活動”的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？這些是不太清楚的.可見，“認(rèn)知性數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”的說法有歧義.

“基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是經(jīng)學(xué)生自我反思的對多數(shù)學(xué)生均能起到指導(dǎo)其思維和操作進(jìn)程的最核心的知識經(jīng)驗(yàn)、操作經(jīng)驗(yàn)（技能性經(jīng)驗(yàn)）、情感體驗(yàn)、思考經(jīng)驗(yàn)和應(yīng)用意識等.”［8］由此，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)有知識、操作（技能）、情感體驗(yàn)、思考和應(yīng)用意識等成分.顯然情感體驗(yàn)有正面的，也有消極的，比如，某學(xué)生對某個(gè)數(shù)學(xué)知識感到無聊或毫無興趣，這時(shí)的情感體驗(yàn)?zāi)懿荒芩憬?jīng)驗(yàn)？研究者認(rèn)為，消極的情感體驗(yàn)不算經(jīng)驗(yàn)，算教訓(xùn).

郭玉峰、史寧中［9］認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)包括“實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)”和“思維的經(jīng)驗(yàn)”.這里的“實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)”偏重于“數(shù)學(xué)外的世界”與“數(shù)學(xué)”互化的經(jīng)驗(yàn)，即“外部世界數(shù)學(xué)化”（如數(shù)學(xué)建模）、“數(shù)學(xué)用于外部現(xiàn)實(shí)”獲得的經(jīng)驗(yàn).“思維的經(jīng)驗(yàn)”包括形象思維、邏輯思維和直覺思維的經(jīng)驗(yàn).“思維的經(jīng)驗(yàn)”強(qiáng)調(diào)學(xué)生在數(shù)學(xué)符號化過程中獲得的經(jīng)驗(yàn)，偏重于理性思維的經(jīng)驗(yàn)，也應(yīng)重視在解決問題中所獲得的思維策略的經(jīng)驗(yàn).不論是“實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)”還是“思維的經(jīng)驗(yàn)”，都比較重視經(jīng)驗(yàn)積累的過程與效果.

上述研究都有一定道理，但還有一些問題值得探討.比如，小學(xué)（分低段、中段、高段）、初中、高中學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)應(yīng)有很多不同之處，理所當(dāng)然該分類討論；數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)成分的劃分應(yīng)該有一定的標(biāo)準(zhǔn)；數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)除了上述涉及的成分，還有沒有別的成分？在小學(xué)階段，應(yīng)該更加關(guān)注可看、可聽、可演示、可動手操作的有直觀形象思維參與的感性思維的經(jīng)驗(yàn)，在中學(xué)階段應(yīng)更關(guān)注有抽象邏輯思維參與的理性思維的經(jīng)驗(yàn).下面主要針對初中、高中學(xué)生探討數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的成分.

三、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的成分分析

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)比較廣泛（義）的概念，它可以分解成多個(gè)子概念.

1.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的主要成分

從上面的分析與探討不難看出，數(shù)學(xué)活動的核心是思維活動，數(shù)學(xué)思維活動既有思維過程（比較、分析、判斷、想象、推理、猜想、記憶等），又有思維結(jié)果（固化產(chǎn)品，如知識等），還有對思維策略與方法的成功體驗(yàn).數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造數(shù)學(xué)的思維過程中形成的.從數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的形成過程看，它包含理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題（含應(yīng)用意識）、數(shù)學(xué)技能、發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造數(shù)學(xué)，以及學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題、發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造數(shù)學(xué)之后的成功體驗(yàn)等成分.從數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的固化結(jié)果看，它既包含數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維方法等顯性成分，又包含數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)態(tài)度、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思維策略、數(shù)學(xué)理性精神、數(shù)學(xué)審美意識、對數(shù)學(xué)的積極的情緒體驗(yàn)等隱性成分.此外，悟感是不受意識控制的經(jīng)驗(yàn)，它是經(jīng)驗(yàn)的重要成分.

2.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的非主要成分

（1）基因性經(jīng)驗(yàn).

經(jīng)驗(yàn)是人與環(huán)境（或他人或自己）的相互作用中受到的感應(yīng).很多經(jīng)驗(yàn)是超越人類的、可以基因遺傳的［10］.瑞士科學(xué)家MaxPlanck在《Science》上發(fā)表的文章表明，后代不僅能繼承DNA本身，還能繼承表觀遺傳指示，這些表觀遺傳修飾像“出廠說明書”一樣指導(dǎo)后代基因表達(dá).表觀遺傳標(biāo)記可以代代相傳［11］.由此推斷，有些數(shù)學(xué)意識就深藏在某些數(shù)學(xué)基因的“出廠說明書”中，如“數(shù)感”（就像“語感”“樂感”“美感”一樣），有的人表現(xiàn)強(qiáng)烈，有的人表現(xiàn)一般，有的人表現(xiàn)微弱.人的“數(shù)感”凝聚在數(shù)學(xué)基因之中，然而它深藏不露［12］.在教學(xué)中對某些學(xué)生花大量時(shí)間或精力去培養(yǎng)“數(shù)感”，這顯然不符合因材施教的原則.因材施教的深刻意蘊(yùn)就是數(shù)學(xué)教師要讀懂每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基因的“出廠說明書”，然后依據(jù)數(shù)學(xué)基因的“出廠說明書”施教.但數(shù)學(xué)教師要讀懂這個(gè)數(shù)學(xué)基因的“出廠說明書”是極其困難甚至是不可能的，這是因?yàn)楫?dāng)下的腦科學(xué)、基因科學(xué)的水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)辦不到，這就是因材施教實(shí)施困難最根本的原因.需要說明的是，教育的根本意義在于激發(fā)學(xué)生生命的潛能、迸發(fā)學(xué)習(xí)的力量，因此，不能因?yàn)槟硞€(gè)學(xué)生的“數(shù)感”不強(qiáng)就“歸因”為他的“數(shù)感”基因不好，教師的師德也決不允許這樣做.即使他的“數(shù)感”基因不好，也應(yīng)讓學(xué)生明白華羅庚總結(jié)的成功秘訣：“聰明在于學(xué)習(xí)，天才在于積累.”這里的“積累”當(dāng)然就是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累.由此推出兩個(gè)結(jié)論：數(shù)學(xué)天才就是長期積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以把“笨”基因變成“聰明”基因.這不正是數(shù)學(xué)教育的強(qiáng)大力量嗎？受腦科學(xué)、基因科學(xué)的限制，研究者建議在探討數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的成分時(shí)一般不考慮基因經(jīng)驗(yàn).

（2）悟感是不受意識控制的經(jīng)驗(yàn).

人具有本能［12］.本能以基因的方式傳遞人類的生活和文化經(jīng)驗(yàn)，并以不自覺的方式進(jìn)入人們的生活和學(xué)習(xí)［12］.人的本能就是人的“身”與“心”協(xié)同一致的高度智能化系統(tǒng).人的“身”“心”協(xié)同的高度智能化系統(tǒng)即經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng).人的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)既受本能的控制，又受環(huán)境（包括文化）的控制（影響）.學(xué)習(xí)的本質(zhì)是經(jīng)驗(yàn)的獲得、經(jīng)驗(yàn)的積累、經(jīng)驗(yàn)的改造和經(jīng)驗(yàn)的創(chuàng)生.外部知識的內(nèi)化不外乎“在本能支配下結(jié)合大量無意識活動［12］”“依靠意識的建構(gòu)方式同化和順應(yīng)外部刺激（知識）［12］.”同化和順應(yīng)是人類學(xué)習(xí)最根本的心理機(jī)制.因此，經(jīng)驗(yàn)的獲得同樣離不開同化和順應(yīng).經(jīng)驗(yàn)可以創(chuàng)造和生長，簡稱為創(chuàng)生.本能可以因經(jīng)驗(yàn)的積累而變化和發(fā)展.學(xué)習(xí)的根本目的在于優(yōu)化本能和改造本能，讓本能更加強(qiáng)大.經(jīng)驗(yàn)的創(chuàng)生需要本能的參與和改變（造）.因此，經(jīng)驗(yàn)的產(chǎn)生需要本能（包括大量無意識活動）的參與，經(jīng)驗(yàn)包括智慧和德性的因素.

人類的創(chuàng)造性想象離不開經(jīng)驗(yàn).蘇聯(lián)學(xué)者奧爾費(fèi)耶夫認(rèn)為，在創(chuàng)造性的想象過程中，也有潛在意識參與其中，在潛在意識領(lǐng)域中反映了主體的不受意識控制的經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)沒有表現(xiàn)為語言形式，或者雖然表現(xiàn)為語言形式但處于意識閾限之下.因此，潛意識的產(chǎn)生需要本能性的經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)沒有表現(xiàn)為語言形式.這說明，有些經(jīng)驗(yàn)真是“說也說不清楚”，甚至“不能說清楚”，從而，有的經(jīng)驗(yàn)具有“緘默性”的特點(diǎn).需要說明的是，經(jīng)驗(yàn)既可以幫助和激發(fā)人的創(chuàng)造性，又可能抑制人的創(chuàng)造性.經(jīng)驗(yàn)為什么可能抑制人的創(chuàng)造性呢？一般而言，年齡越大經(jīng)驗(yàn)就越豐富，但科學(xué)發(fā)展史表明，青少年的創(chuàng)造性一般比老年人的創(chuàng)造性更強(qiáng)，這也就不難理解菲爾茲獎只頒發(fā)給40歲及以下的數(shù)學(xué)家的原因了.從而，過分強(qiáng)調(diào)經(jīng)驗(yàn)，對于培養(yǎng)創(chuàng)新人才可能并不明智.比如，在平面幾何教學(xué)中，用“剪一剪”“折一折”“量一量”等代替嚴(yán)密的邏輯推理，過分強(qiáng)調(diào)“剪一剪”“折一折”“量一量”等數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的獲得，雖對學(xué)生理解幾何知識有益處，但對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和創(chuàng)新意識等是不利的.

悟感是不受意識控制的經(jīng)驗(yàn).因此，悟感是經(jīng)驗(yàn)的重要成分.悟感是人的創(chuàng)造性活動的核心，而人的機(jī)體和功能的不斷創(chuàng)新和創(chuàng)造，是人存在和發(fā)展的依據(jù).于是，為了保證創(chuàng)新不受干擾，大自然把作為創(chuàng)新的核心機(jī)制——悟感深藏在生命深處，它與生俱來，又和生命活動一齊發(fā)展.而且，它的無意識內(nèi)容的特性，也恰好拒絕了外力以知識、說教形式的直接干預(yù).悟感雖有本能屬性，但后天可以培養(yǎng).悟感的培養(yǎng)對積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)非常重要，對培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識尤顯重要，值得深入研究.