一道動(dòng)量守恒題中速度最大值的探討

吳瓊煙

(莆田第十中學(xué)，福建 莆田 351146)

圖1

一位學(xué)生拿來(lái)練習(xí)冊(cè)上的題目,對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案中的解答表示質(zhì)疑．如圖1中光滑槽質(zhì)量為M,靜止在光滑水平面上,其內(nèi)表面為一個(gè)半徑為R的半球面,質(zhì)量為m的小球,被細(xì)線吊住恰位于槽的邊緣處,如將懸繩燒斷,小球的最大速度是多少?槽所能發(fā)生的最大位移是多少?

學(xué)生表示疑惑:小球快到槽底時(shí),雖然水平速度vx還在繼續(xù)增加,但垂直速度vy卻減小,所以合速度未必一直增加,因此小球不是在槽底取得最大速度．

教師覺(jué)得學(xué)生鉆牛角尖了,明明在槽底時(shí)速度最大,何必分解為vx和vy來(lái)添亂．可是,學(xué)生的想法似乎也無(wú)法直接否定,于是拿到組內(nèi)一起討論．拿到此題時(shí),感覺(jué)不難,因?yàn)樾∏蛩俣缺磉_(dá)式易求得,所以可以找出最大值,但沒(méi)想到還是費(fèi)了一番周折．

圖2

小球下降過(guò)程中,槽相對(duì)地面速度vx1方向向左,小球相對(duì)地面水平速度vx2方向向右．因此小球相對(duì)槽的水平速度為vx=vx1+vx2.

小球相對(duì)槽的速度為v,如圖2分解為水平與垂直方向得關(guān)系式

vy=vxcotθ=(vx1+vx2)cotθ.

根據(jù)動(dòng)能定理有

把vy和vx2代入后得到

那么小球合速度

v2=vx12+vy2=vx12(1+k2cot2θ)=

(1)

當(dāng)m?M時(shí),槽體幾乎不動(dòng),獲得的動(dòng)能可以忽略,此時(shí)m在槽底時(shí)速度最大．

圖3

據(jù)此我們推定,速度的最大值不在槽底．但后來(lái)的事證實(shí)這個(gè)推定不完全正確．我們借助Excel,采用(1)計(jì)算出不同角度的速度平方值,發(fā)現(xiàn)k值較小時(shí)(如k=1.3)小球下落過(guò)程中速度一直增加,極大值發(fā)生在槽底(θ=90°)．

化簡(jiǎn)后得到

(1-k2)(1-k)sin4θ+

k(1-k)(2k+3)sin2θ+k3=0,

(2)

或者cosθ=0.

解方程得

(3)

或者cosθ=0.

(4)

并不是所有的k值都能使得(3)式中的sinθ有解,當(dāng)k值接近于1時(shí),代入(3)式得到的值可能大于1,θ無(wú)解,極大值點(diǎn)應(yīng)改用(4)式確定．那么k取何值時(shí)sinθ有解?我們可以把sin2θ=1代入原方程,得2k2-2k-1=0,解得

看似簡(jiǎn)單的最大值問(wèn)題,解題過(guò)程卻有些曲折．面對(duì)學(xué)生的質(zhì)疑,無(wú)法直接否定時(shí)更應(yīng)認(rèn)真對(duì)待,想當(dāng)然的認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)答案是正確的,可能會(huì)錯(cuò)過(guò)驗(yàn)算機(jī)會(huì)．本文采用圖像法、求導(dǎo)法、數(shù)值分析等方法多途徑驗(yàn)算最大值,以確定可靠的結(jié)果．