《兩角差的余弦》教學(xué)設(shè)計(jì)

山東省泰安英雄山中學(xué) 張 娜

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)人教A版第三章第一節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容，是三角函數(shù)線(xiàn)、誘導(dǎo)公式等知識(shí)的延伸，是我們后續(xù)學(xué)習(xí)兩角和差公式、二倍角公式等一列公式推導(dǎo)的核心和基礎(chǔ).對(duì)三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值等問(wèn)題的解決有著重要的支撐作用.

【學(xué)情分析】

學(xué)生已經(jīng)掌握了利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)，也學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)式的變換，理解了平面向量及其運(yùn)算的意義，并能用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，具有一定的推理能力、運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，但利用向量的數(shù)量積公式證明兩角差的余弦公式時(shí)，學(xué)生容易犯思維不嚴(yán)謹(jǐn)、不嚴(yán)密的錯(cuò)誤，教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生搞清楚兩角差與相應(yīng)向量夾角的聯(lián)系與區(qū)別.

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

通過(guò)讓學(xué)生探索、猜想發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，通過(guò)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立兩角和差的正余弦公式和正切公式打好基礎(chǔ)；

2.過(guò)程與方法

在探究公式的過(guò)程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、合作交流的能力，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

3..情感態(tài)度

通過(guò)課題背景的設(shè)計(jì)，增強(qiáng)學(xué)生的探究、應(yīng)用意識(shí)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

【重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索和推導(dǎo)過(guò)程及簡(jiǎn)單應(yīng)用。

難點(diǎn)：兩角差的余弦公式探索過(guò)程中的組織和適當(dāng)引導(dǎo)。

【教學(xué)過(guò)程】

課前準(zhǔn)備.

1.填寫(xiě)下表

閱讀課本第124頁(yè).

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

一年之計(jì)在于春，同學(xué)們有沒(méi)有自己的計(jì)劃？相信很多同學(xué)已經(jīng)在心里暗下決心，要在萬(wàn)物復(fù)蘇，充滿(mǎn)希望的春天里努力學(xué)習(xí)達(dá)到預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)，為之后邁向理想的大學(xué)鋪路！不過(guò)，身體要保持健康強(qiáng)壯是前提，生活在泰山腳下，課件播放泰山景點(diǎn)圖片.有沒(méi)有經(jīng)常爬個(gè)山坡鍛煉一下呢？爬山的時(shí)候有沒(méi)有時(shí)刻體會(huì)到數(shù)學(xué)呢？我們?nèi)∫欢紊狡拢绻狡麻L(zhǎng)度約為8米，坡度（與地面夾角）約為30度，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)我們爬完山坡后，在水平方向上前進(jìn)了多少米？

提問(wèn)：當(dāng)山坡坡度為45度時(shí)，其他不變，x等于多少？

提問(wèn)：當(dāng)山坡坡度為15度時(shí)，此時(shí)又等于多少？

問(wèn)題1：cos15°等于多少？能否用特殊角三角函數(shù)值來(lái)表示？

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生的實(shí)際生活出發(fā)，自然地引出問(wèn)題，基于人的由低到高的認(rèn)知規(guī)律，把新內(nèi)容的起點(diǎn)定得越低，學(xué)生越易入門(mén)，所以我將教材中的例子做了修改，從而培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型來(lái)解決的能力，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（二）自學(xué)探究，提出猜想

1. 思考：15°能否用特殊角表示？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷提出假設(shè)→證明假設(shè)的過(guò)程，知道要證明一個(gè)假設(shè)不成立，只需舉出反例即可，即明白特殊與一般的辯證關(guān)系.

2.探究：cos15°能否用特殊角三角函數(shù)來(lái)表示？如何表示？

提示：利用單位圓、向量知識(shí)，插入微課復(fù)習(xí)舊知.

其實(shí)我們之前已經(jīng)接觸過(guò)兩角差的余弦，想想在哪里接觸過(guò)呢？

引導(dǎo)舉例：

【設(shè)計(jì)意圖】從新舊知識(shí)之間的聯(lián)系入手，通過(guò)插入微課復(fù)習(xí)舊知，讓學(xué)生對(duì)新知不陌生，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)與的值都有關(guān)系，為最終公式的得出做鋪墊.

（三）合作解疑，證明猜想

插入微課，復(fù)習(xí)回顧三角函數(shù)線(xiàn)

方案1：利用三角函數(shù)線(xiàn)

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，比較繁瑣.所以我制成動(dòng)畫(huà)課件把探索過(guò)程逐步展示出來(lái).

探究：證明對(duì)任意的,αβ都有

方案2：利用單位圓、向量知識(shí).

問(wèn)題4：如何探討的任意性？

【設(shè)計(jì)意圖】作為第一個(gè)和差公式，通過(guò)趣味性的記憶，加深學(xué)生印象.

（四）精講點(diǎn)撥，鞏固訓(xùn)練

例1：利用差角余弦公式求cos15°的值.

解：法1：

法2：

變式1：利用差角余弦公式求sin75°的值.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎(chǔ)；通過(guò)變式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生用多種方法解決問(wèn)題的能力.

【設(shè)計(jì)意圖】訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性、思維過(guò)程表述的準(zhǔn)確性與簡(jiǎn)潔性，這些都是三角恒等變換能力所不能忽視的;注意角α、β的象限，也就是符號(hào)問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】將例2作此延伸，體現(xiàn)討論的數(shù)學(xué)思想.

【設(shè)計(jì)意圖】1、2題考察公式的逆用，3題考察特殊角與非特殊角在兩角差的余弦公式中的結(jié)合；4題強(qiáng)調(diào)解決三角變換問(wèn)題的基本要求：思維的有序性和表述的條理性。

（五）課堂小結(jié)，回顧反思

1.這堂課你學(xué)到了什么內(nèi)容？如何學(xué)習(xí)的？

①學(xué)習(xí)了差角余弦公式；

②假設(shè)猜想—反證否定—用向量、三角函數(shù)線(xiàn)探究公式—證明結(jié)論—公式應(yīng)用

2.學(xué)習(xí)與應(yīng)用過(guò)程中，你有什么體會(huì)？

①證明一個(gè)假設(shè)不成立，只需舉出反例即可.

②探究證明公式過(guò)程中，可以通過(guò)特殊情況去討論證明一般情況.

③公式應(yīng)用中，可以有不同的解題方法.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生對(duì)探究的過(guò)程與思路、方法有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步達(dá)到“教思維”的目的.

（六）當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

【設(shè)計(jì)意圖】考察公式的逆用，特殊角與非特殊角在兩角差的余弦公式中的結(jié)合，強(qiáng)調(diào)解決三角變換問(wèn)題的基本要求，從而加強(qiáng)鞏固本節(jié)課的知識(shí).

（七）布置作業(yè)

課本第127頁(yè)練習(xí)2、3、4題.

【設(shè)計(jì)意圖】課下鞏固練習(xí)。