具有通過(guò)流動(dòng)的傾斜腔體的對(duì)流特性

劉 爽， 寧利中， 寧碧波， 田偉利， 渠亞偉

(1.西安理工大學(xué) 省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西 西安 710048；2.嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院， 浙江 嘉興 314001； 3.上海大學(xué) 建筑系， 上海 200444)

1 研究背景

現(xiàn)實(shí)生活中的對(duì)流實(shí)例普遍存在，小到刮風(fēng)，大到熱作用下大氣對(duì)流導(dǎo)致的突發(fā)性降雨、軟層流在地殼中的運(yùn)動(dòng)等。1900年Bénard在盛有薄流體層的水平金屬板底部加熱實(shí)驗(yàn)中首次發(fā)現(xiàn)了熱對(duì)流運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。1916年英國(guó)科學(xué)家Rayleigh等引進(jìn)小擾動(dòng)理論思想，對(duì)這類底部加熱的流體展開了深入研究[1]，發(fā)現(xiàn)瑞利數(shù)Ra是控制流體穩(wěn)定性的主要因素，這一發(fā)現(xiàn)為以后熱對(duì)流的理論研究奠定了基礎(chǔ)，并由此命名為Rayleigh-Benard(簡(jiǎn)稱“RB對(duì)流”)。

就二維平面來(lái)說(shuō)，RB對(duì)流系統(tǒng)就是在一個(gè)完整密閉的矩形腔體內(nèi)，當(dāng)上壁面處于恒溫狀態(tài)，給下壁面進(jìn)行加熱，底部流體則會(huì)因加熱膨脹、密度減小而上升，接觸到其他流體時(shí)溫度降低而密度增大。當(dāng)?shù)撞苛黧w溫度到達(dá)一定值而密度足夠小時(shí)，則產(chǎn)生冷熱流體互相交換的規(guī)則的滾動(dòng)斑圖現(xiàn)象[2]。RB對(duì)流具有理論和實(shí)際意義[3-7]，因其簡(jiǎn)單且易控制等特性為流體力學(xué)及其他相近學(xué)科的研究奠定了基礎(chǔ)；并可利用Fluent軟件對(duì)其進(jìn)行二維或三維數(shù)值模擬[8-15]，這也為其他非線性問(wèn)題指明了一個(gè)可行性的研究方向；更為重要的是RB對(duì)流應(yīng)用廣泛涉及眾多領(lǐng)域，例如，太陽(yáng)輻射使地表升溫通過(guò)對(duì)流將熱量傳遞給空氣；海洋受到溫度和鹽度雙重影響而形成熱鹽對(duì)流；水庫(kù)、海洋、湖泊中的熱對(duì)流；不同類異型強(qiáng)化換熱管的應(yīng)用[16-17]；地幔中以自放射性元素衰敗為加熱體并以地球板塊為模型形成對(duì)流[18]，使得地殼運(yùn)動(dòng)，從而產(chǎn)生一系列地形結(jié)構(gòu)的變化；還可以幫助人們解決金屬固化、污染物擴(kuò)散、核反應(yīng)堆冷卻、化學(xué)氣體的沉淀與干燥、太陽(yáng)能利用等一些實(shí)際應(yīng)用的問(wèn)題等等。

基于水平來(lái)流對(duì)混合流體時(shí)空特性的影響、不同水平來(lái)流強(qiáng)度導(dǎo)致時(shí)間依賴的動(dòng)力學(xué)行為以及傾斜腔體均熱條件下的對(duì)流特性等諸多研究[19-20]，本文主要研究的是在矩形腔體中，傾斜角度一定且均勻加熱的條件下，通過(guò)改變通過(guò)流動(dòng)強(qiáng)度和相對(duì)瑞利數(shù)r進(jìn)行二維數(shù)值模擬，以獲取腔體內(nèi)對(duì)流結(jié)構(gòu)及其相關(guān)特性的變化規(guī)律。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 模型的建立

本文建立的模型是傾斜角為10°時(shí)的矩形腔體(如圖1所示，半圓中的箭頭表示從左側(cè)進(jìn)口進(jìn)入的通過(guò)流動(dòng)；矩形中的圓圈表示溫差引起的對(duì)流圈)，在長(zhǎng)高比Γ=20的窄長(zhǎng)腔體中充滿普朗特?cái)?shù)Pr=6.99的水。在左側(cè)面有通過(guò)流動(dòng)，下壁面加熱的條件下，由于通過(guò)流動(dòng)強(qiáng)度與溫差的共同作用，使得腔體內(nèi)流體產(chǎn)生豐富的對(duì)流斑圖。

圖1 對(duì)流模型

2.2 基本方程

就封閉腔內(nèi)而言，為方便處理受溫差影響的浮力項(xiàng)，在對(duì)其進(jìn)行自然對(duì)流傳熱數(shù)值計(jì)算時(shí)，通常采用Boussinesq假設(shè)[21]，即只考慮浮力項(xiàng)中溫度足夠小時(shí)，引起的密度變化。描述該問(wèn)題的方程組[22]可表示為：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：peff=p+ρ0gycosθ-ρ0gxsinθ;u,w分別為平行和垂直于腔體長(zhǎng)度方向的速度,m/s；T為溫度場(chǎng),K；ρ為密度,kg/m3；p為壓強(qiáng),Pa；g為重力加速度,m/s2；ν為運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)，m2/s；α為體積膨脹系數(shù),K-1；κ為熱擴(kuò)散系數(shù),m2/s；t為時(shí)間,s；θ為傾斜角度,(°)；下標(biāo)0表示傳導(dǎo)狀態(tài)下的各物理量初始值。

2.3 邊界和初始條件

在均勻加熱的條件下，為方便求解方程組,需給出合理的速度場(chǎng)、溫度場(chǎng)的邊界及初始條件。

當(dāng)x=0時(shí)，有通過(guò)流動(dòng)的左側(cè)入口邊界條件為:

(5)

w=0

(6)

(7)

當(dāng)x=Γ時(shí)，右側(cè)出口邊界條件為自由出流。

當(dāng)y=0時(shí):

u=w=0

(8)

(9)

當(dāng)y=d時(shí):

u=w=0

(10)

(11)

式中：ΔT為腔體上、下面溫差；d為腔體高度；Γ為腔體長(zhǎng)高比；umax為通過(guò)流動(dòng)的流速最大值；T0為平均溫度，取其平均值為293.15K，初始速度為u=w=0。

2.4 數(shù)值計(jì)算

基于文獻(xiàn)[23]對(duì)網(wǎng)格劃分的誤差分析，本文采用Gambit對(duì)Γ=20的矩形腔體進(jìn)行20×400的均勻交叉網(wǎng)格劃分，對(duì)非定場(chǎng)流采用一階隱式，速度均用絕對(duì)速度，用有限容積法對(duì)流體力學(xué)方程組進(jìn)行離散，對(duì)速度-壓力耦合方程用Simple算法求解。

本文主要通過(guò)改變流動(dòng)強(qiáng)度和相對(duì)瑞利數(shù)來(lái)分析其對(duì)腔體內(nèi)的對(duì)流斑圖結(jié)構(gòu)及相關(guān)物理量的影響。

3 具有通過(guò)流動(dòng)的傾斜腔體的對(duì)流特性

3.1 對(duì)流斑圖的演化特性

3.1.1 對(duì)流斑圖隨相對(duì)瑞利數(shù)的變化 在Γ=20的矩形腔體中，選用Pr=6.99的流體，傾斜角度為10°，在左側(cè)入口有通過(guò)流動(dòng)時(shí)，給下壁面加熱，當(dāng)雷諾數(shù)Re=0.5，相對(duì)瑞利數(shù)分別為r=2、3、6、9時(shí)，得到不同結(jié)構(gòu)的對(duì)流斑圖，如圖2所示，圖中橫坐標(biāo)表示腔體長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)為腔體高度。由圖2可知，當(dāng)相對(duì)瑞利數(shù)r=2、3時(shí)，該流體只存在單個(gè)對(duì)流圈與通過(guò)流動(dòng)的混合；但隨著相對(duì)瑞利數(shù)r的增大，腔體內(nèi)出現(xiàn)對(duì)多個(gè)對(duì)流圈與通過(guò)流動(dòng)混合現(xiàn)象，對(duì)流強(qiáng)度也隨之明顯變大；這是由于溫差逐漸加大，使得熱作用逐漸增強(qiáng)而產(chǎn)生的。

3.1.2 對(duì)流斑圖隨雷諾數(shù)的變化 相對(duì)瑞利數(shù)一定時(shí)，分析不同雷諾數(shù)下的對(duì)流結(jié)構(gòu)變化，如圖3所示，即在r=9，雷諾數(shù)分別為Re=0.5、2.5、5、7.5時(shí)的對(duì)流斑圖。由圖3可知當(dāng)雷諾數(shù)較小(即Re=0.5)時(shí)，腔體內(nèi)混有多個(gè)對(duì)流圈與通過(guò)流動(dòng)，且熱作用占據(jù)主導(dǎo)地位，通過(guò)流動(dòng)強(qiáng)度較弱；隨著雷諾數(shù)的增大，當(dāng)其達(dá)到一定值(Re=2.5)后，腔體內(nèi)出現(xiàn)明顯的分區(qū)現(xiàn)象，靠近上下壁面的區(qū)域?yàn)閷?duì)流區(qū)，中間為通過(guò)流動(dòng)區(qū)域，此時(shí)通過(guò)流動(dòng)與熱作用共同作用且均得到了充分發(fā)展而達(dá)到平衡；雷諾數(shù)逐漸增大，滾動(dòng)圈隨之逐漸減小，與之相反，通過(guò)流動(dòng)強(qiáng)度則不斷增大直至完全穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)雷諾數(shù)繼續(xù)增大至Re=7.5時(shí)，流體中出現(xiàn)局部行波的現(xiàn)象，上游區(qū)域?yàn)橥ㄟ^(guò)流動(dòng)，下游區(qū)域?yàn)橥ㄟ^(guò)流動(dòng)與熱作用的耦合。

圖2Re=0.5時(shí)對(duì)流斑圖隨不同相對(duì)瑞利數(shù)r的變化圖3r=9時(shí)對(duì)流斑圖隨不同雷諾數(shù)Re的變化

3.2 最大垂直流速特性

3.2.1 雷諾數(shù)對(duì)最大垂直流速的影響 圖4所示為r=6、雷諾數(shù)分別為Re=0.5、3、5時(shí)，最大垂直流速wmax隨時(shí)間的分布規(guī)律。由圖4可知，隨著時(shí)間的推移，最大垂直流速wmax的變化規(guī)律可分為3個(gè)階段，即發(fā)展階段、過(guò)渡調(diào)整階段和穩(wěn)定階段(穩(wěn)定周期階段)。當(dāng)雷諾數(shù)較小時(shí)，由發(fā)展階段向過(guò)渡調(diào)整階段變化時(shí)，wmax隨時(shí)間的成長(zhǎng)速率較小，過(guò)渡調(diào)整階段至穩(wěn)定階段耗時(shí)較長(zhǎng)，且呈不規(guī)則震蕩變化，wmax穩(wěn)定值也較小。隨著雷諾數(shù)的不斷增大，wmax隨時(shí)間的成長(zhǎng)速率逐漸變大，過(guò)渡調(diào)整階段至穩(wěn)定階段所需時(shí)間相應(yīng)減少，震蕩趨于規(guī)律化，最大垂直流速wmax均一次性下降到穩(wěn)定值，且wmax穩(wěn)定值也隨之增加。

3.2.2 相對(duì)瑞利數(shù)對(duì)最大垂直流速的影響 圖5為Re=4、相對(duì)瑞利數(shù)分別為r=3、6、9時(shí)，最大垂直流速wmax隨時(shí)間的變化規(guī)律。由圖5可知，當(dāng)雷諾數(shù)一定而相對(duì)瑞利數(shù)較小時(shí)，其最大垂直流速wmax直接由發(fā)展階段向穩(wěn)定階段轉(zhuǎn)變，快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，且wmax穩(wěn)定值也較?。贿@是由于溫差較小時(shí)，通過(guò)流動(dòng)強(qiáng)度抑制了熱作用而占據(jù)主導(dǎo)地位。隨著相對(duì)瑞利數(shù)的增大，wmax隨時(shí)間的變化階段完整化，當(dāng)相對(duì)瑞利數(shù)較大時(shí)，其對(duì)流速的影響與雷諾數(shù)對(duì)流速影響規(guī)律幾乎一致；不同的是當(dāng)相對(duì)瑞利數(shù)達(dá)到一定值后，其向過(guò)渡調(diào)整階段轉(zhuǎn)變時(shí)成長(zhǎng)速率較大，在該階段其最大垂直流速wmax變化幅度顯著，歷時(shí)較短；隨后向穩(wěn)定周期變化階段過(guò)渡時(shí)，最大垂直流速wmax分兩層次下降，最后呈現(xiàn)為周期變化。

3.3 下壁面努塞爾數(shù)變化規(guī)律

3.3.1 雷諾數(shù)對(duì)努塞爾數(shù)的影響 圖6所示為r=6時(shí)、雷諾數(shù)分別為Re=0.5、3、5條件下努塞爾數(shù)Nu隨時(shí)間的變化規(guī)律。由圖6可知，當(dāng)相對(duì)瑞利數(shù)一定時(shí)，下壁面努塞爾數(shù)Nu均是由最大初始值開始呈對(duì)數(shù)下降到一定值，然后再緩慢減小至穩(wěn)定值后幾乎趨于一條直線。圖7所示為r=3、Re=4時(shí)，Nu與時(shí)間的擬合關(guān)系圖，呈對(duì)數(shù)式關(guān)系：Nu=-18lnt+66.706。隨著雷諾數(shù)的逐漸增大，最大初始值沒有變化，努塞爾數(shù)Nu的下降速率逐漸變大，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需的時(shí)間先增大后減小(詳見表1)，其穩(wěn)定值相應(yīng)增加，但其增加的數(shù)值相差不大，最大不超過(guò)3.8%(如表1所示)。由此可以得出：當(dāng)通過(guò)流動(dòng)強(qiáng)度與熱作用相互作用，相對(duì)瑞利數(shù)一定，雷諾數(shù)Re雖然對(duì)努塞爾數(shù)Nu有一定影響，但其影響能力有限。

圖4r=6時(shí)不同雷諾數(shù)下最大垂直流速wmax隨時(shí)間的變化圖5Re=4時(shí)不同相對(duì)瑞利數(shù)下最大垂直流速wmax隨時(shí)間的變化

圖6r=6時(shí)不同雷諾數(shù)下努塞爾數(shù)Nu隨時(shí)間的變化圖7r=3、Re=4時(shí)努塞爾數(shù)Nu隨時(shí)間的變化

表1 Nu的相關(guān)參數(shù)隨Re的變化

3.3.2 相對(duì)瑞利數(shù)對(duì)努塞爾數(shù)的影響 圖8所示為Re=4時(shí)、相對(duì)瑞利數(shù)下分別為r=3、6、9條件下努塞爾數(shù)Nu隨時(shí)間的變化規(guī)律。由圖8可知，當(dāng)雷諾數(shù)一定時(shí)，不同相對(duì)瑞利數(shù)下努塞爾數(shù)Nu隨時(shí)間的變化規(guī)律基本相同。但隨著相對(duì)瑞利數(shù)的不斷增大，由最大初始值減小至穩(wěn)定值的時(shí)間反而增加，其相應(yīng)增加的穩(wěn)定值相差很大，甚至成倍數(shù)增大，詳見表2。這充分說(shuō)明了當(dāng)通過(guò)流動(dòng)強(qiáng)度與熱作用共同作用時(shí)，雷諾數(shù)一定，相對(duì)瑞利數(shù)r對(duì)努塞爾數(shù)Nu影響顯著。

圖8 Re=4時(shí)不同相對(duì)瑞利數(shù)下努塞爾數(shù)Nu隨時(shí)間的變化

rReNu最大初始值穩(wěn)定狀態(tài)所需時(shí)間t/sNu穩(wěn)定值3694137.7014266.1585386.210012.4113.3489.0041.249079.2885113.8807

4 結(jié) 論

本文在傾斜角度為10°且Γ=20的矩形腔體中，選用Pr=6.99的流體，通過(guò)改變流動(dòng)強(qiáng)度和相對(duì)瑞利數(shù)來(lái)分析其對(duì)腔體內(nèi)的對(duì)流斑圖結(jié)構(gòu)及其相關(guān)特征物理量的影響。得到的結(jié)論如下：

(1)相對(duì)瑞利數(shù)一定，隨著雷諾數(shù)的不斷增大，對(duì)流斑圖變化明顯，由通過(guò)流動(dòng)與單個(gè)對(duì)流圈的混合演變成多個(gè)對(duì)流圈與之混合；最大垂直流速wmax均歷經(jīng)發(fā)展、過(guò)渡調(diào)整和穩(wěn)定3個(gè)階段，其穩(wěn)定值相應(yīng)增加，但其增量較??；努塞爾數(shù)Nu變化規(guī)律相同，均由最大初始值呈對(duì)數(shù)下降，而后達(dá)到穩(wěn)定，其穩(wěn)定值也相應(yīng)增加，但增加值也不大。由此可知，當(dāng)通過(guò)流動(dòng)與熱作用共同作用時(shí)，雷諾數(shù)Re對(duì)對(duì)流斑圖影響較大，但對(duì)最大垂直流速wmax及努塞爾數(shù)Nu影響能力有限。

(2)雷諾數(shù)一定，隨著相對(duì)瑞利數(shù)r的增加，對(duì)流斑圖呈現(xiàn)多種變化形態(tài)，由最初的通過(guò)流動(dòng)與多個(gè)対流圈的混合逐漸達(dá)到充分發(fā)展的平衡狀態(tài)，而后出現(xiàn)局部行波；最大垂直流速wmax的變化趨勢(shì)及歷經(jīng)階段也各不相同，其穩(wěn)定值增加幅度較大；努塞爾數(shù)Nu變化規(guī)律不變，但其最大初始值與穩(wěn)定值幾乎成倍增加。所以，當(dāng)通過(guò)流動(dòng)強(qiáng)度與熱作用共同作用時(shí)，相對(duì)瑞利數(shù)r對(duì)對(duì)流斑圖、最大垂直流速wmax及努塞爾數(shù)Nu影響顯著。