漸開線蝸輪的精確建模與修形*

吳海兵，王 昆，許兆美，陳前亮

(1.淮陰工學(xué)院 先進制造技術(shù)實驗室，江蘇 淮安 223003；2.江蘇省金象傳動設(shè)備股份有限公司，江蘇 淮安 223001)

0 引言

漸開線(ZI型)蝸桿磨削工藝性較好，可獲得精度較高的硬齒面蝸桿，是應(yīng)用比較廣泛的動力蝸桿傳動類型[1]。

蝸輪的傳統(tǒng)加工方式主要是滾切加工，這種加工方式在大批量生產(chǎn)中效率較高[2]。在單件、小批量加工方式下，由于滾刀價格昂貴，成本較高，因此采用通用五軸數(shù)控加工蝸輪是重要的發(fā)展方向[3-7]。

漸開線蝸輪齒面是極為復(fù)雜的空間共軛曲面。目前很多文獻[8-12]利用截面齒廓(大部分是漸開線)沿著一定的路徑掃掠建立蝸輪齒面，建立的蝸輪模型誤差太大，無法實際應(yīng)用。文獻[13]采用二次開發(fā)技術(shù)，在Solidworks中仿真滾刀滾切蝸輪毛坯的展成運動，可得到準確的蝸輪齒面。但仿真法的蝸輪齒面存在滾切棱線，后續(xù)還需要光順化處理，整體效率不高。文獻[14]提出的建模方法本質(zhì)上仍然屬于仿真法，其流程顯得過于繁瑣。在蝸輪副修形方面，很多文獻[15-17]都是通過滾刀修形來得到與蝸桿失配的蝸輪，在五軸數(shù)控加工方式下，需要直接生成修形蝸輪模型。

本文以微分幾何與齒輪嚙合理論為基礎(chǔ)，提出一種新的修形方法，即在推導(dǎo)得出蝸輪齒面方程的基礎(chǔ)上，將蝸輪齒面方程計算出的齒面原始點云沿齒面法向往內(nèi)部偏移，以得出修形齒面。

1 蝸輪齒面方程的推導(dǎo)

1.1 車刀刃口直線方程

漸開線蝸桿用兩把直線刀刃車刀加工，刀刃所在平面與蝸桿基圓柱相切，其中一把車刀高于蝸桿軸線，另一把車刀則低于蝸桿軸線。如圖1所示，ouyuzu是車刀坐標系，M是車刀刃口上的任意一點，α是車刀刀刃傾角，其等于蝸桿基圓柱螺旋升角。

圖1 車刀安裝示意圖

容易得出車刀刃口的參數(shù)方程如下：

(1)

式中，rb1是蝸桿基圓柱半徑。

1.2 蝸桿齒面方程

如圖2所示，ouxuyuzu是車刀坐標系，o1x1y1z1是蝸桿坐標系。車刀車削蝸桿時，假設(shè)蝸桿坐標系不動，則車刀相對于蝸桿做螺旋運動。θ是車刀轉(zhuǎn)過的角度，車刀每旋轉(zhuǎn)一圈則沿著z1軸方向移動pθ。p是蝸桿的導(dǎo)程參數(shù)，即直母線繞z1軸旋轉(zhuǎn)單位角度時，直母線沿z1軸移動的距離。

圖2 車削蝸桿坐標系

車刀坐標系變換到蝸桿坐標系的變換關(guān)系式如下：

(2)

將式(1)代入式(2)即可得出蝸桿齒面方程：

(3)

方程中，h、θ是獨立參變量。

1.3 蝸輪蝸桿嚙合坐標系及坐標變換

如圖3所示，o1x1y1z1是蝸桿坐標系，o2x2y2z2是蝸輪坐標系，oxyz是空間固定坐標系，z軸與z1軸重合，opxpypzp是輔助空間固定坐標系，y軸與yp軸重合。opxpypzp與oxyz的坐標軸方向完全相同，僅在x向相差a，a是蝸輪蝸桿的中心距。當蝸桿繞z1軸旋轉(zhuǎn)φ1時，蝸輪同時繞y2軸旋轉(zhuǎn)φ2。

圖3 蝸桿傳動嚙合坐標系

蝸桿坐標系變換到蝸輪坐標系的變換關(guān)系式如下：

(4)

1.4 蝸輪齒面方程

限于篇幅，這里直接給出蝸輪蝸桿的嚙合方程如下：

(5)

式中，i21=φ2/φ1，即等于蝸桿頭數(shù)與蝸輪齒數(shù)之比。

將式(3)～式(5)聯(lián)立即為蝸輪齒面方程：

(6)

從上式可知，蝸輪齒面方程的獨立參變量是φ1、h、θ。

1.5 蝸輪齒面點云的計算

蝸輪副的一對齒從嚙入到嚙出的過程中，給定φ1的值，將所有符合嚙合方程的h、θ代入式(6)中的第2～4式，可以求得蝸桿齒面的一條嚙合線點集的坐標，再代入式(6)中的第5～7式即可得出蝸輪齒面的一條嚙合線點集坐標。對φ1進行迭代，可以求出蝸輪齒面上所有的嚙合線點集，也就是蝸輪齒面點云，同時還可以求得每個點處的齒面法向量。

2 蝸輪齒面修形

2.1 建立齒面切平面坐標系

為了簡化工藝并充分利用數(shù)控加工的柔性，本文只對蝸輪修形。根據(jù)蝸桿頭數(shù)查出標準JB2318-79中關(guān)于接觸區(qū)占比以及位置的規(guī)定，確定接觸區(qū)中心點在蝸輪齒面上的位置，以該點作為齒面修形的基準點。根據(jù)蝸輪齒面方程可以算出該點的坐標以及該點處的齒面單位法向量，過該中心點建立蝸輪齒面的切平面。將蝸輪軸向向量投影到切平面上即為切平面坐標系的X軸，Y軸由切平面法向量與X軸向量的叉乘得出，坐標系原點即修形基準點。

2.2 齒面點向切平面投影

蝸輪齒面點投影到切平面上，即可方便計算它們與修形基準點之間的距離。齒面投影點在切平面坐標系下的坐標計算公式為：

(7)

式中，xpoj、yproj是點投影后的坐標，x、y、z是點投影前的坐標，xc、yc、zc是齒面修形基準點的坐標，ix、jx、kx是切平面坐標系X軸的單位向量，iy、jy、ky是切平面坐標系Y軸的單位向量。

2.3 齒面點偏移量

實踐證明，接觸區(qū)呈近似橢圓形時齒輪嚙合性能較好。故齒面點偏移量的公式如下：

(8)

式中，c1、c2是橢圓方程系數(shù)。

在橢圓形接觸區(qū)邊界上的齒面點偏移量應(yīng)該等于齒輪副接觸判斷距離dis，因此可以得出式(8)的系數(shù)公式如下：

(9)

式中，Kl、Kh分別是接觸區(qū)在齒寬、齒高方向的占比系數(shù)，蝸桿頭數(shù)不同，占比系數(shù)不同，可參見標準JB2318-79中對于蝸輪副接觸區(qū)大小的規(guī)定；W、H分別是蝸輪的寬度與齒高。

2.4 齒面點偏移后的坐標

將式(7)、式(9)代入式(8)，可以計算得出蝸輪齒面上點的偏移量，則齒面點偏移后的坐標公式如下：

(10)

式中，xmod、ymod、zmod是點偏移后的坐標，x、y、z是點投影前的坐標，nx、ny、nz是每個點處的齒面單位法向量，方向指向輪齒內(nèi)部。

由于入口區(qū)距離蝸輪齒面修形基準點較遠，根據(jù)式(10)計算的修形量可能較大，造成修形過度。因此在計算代碼中設(shè)置一個條件，當計算出的修形量超過0.2mm時，強制使修形量等于0.2mm。

3 實例驗證

蝸輪修形后齒面點云導(dǎo)入UG中，將點云擬合成面并與蝸輪齒根面互相修剪，可得到修剪片體，再利用修剪片體對蝸輪修剪，對齒根倒圓角，對齒槽陣列，即可得到最終的蝸輪實體模型，如圖4所示。

圖4 蝸輪實體模型

采用ANSYS進行輕載下的動態(tài)接觸分析。蝸輪取三個齒進行分析，蝸輪、蝸桿的旋轉(zhuǎn)中心分別采用剛性梁單元與內(nèi)孔表面節(jié)點相連。在蝸桿中心節(jié)點施加動態(tài)旋轉(zhuǎn)位移，蝸輪旋轉(zhuǎn)中心節(jié)點施加輕載阻力矩，如圖5所示。利用APDL語言對對分析結(jié)果進行后處理，可得蝸輪齒面接觸區(qū)以及蝸輪副的傳動誤差。

圖5 有限元分析模型

蝸輪齒面接觸區(qū)如圖6所示，接觸區(qū)集中在出口區(qū)并符合標準的要求。

蝸輪副的傳動誤差曲線如圖7所示，傳動誤差不超過0.007°，表明修形后的蝸輪副具有較高的傳動精度。

圖7 傳動誤差

4 結(jié)論

本文基于五軸數(shù)控加工漸開線蝸輪的方式，根據(jù)微分幾何與齒輪嚙合理論研究了一種新的蝸輪修形建模方法，得到了如下的結(jié)論：

(1)基于蝸輪齒面方程計算出的齒面點云，通過對其進行法向偏移處理實現(xiàn)齒面修形，因而傳動精度相當高；

(2)蝸輪齒面點云的法向偏移量可以根據(jù)相關(guān)標準改變，從而可以很方便靈活地調(diào)整蝸輪副接觸區(qū)域位置與大??；

(3)漸開線蝸輪副實例的齒面接觸區(qū)圖以及傳動誤差分析結(jié)果表明，本文提出的蝸輪修形建模方法符合實際使用要求。