基于灰色模型的黃河下游流量預(yù)測(cè)研究

李 浩,馮傳烈，劉 云，汪 威

(宜賓市農(nóng)業(yè)機(jī)械研究所, 四川 宜賓 644000)

中國是一個(gè)洪水災(zāi)害多發(fā)的國家[1-2]，河流流量是整個(gè)防洪減災(zāi)、防汛抗旱系統(tǒng)中主導(dǎo)性的數(shù)據(jù)，同時(shí)也是河流沿線水量調(diào)度、取水調(diào)控的重要依據(jù)[3-7]。區(qū)域或流域的水情和徑流過程具有隨機(jī)性和灰色特征[8]，是一個(gè)十分復(fù)雜的非線性進(jìn)程[9-13]。故流量內(nèi)在規(guī)律的揭示和未來期間的預(yù)測(cè)是水文工作的重要方向。國內(nèi)外研究者對(duì)流量預(yù)測(cè)等方面做了大量的工作，也取得了豐碩的成果。1982年，中國學(xué)者鄧聚龍首次提出了灰色系統(tǒng)理論體系，主要用于原始數(shù)據(jù)樣本較少，信息不確定的時(shí)間序列，依據(jù)信息覆蓋、數(shù)據(jù)生成等手段，實(shí)現(xiàn)對(duì)原始數(shù)據(jù)規(guī)律的揭示和樣本的預(yù)測(cè)[14-16]。Garbrecht利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型模擬相應(yīng)的流域，并成功預(yù)測(cè)徑流[17]；Lee J Y通過建立灰色模型并將其與傳統(tǒng)的數(shù)值方法相比，較高精度地預(yù)測(cè)出了地下水砷的污染[18]。Trivedi H V使用灰色理論模擬并擬合出當(dāng)?shù)貜搅鞯难葑冓厔?shì)和未來預(yù)測(cè)值，避免了該地區(qū)水文資料不足的劣勢(shì)[19]。夏軍針對(duì)流域匯流非線性問題，根據(jù)水動(dòng)力學(xué)理論指導(dǎo)下，建立了一類具有“灰色”特點(diǎn)的流域系統(tǒng)非線性調(diào)蓄狀態(tài)模型；并且處理了模型“灰色”參數(shù)的“離線”識(shí)別和“在線”識(shí)別以及預(yù)報(bào)等問題[20]。李強(qiáng)基于河流的分段，構(gòu)建自適應(yīng)調(diào)整粒子群-BRF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)涑水河豐水期、平水期、枯水期的徑流量[21]。國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)徑流的預(yù)測(cè)和灰色理論做了一系列工作，取得了大量的研究成果，也為下一階段的探索打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。河流的流量受多層次、多因素的控制，為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)流量，必須進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)收集且要最大程度地剔除人類活動(dòng)的影響，盡可能還原真實(shí)流量的數(shù)據(jù)，考慮多種因素，故導(dǎo)致構(gòu)建模型困難；有時(shí)即使建立了模型，但由于缺乏足夠數(shù)據(jù)序列，不能率定模型的參數(shù)，造成不能進(jìn)行預(yù)測(cè)的后果[22-26]。灰色系統(tǒng)理論的提出有效地解決了數(shù)據(jù)序列少、信息不完全等不確定性的問題；以多角度的思維方式實(shí)現(xiàn)對(duì)貧瘠數(shù)據(jù)序列的預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)。

1 研究方法

灰色的動(dòng)態(tài)模型是灰色系統(tǒng)理論的核心，特點(diǎn)是擬合函數(shù)和灰色微分方程[27]；灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為：任何隨機(jī)模型在一定階段，一定范圍內(nèi)都是具有灰色性[28]?；疑到y(tǒng)模型對(duì)于灰色量的處理不用依托數(shù)據(jù)序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律和概率分布，而是通過一定手段對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，通過對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加，將弱化數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，使生成數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)一定的規(guī)律，然后用曲線擬合得到模型。

1.1 原始數(shù)據(jù)序列的處理

對(duì)原始數(shù)據(jù)的預(yù)處理能克服其波動(dòng)性和隨機(jī)性，轉(zhuǎn)換為規(guī)律性較強(qiáng)的遞增序列，優(yōu)化數(shù)據(jù)的系統(tǒng)模型的擬合環(huán)境。

假設(shè)原始數(shù)據(jù)序列：X(0)(k)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))對(duì)原始數(shù)據(jù)依次進(jìn)行m次累加，公式為：

(1)

式中,m=1，2，3，… 。其中第m次累加記作m-AGO，得到m次累加算子：X(m)(k)=(x(m)(1),x(m)(2),…,x(m)(n))；如，1次累加記作1-AGO，得到1次累加算子：X(1)(k)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))。

1.2 建立GM(1，1)模型

建立生成累加算子序列X(m)(k)的微分方程模型GM(1，1)即m=1，估計(jì)其參數(shù)，得到時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，進(jìn)行模型檢驗(yàn)。一般表達(dá)式為：

(2)

式中a——趨勢(shì)灰數(shù)，反映X(0)(k) 和X(1)(k)的發(fā)展趨勢(shì)；b——控制灰數(shù)，反映數(shù)據(jù)間的內(nèi)在聯(lián)系與變化關(guān)系，兩者均為待估參數(shù)項(xiàng)。

在k時(shí)刻，當(dāng)Δt很小，離散形式近似為：

(3)

設(shè)Z(1)(k)=βx(1)(k)+(1-β)x(1)(k-1)，k=2，3，…，n

(4)

式中Z(1)(k)——式(2)的背景序列；β——權(quán)重系數(shù)，β∈[0,1]，一般假定β為0.5。

Z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k+1)

(5)

將式(2)離散化后，有：

x(1)(k)-x(1)(k+1)+aZ(1)(k)=b，k=2，3，…，n

(6)

利用最小二乘法求解公式(6)可得：

(7)

求得a和b，再求解微分方程(2)，得到：

(8)

將式(8)離散化，可得：

(9)

(10)

代入式(9)中：

(11)

對(duì)上式作累減還原，得：

(12)

2 實(shí)例研究

2.1 研究站概況

黃河利津水文站始建于1934年，現(xiàn)歸于黃河水利委員會(huì)管理，是黃河最后一個(gè)水文站，為控制黃河入海水量、沙量、黃河下游防洪防汛、防冰凌等工程提供水文數(shù)據(jù)；本次試驗(yàn)水文數(shù)據(jù)均來自于《黃河水資源公報(bào)》(圖1)。

2.2 實(shí)例灰色模型GM(1，1)

根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，進(jìn)行級(jí)比檢驗(yàn)，檢驗(yàn)公式為：

(13)

表1 原始數(shù)據(jù)序列

首先對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行1-AGO計(jì)算，得到累加算子序列X(1)(k)，以及其背景值序列Z(1)(k)，具體數(shù)據(jù)見表2。

中分別計(jì)算出響應(yīng)函數(shù)，得到灰色系統(tǒng)模型為：

表2 灰色系統(tǒng)模型具體參數(shù) m3/s

根據(jù)灰色系統(tǒng)模型對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)值見表3。

表3 灰色模型原始數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)值 m3/s

根據(jù)圖2可知原始數(shù)據(jù)序列與灰色系統(tǒng)模型擬合的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)序列效果良好，反映出了原始數(shù)據(jù)序列的趨勢(shì)性、規(guī)律性。

2.3 數(shù)據(jù)還原與精度分析

由于上述原始數(shù)據(jù)經(jīng)過預(yù)處理弱化了數(shù)據(jù)的波動(dòng)性、隨機(jī)性、揭示了數(shù)據(jù)的規(guī)律，且取得了較好的預(yù)測(cè)成果。故將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行逆處理(累減計(jì)算)還原為初始預(yù)測(cè)水文數(shù)據(jù)。

(14)

式中，x(k)為初始預(yù)測(cè)水文數(shù)據(jù)，x(k)=[x(1),x(2),…,x(n)]。

將還原的第11—15年預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)x(k)與初始水文數(shù)據(jù)h(k)誤差分析和進(jìn)行精度分析(表4)。具體公式如下：

殘差：ε(0)=h(k)-x(k)

(15)

(16)

(17)

精度：p=[1-ε(avg)]×100%

(18)

式中q(k)——?dú)埐钪?；?k)——相對(duì)誤差；ε(avg)——平均相對(duì)誤差；p——還原預(yù)測(cè)精度。

表4 水文數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)值誤差分析

根據(jù)上述公式計(jì)算出黃河利津水文站流量水文數(shù)據(jù)的還原預(yù)測(cè)值殘差在第11—15年度中分別為-116、188、220、11、48，其相對(duì)誤差在0.83%～14.23%之間，平均相對(duì)誤差為8.36%，根據(jù)精度檢驗(yàn)公式，還原預(yù)測(cè)值的精度為91.64%。

2.4 構(gòu)建殘差優(yōu)化模型

根據(jù)級(jí)比的定義，和正向化處理的需要，可得以下不等式：

根據(jù)誤差檢驗(yàn)可見表5。

表5 水文數(shù)據(jù)與優(yōu)化預(yù)測(cè)值誤差分析

根據(jù)上述公式計(jì)算出黃河利津水文站流量水文數(shù)據(jù)的優(yōu)化預(yù)測(cè)值殘差在第11—15年度中分別為-116、87、127、10、48，其相對(duì)誤差在0.71%～10.64%之間，平均相對(duì)誤差為5.74%，根據(jù)精度檢驗(yàn)公式，優(yōu)化預(yù)測(cè)值的精度為94.26%。

經(jīng)過對(duì)殘差進(jìn)行修正、優(yōu)化后，得到模型的預(yù)測(cè)值精度顯著提升，利用優(yōu)化的灰色系統(tǒng)模型得出的預(yù)測(cè)值與水文數(shù)據(jù)對(duì)比，效果較好、與實(shí)測(cè)值較為接近，各個(gè)值的誤差范圍較小，可進(jìn)行預(yù)測(cè)和預(yù)報(bào)。

3 結(jié)論

a) 基于灰色理論建立的灰色理論模型可運(yùn)用于水文序列的預(yù)測(cè)，模型能弱化灰色數(shù)據(jù)的隨機(jī)性、波動(dòng)性，揭示其內(nèi)在規(guī)律，提高了水文時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法的直觀性和可操作性。

b) 結(jié)合黃河下游利津水文站12 a的流量水文數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)后5 a的流量，其中一般灰色模型預(yù)測(cè)值精度為91.64%，優(yōu)化模型預(yù)測(cè)值精度為94.26%，經(jīng)過優(yōu)化的灰色模型的預(yù)測(cè)值精度要高于一般的灰色模型；結(jié)果合理，可將模型運(yùn)用于實(shí)踐中。

c) 灰色系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)是一種呈指數(shù)增長的預(yù)測(cè)模型，原始數(shù)據(jù)序列應(yīng)具非負(fù)性，單調(diào)性，且滿足模型的級(jí)比檢驗(yàn)。因此，在構(gòu)建模型前本文對(duì)不滿足要求的數(shù)據(jù)進(jìn)行累加或數(shù)據(jù)正向化處理，在預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)輸出時(shí)進(jìn)行累減處理，還原模擬水文數(shù)據(jù)，以構(gòu)建高精度預(yù)測(cè)模型。

d) 河流流量受多種不確定因素影響，本次構(gòu)建的灰色系統(tǒng)模型僅針對(duì)水文站監(jiān)測(cè)的水文數(shù)據(jù)進(jìn)行構(gòu)建模型及進(jìn)行預(yù)測(cè)，其他不確實(shí)因素對(duì)河流流量的影響是進(jìn)行下一步研究的方向。