對小船渡河最小位移問題進行定性和定量分析

姜璐涵 周 航

[江蘇省蘇州中學高三(4)班 江蘇 蘇州 215007] (蘇州大學物理科學與技術學院 江蘇 蘇州 215006)

小船渡河問題是高中物理中較為經(jīng)典的題型，其本質(zhì)上考察的是“矢量的合成與分解”這一知識點.針對小船渡河問題最常見的考點即為最小運動時間和最小運動位移的計算.其中，最小運動時間是比較容易理解和計算的，不論船速和水速的大小如何，只要使得船頭的方向與河岸垂直，此時運動的時間即為最小.但對于最小運動位移的問題，則需要根據(jù)船速和水速的大小，不斷調(diào)整船頭的方向才能實現(xiàn).

題目：有一條小河寬度為S，小船在靜水中運動的速度為v水，河水流動速度為v船，求小船如何渡河才能使船行駛的位移最??？(假設水流動速度處處相等)

1 定性分析

(1)當v船>v水時

圖1 v船>v水時v合與河岸垂直

如圖1所示,可以通過調(diào)節(jié)船頭的方向，恰巧使得合速度的方向與河岸垂直，此時小船運動到河對岸的位移最小，即為河寬S.

(2)當v船

圖2 v船

2 定量分析

v船,v水及v合3個矢量恰好構成了一個三角形，假設v船與v水的夾角為θ,如圖3所示，根據(jù)余弦定理可得

(1)

把小船的速度v船分解為沿著河岸方向的v船‖和垂直于河岸方向的v船⊥兩個分速度，則有

v船⊥=v船sinθ

(2)

圖3 v船與v水的夾角為θ

因為小船沿著河岸的分速度和水速均與河岸平行，故小船運動到河對岸的有效速度為v船⊥，則小船渡河過程中的有效時間為

(3)

小船渡河運動的位移為

L=v合t

(4)

由式(1)～(4)得

(5)

(6)

由小船渡河問題進行定性分析時知，只有調(diào)整船頭的方向滿足一定條件才能使得小船運動的位移最小，所以需要將L對θ進行求導，經(jīng)計算和化簡得

(7)

令式(7)=0，得

(8)

因為|cosθ|≤1，所以有

(9)

將式(9)代入式(6)得

本文通過定性分析和定量分析兩種方法對小船渡河的最小位移問題進行了深入剖析.通過定性分析，對運動過程中的整個物理機制和原理有了更深層次的認識和理解；利用數(shù)學求導的思想進行定量分析，使解題思路更加清晰明了，在一定程度上提高了跨學科素養(yǎng)和綜合解決問題的能力.

高中物理知識與生活密切相關，因此生活中的物理現(xiàn)場也常被搬到物理課堂中.但往往會出現(xiàn)很多物理問題需要以數(shù)學知識為抓手，這就使得我們很難進行定量分析.所以，高中學生可以嘗試或者思考如何將數(shù)學知識或方法融合到物理思維當中.這不僅可以使得相關物理問題迎刃而解，也能實現(xiàn)從點到線再到面的全方位提高學生的綜合素質(zhì).