張金環(huán)
(江蘇省東海高級(jí)中學(xué),江蘇 東海)
兩角差的余弦公式的教學(xué)在三角恒等變換中是開頭一節(jié),本節(jié)課的教學(xué),對(duì)于后面的兩角和的余弦以及兩角和與差的正弦公式都有很強(qiáng)的引領(lǐng)作用,開啟了利用向量方法研究角度問(wèn)題的先例,在三角恒等變換一章中占有很重要的地位;同時(shí),由于本節(jié)課特殊的教學(xué)視角,在省、市舉行的基本功比賽中,這節(jié)課經(jīng)常作為比賽課題,本人就這節(jié)課面對(duì)全組數(shù)學(xué)教師上了一節(jié)公開課,覺(jué)得還有很多要探究的地方,于是,我又查閱了中數(shù)參考文獻(xiàn)[1][2][3],加上自己教學(xué)中的一些感悟,談幾點(diǎn)對(duì)本節(jié)課的看法.
兩角差的余弦公式是一節(jié)概念公式探究課,探究的重點(diǎn)是公式的推導(dǎo).課本上給出了推導(dǎo)兩角差的余弦公式的兩種方法:一是用三角形全等和距離公式來(lái)構(gòu)造三角恒等關(guān)系式.如圖
另一種方法是利用向量的數(shù)量積來(lái)推導(dǎo),步驟如下:
在直角坐標(biāo)系中,以x軸為始邊作α,β角,其終邊分別為射線OP1,OP2,其中P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ)分別為其終邊與單位圓的交點(diǎn),則∠P1OP2=α-β.
應(yīng)該說(shuō),無(wú)論是距離公式法還是向量法學(xué)生都很難想到,有的學(xué)生就在課堂上提出疑問(wèn):怎么想到用距離相等來(lái)證明的?我怎么看不出有的學(xué)生雖然沒(méi)有直接提出問(wèn)題,從他們困惑的眼神可以看出學(xué)生的茫然,而且這種方法里涉及的α,β,α-β角的范圍還是在[0,π]內(nèi),教材上也沒(méi)有對(duì)這個(gè)問(wèn)題作詳細(xì)的說(shuō)明,而這與高中階段將角度推廣到任意角的思想是不符合的,因此以上思想可以作為備用方法,在公式推導(dǎo)完后由教師指導(dǎo)學(xué)生完成以上證明.而利用向量法來(lái)證明兩角差的余弦公式,也是很突兀的,就像是魔術(shù)師的帽子里突然跳出一只兔子.因此,教學(xué)中的情景引入很重要,啟發(fā)學(xué)生的思維,讓他們一步步地意識(shí)到可以利用向量數(shù)量積來(lái)研究向量的夾角問(wèn)題.好在學(xué)生剛剛學(xué)完向量,對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)還比較熟悉,知識(shí)儲(chǔ)備很完善,具體可以從以下幾個(gè)方面去拓展教學(xué).
1.如何讓學(xué)生想到利用向量法推導(dǎo)公式
教學(xué)時(shí),遵循從特殊到一般的原則,先證明α-β∈[0,π]時(shí)的情形,可以先提出幾個(gè)問(wèn)題作為鋪墊:
(1)如何在坐標(biāo)系中放置α,β角?
(2)已知 α,β 的三角函數(shù)值求 cos(α-β)時(shí),α-β 可以看成什么角?
(3)前面學(xué)習(xí)的哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)涉及夾角問(wèn)題?
文[1][2][3]對(duì)這個(gè)問(wèn)題都進(jìn)行了探討,其中文[1]認(rèn)為不必過(guò)多討論,[2][3]持贊同意見,在這里不一一贅述.需不需要進(jìn)行探究,可以放到課堂上檢驗(yàn).當(dāng)我講解了α-β∈[0,π]的情形得到兩角差的余弦公式后,有學(xué)生提出疑問(wèn):老師,當(dāng)α-β∈[π,2π]時(shí)該怎么辦?我說(shuō)你覺(jué)得呢?他思考了一下說(shuō)可以考慮利用三角函數(shù)的周期性減去一個(gè)周期2π.馬上又有學(xué)生提出來(lái):減一個(gè)周期 2π,α-β∈[-π,0],還不在的范圍內(nèi),怎么辦?看來(lái),這個(gè)問(wèn)題不解決,學(xué)生在這節(jié)課上所得到的只能是對(duì)公式的死記硬背,更不要提對(duì)公式的活學(xué)活用了.
3.當(dāng) α-β?[0,π]時(shí)公式的證明
文[1]中對(duì)α-β∈[0,π]的情形已作了證明,在這里就不贅述了.
下面討論 α-β∈[π,2π],則 α-β-π∈[0,π],此時(shí) cos(α-βπ)=-cos(α-β)
另一方面,cos(α-β-π)中的 α-β-π∈[0,π]可以利用兩角和與差的余弦公式展開:cos(α-β-π)=cos(α-π)cosβ+sin(α-π)sinβ=-cosαcosβ-sinαsinβ
4.有沒(méi)有其他方法證明?
利用余弦定理、兩點(diǎn)間距離證明.
以上是兩角差的余弦公式一節(jié)需要探究的幾個(gè)點(diǎn),本節(jié)課的關(guān)鍵是如何通過(guò)已學(xué)的知識(shí),如三角函數(shù)的定義,平面向量的數(shù)量積,余弦定理等,通過(guò)解析法,把幾個(gè)條件通過(guò)恰當(dāng)?shù)耐茖?dǎo),得到余弦公式的過(guò)程.對(duì)于文中提到的1、2、3、4幾個(gè)問(wèn)題,可以作為本節(jié)的拓展內(nèi)容,對(duì)學(xué)生來(lái)講既是一種知識(shí)的升華,又提供給學(xué)生寬廣的探索空間.可以說(shuō),只有順利地解決了以上幾個(gè)問(wèn)題,才能讓學(xué)生真正有所悟,從而收到好的教學(xué)效果.美國(guó)心理學(xué)家布魯納說(shuō)“探索是數(shù)學(xué)的生命線”.一堂概念公式探究課,教師在充分備課的基礎(chǔ)上,以學(xué)生自主探究活動(dòng)為主線,教師精講點(diǎn)撥為輔線,真正讓學(xué)生體會(huì)到如何探究,以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),并在探究的過(guò)程中,獲得自己獨(dú)有的情感體驗(yàn).這樣的課堂,才是真實(shí)的,才具有生命力,讓我們共同為這樣的數(shù)學(xué)課堂而努力吧!