整體代入求值五例

陸敬雨

（江蘇省宿遷市宿豫區(qū)陸集中學(xué)，江蘇 宿遷）

整體思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想。整體代入可以解決一些復(fù)雜的代入求值問題。整體代入求值大致可分為，直接整體代入、取相反數(shù)之后整體代入、變形后整體代入、多次整體代入和冪的運算有關(guān)的整體帶入等幾種常見情況。

一、直接整體代入

這種情況是指一些比較簡單的代入求值問題，對已知條件不需要處理便可以直接代入計算。

例如：已知x-y=7，求代數(shù)式x-y-3的值。

解析：此題只要把x-y當(dāng)做整體即可。即：x-y-3=7-3=4

二、取相反數(shù)后整體代入

這種題型是表面上看起來已知條件和要求值的代數(shù)式?jīng)]有明顯關(guān)系，其實是已知條件和代數(shù)式的部分項是互為相反數(shù)關(guān)系。

例如：已知x-y=7，求代數(shù)式3-x+y的值。

解析：從題目上看出x-y與-x+y互為相反數(shù)。

因為x－y=7

所以－x+y=－7

所以原式=3－7=－4

三、變形后整體代入

這種題型雖然比上面兩種情況稍復(fù)雜一些，但是利用等式性質(zhì)對已知條件進(jìn)行一些簡單變形后就可以整體代入順利求出原代數(shù)式的值。

例1.已知4x2-2y+5=7，求2x2-y+1的值。

解析：由4x2-2y+5=7兩邊同時減5可得：4x2-2y=2

兩邊同時除以2得：2x2-y=1

把2x2-y=1整體代入得：2x2-y+1=1+1=2

兩邊同時乘以xy得：y-x=3xy

兩邊同時乘-1得：x-y=-3xy

把x-y=-3xy作為整體代入得：

四、變形后多次整體代入

這種題型表面上看，已知條件和所要求值的代數(shù)式?jīng)]有明顯的關(guān)系，只要我們仔細(xì)觀察，對已知條件和所要求值的代數(shù)式適當(dāng)變形，就可以發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。

例1.已知x2+x-1=0，求x3+2x2+2013的值。

解析：因為x2+x-1=0

所以x3+x2-x=0

所以x3+x2=x

所以x3+2x2+2013=x3+x2+x2+2013

把x3+x2=x整體代入得：

原式=x+x2+2013

又因為x2+x-1=0

所以x2+x=1

例 2.已知a-b=2，b-c=1，求a（a-b）-2c（b-c）的值。

解析：因為a-b=2，b-c=1

所以a-c=3

所以a（a-b）-2c（b-c）=2a-2c=2（a-c）=2×3=6

五、與冪的運算有關(guān)的整體帶入

這種類型的題目是通過同底數(shù)冪相乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪相除等相關(guān)知識的靈活運用對代數(shù)式進(jìn)行變形后再進(jìn)行整體帶入。

例 1.若am=8，an=16，則am+n=______

解析：這是一個同底數(shù)冪相乘的逆運用am+n=am·an，然后把a(bǔ)m=8，an=16整體代入即可。

例 2.若xn=4，yn=9 則（xy）n=_______

解析：此題是運用積的乘方可以變形為（xy）n=xn·yn，然后把xn=4，yn=9整體代入即可求出結(jié)果。

例 3.已知x2y=3，求 2xy（x5y2-3x3y-4x）的值。

分析：此種類型的題目是在單項式乘以多項式之后，再運用積的乘方和冪的乘方逆運用把各個項的底數(shù)都化為相同，再進(jìn)行整體帶入。

解：2xy（x5y2-3x3y-4x）=2x6y3-6x4y2-8x2y=2（x2y）3-6（x2y）2-8x2y

當(dāng)x2y=3時，

例 4.若am=4，an=9 則a3m-2n=_______

解析：此題可以通過同底數(shù)冪相除和冪的乘方的逆運用對a3m-2n代數(shù)式進(jìn)行變形為：a3m-2n=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2，這時候把a(bǔ)m=4，an=9代入即可。

練習(xí)：已知ab=3，求（2a3b2-3a2b+4a）·（-2b）的值。

總而言之，利用整體帶入求代數(shù)式的值就是把已知條件和代數(shù)式中的部分項看作一個有機(jī)的整體再進(jìn)行整體帶入，從而求出代數(shù)式的值。對于已知條件和代數(shù)式表面上沒有直接關(guān)系的，可以利用等式性質(zhì)對已知條件進(jìn)行變形或者對代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，使其能夠整體帶入。

練習(xí)：

1.已知：2x-2y=14，求 3+x-y的值。

解：因為2x-2y=14

所以x-y=7

所以3+x-y=3+7=10

2.已知 5m+5n-1=4，求（m+n）2+3m+3n的值。

解：因為5m+5n-1=4

所以5m+5n=5

所以m+n=1

3.已知 3a2-a-2=0，求 5+2a-6a2的值。

解：因為3a2-a-2=0

所以3a2-a=2

所以a-3a2=-2

所以2a-6a2=-4

所以 5+2a-6a2=5+（-4）=1

4.已知x-y=3，求x2-y2+2x-8y-4的值。

解：原式=（x-y）（x+y）+2x-8y-4

把x-y=3代入得：

再把x-y=3代入得：

原式=5×3-4=11