多星系統(tǒng)的本質(zhì)之美
——質(zhì)心在行星運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

郭曉春

（華中科技大學(xué)附中，湖北 武漢）

今年高考中的兩星問(wèn)題成為物理選擇題的壓軸題。熟悉此類(lèi)問(wèn)題的學(xué)生輕松得分，贏得了大量的寶貴時(shí)間，而部分學(xué)生卻茫然無(wú)措，甚至痛失分?jǐn)?shù)。為了能夠更好地幫助學(xué)生應(yīng)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，我總結(jié)歸納了雙星問(wèn)題的解題技巧并將其提升到多星角度，希望能對(duì)大家有所裨益。

首先我們來(lái)研究雙星問(wèn)題的一般“套路”和可以幫助我們解決大多數(shù)問(wèn)題的二級(jí)結(jié)論。設(shè)雙星質(zhì)量為m1、m2，各自做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為 ω1、ω2，半徑為r1、r2，雙星之間的距離為L(zhǎng)，所受向心力為F1、F2。

雙星問(wèn)題的最大特點(diǎn)為：（1）互相繞著運(yùn)動(dòng)的角速度相等。（2）受萬(wàn)有引力（向心力）相等。

再來(lái)看今年全國(guó)一卷的高考題20題。已知ω，L則根據(jù)上面所得關(guān)系，由二級(jí)結(jié)論則推出G=ω2L3可知質(zhì)量之和；v1+v2=ω（r1+r2）=ωL故可知速率之和。故選B、C。部分考生此題丟分的關(guān)鍵在于誤選D選項(xiàng)。將其等價(jià)為各自角速度而忽略“自轉(zhuǎn)”關(guān)鍵詞。一般在雙星問(wèn)題中，我們難以得到與星體自轉(zhuǎn)相關(guān)的結(jié)論。只要稍加小心，這樣的丟分是完全可以避免的。

而要想徹底破解雙星問(wèn)題的奧秘并解決多星問(wèn)題，我們所需要的不僅是熟悉二級(jí)結(jié)論解題套路，更要抓住問(wèn)題的核心：質(zhì)心。

我們從上面的結(jié)論中不難發(fā)現(xiàn)，在雙星問(wèn)題中，有一個(gè)關(guān)鍵位置——即兩顆行星成圓周運(yùn)動(dòng)的共同圓心，也恰好是這個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心。

下面我們利用三星系統(tǒng)來(lái)檢驗(yàn)和進(jìn)一步體會(huì)質(zhì)心在解決此類(lèi)問(wèn)題中的作用。

以正三角形三星系統(tǒng)為例，邊長(zhǎng)為a，如圖第一步，我們找到這個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心。在CD上取A點(diǎn)，使，在CB上取E點(diǎn)效仿A點(diǎn)，并取兩條線(xiàn)的交點(diǎn)即為質(zhì)心。

第二步我們找到這個(gè)三星系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)，即三顆星系統(tǒng)之穩(wěn)定圓周運(yùn)動(dòng)的位置。以m1為例，由力的平行四邊形法則∴ 合力的方向?yàn)?。由此可?jiàn)，在此三星系統(tǒng)中，“不動(dòng)點(diǎn)”與“質(zhì)心”依然重合。

那么，得到了這個(gè)有趣的結(jié)論，可以如何幫助我們解決問(wèn)題呢？

1.推而廣之，質(zhì)心的概念在高中學(xué)習(xí)中似乎少有涉足，但實(shí)際上在行星運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、動(dòng)量問(wèn)題中的人艇模型和圓周問(wèn)題中的兩木塊牽引旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中都有體現(xiàn)，可實(shí)現(xiàn)快速解題。因?yàn)椤百|(zhì)心不動(dòng)”是解決大部分問(wèn)題的終南捷徑。

2.在多星問(wèn)題上，它可以幫助我們判斷三星乃至多星系統(tǒng)能否穩(wěn)定存在。一個(gè)多星系統(tǒng)要想穩(wěn)定存在，必須具備兩個(gè)條件：（1）每顆星受到的合力必須指向質(zhì)心；（2）每顆星必須以相同的角速度繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)。下面舉反例來(lái)方便學(xué)生更好地理解。

探究等腰直角三角形三星系統(tǒng)是否穩(wěn)定存在。取特殊情況，三星質(zhì)量均相等，邊仍為a。由幾何知識(shí)易知，A點(diǎn)為系統(tǒng)的質(zhì)心。然而對(duì)B點(diǎn)行星，合力方向不指向質(zhì)心，故該三星系統(tǒng)無(wú)法穩(wěn)定存在。

通過(guò)上面的學(xué)習(xí)，相信大家已經(jīng)對(duì)“質(zhì)心”有了更深一層的了解。其實(shí)，不只是通常意義上的多星問(wèn)題，行星衛(wèi)星繞地球或太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題其實(shí)也是雙星問(wèn)題，同樣有類(lèi)似的結(jié)論和規(guī)律。只是在高中的學(xué)習(xí)中將其簡(jiǎn)化，由于兩星質(zhì)量相差巨大，近似地認(rèn)為質(zhì)量較大的行星不動(dòng)，這也是由于系統(tǒng)質(zhì)心較為靠近質(zhì)量較大的行星的質(zhì)心。

對(duì)“質(zhì)心”的研究，功利地說(shuō)，是幫助學(xué)生深化對(duì)二級(jí)結(jié)論的理解和提高多星問(wèn)題的解決速度，但更深層次上，是對(duì)物理學(xué)問(wèn)題中隱藏的客觀(guān)規(guī)律的探索與挖掘。根據(jù)文中的提示，希望學(xué)生可以獲得一種新的眼光去審視物理題目，感受物理學(xué)的趣味并征服一切與之相關(guān)的題目。