基于最優(yōu)化函數(shù)的多光譜高溫計(jì)真溫反演算法

梁 美,梁 磊

(1. 煙臺(tái)大學(xué)機(jī)電汽車工程學(xué)院, 山東 煙臺(tái) 264005; 2. 涼山礦業(yè)股份有限公司,四川 會(huì)理 615141)

多光譜高溫計(jì)是用于高溫或甚高溫目標(biāo)真溫測(cè)量的一種基于普朗克定律[1]的高速非接觸式光學(xué)技術(shù)．近年來(lái)在軍事裝備領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用,如火箭噴管溫度的測(cè)量等[2-3]．全息干涉等其他非接觸式測(cè)溫法也已經(jīng)流行[4-5]．但是,在一些假設(shè)條件的影響下很難測(cè)量真實(shí)溫度(真溫),如火焰作為理想氣體,近似為空氣的火焰氣體普適常數(shù),只考慮主成分的G-D常數(shù)的計(jì)算等．

多光譜高溫計(jì)通過(guò)處理多個(gè)光譜通道的亮溫信息同時(shí)獲得真溫和光譜發(fā)射率．?dāng)?shù)據(jù)處理的難點(diǎn)在于:基于N個(gè)光譜通道的數(shù)據(jù)可建立N個(gè)方程,但這N個(gè)方程有N+1個(gè)未知數(shù)(N個(gè)未知發(fā)射率ε(λi,T)和1個(gè)未知真溫T)[6-8]．多光譜高溫計(jì)的數(shù)據(jù)處理算法目前局限于固定發(fā)射率假設(shè)模型,只有當(dāng)假定發(fā)射率模型與實(shí)際模型一致時(shí),才能獲得好的結(jié)果[9-10]．但是,由于難以預(yù)測(cè)發(fā)射率與波長(zhǎng)之間的正確關(guān)系,該方法不能用于各種目標(biāo)的真溫反演,其靈活性和準(zhǔn)確性也較差,并且應(yīng)用范圍也受到很大限制[11]．2005年,孫曉剛等提出了二次測(cè)量法,其假設(shè)模型對(duì)發(fā)射率和波長(zhǎng)之間的關(guān)系沒(méi)有限制,但它假定了2個(gè)連續(xù)時(shí)刻下的發(fā)射率與溫度具有近似線性的關(guān)系[12]．該方法反演時(shí)間太長(zhǎng),不能應(yīng)用于實(shí)時(shí)測(cè)量,還需要預(yù)先估計(jì)初始溫度,且估計(jì)值與真溫之間的誤差要在±200 K以內(nèi)．此外,發(fā)射率與溫度的線性關(guān)系還有待證明．2015年,邢鍵考慮了發(fā)射率范圍和迭代截止條件,提出了改進(jìn)的二次測(cè)量法,初始溫度可以是任何正數(shù),但計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)[13];梁美等提出了基于發(fā)射率模型約束條件的二次測(cè)量法,實(shí)現(xiàn)了真溫的快速反演[14];2016年,邢鍵通過(guò)探索發(fā)射率偏差與真溫的關(guān)系,提出了發(fā)射率范圍約束算法,得到了每次迭代時(shí)發(fā)射率的有效搜索范圍[15];2017年,梁美等發(fā)現(xiàn)了發(fā)射率樣本選擇的規(guī)律,實(shí)現(xiàn)了樣本的有效篩選,大大縮短了計(jì)算時(shí)間[16]．但是,這些算法仍需事先假定發(fā)射率與溫度的關(guān)系．

為了實(shí)現(xiàn)無(wú)需發(fā)射率假設(shè)的真溫反演,本文將多光譜高溫計(jì)的數(shù)據(jù)處理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問(wèn)題,采用fmincon函數(shù)求解．本文提出的真溫優(yōu)化反演算法可以在不考慮未知發(fā)射率的情況下實(shí)現(xiàn)高溫計(jì)的真溫和發(fā)射率的反演．該方法進(jìn)一步完善了多光譜輻射測(cè)溫技術(shù)的理論．

1 算法原理

1.1 參考溫度模型

若一個(gè)多光譜高溫計(jì)有N個(gè)通道,則第i個(gè)通道的輸出信號(hào)Vi為

(1)

式中,Aλi為取決于波長(zhǎng)的校準(zhǔn)因子,與探測(cè)器的一些參數(shù)及第一輻射常數(shù)有關(guān)．ε(λi,T)是真溫為T(mén)時(shí)的目標(biāo)發(fā)射率;c2為第二輻射常數(shù)．

由維恩公式,式(1)可簡(jiǎn)化為

(2)

(3)

由式(2)和式(3)得

(4)

1.2 多光譜高溫計(jì)與約束優(yōu)化問(wèn)題的結(jié)合

根據(jù)式(4),如果ε(λi,T)是已知的,每個(gè)光譜通道的理想反演溫度應(yīng)該相同并且等于真溫．因此,每個(gè)通道的計(jì)算溫度Ti的理論偏差應(yīng)趨于零,其表達(dá)式為

(5)

(6)

由式(4)得

(7)

(8)

(9)

由式(6)、式(8)和式(9)得

(10)

由于發(fā)射率的范圍為[0,1],即0≤ε(λi,T)≤1,約束條件為xi<0,則多光譜高溫計(jì)的約束優(yōu)化問(wèn)題可定義為

(11)

這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的約束優(yōu)化問(wèn)題,fmincon函數(shù)可以求解式(11)．

2 fmincon數(shù)據(jù)處理算法

2.1 參考溫度模型

Matlab中fmincon函數(shù)可用于求解如下約束優(yōu)化問(wèn)題:

(12)

式中:f(x)是目標(biāo)函數(shù);A·x≤b和Aeq·x=beq是線性約束條件:其中,A和Aeq分別為線性不等式約束和等式約束的系數(shù)矩陣,b和beq是約束向量;ub和lb分別是變量的上下邊界．該函數(shù)采用了4種不同的優(yōu)化算法:內(nèi)點(diǎn)算法、序列二次規(guī)劃算法、有效集算法和信賴域反射算法．該函數(shù)的基本思想是利用目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)信息,從給的初始點(diǎn)開(kāi)始,在滿足約束的條件下,沿著目標(biāo)函數(shù)下降的方向迭代,最后收斂到局部最優(yōu)解．

Matlab中fmincon函數(shù)的常用格式為

[x,fval,exitflag]=

fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub),

式中,fun是目標(biāo)函數(shù),x0是初始可行點(diǎn),fval是目標(biāo)函數(shù)的最小值(此時(shí)的解為x,exitflag>0表明計(jì)算結(jié)果有效)．

式(11)滿足式(12)的類型．因此,式(11)無(wú)需預(yù)先假定發(fā)射率模型,可以直接使用fmincon函數(shù)計(jì)算．

2.2 仿真驗(yàn)證

為了測(cè)試基于fmincon函數(shù)的算法的有效性,對(duì)6個(gè)目標(biāo)(A—F)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)．6個(gè)目標(biāo)分別代表了6種典型的發(fā)射率變化趨勢(shì)(如圖1,■點(diǎn)表示發(fā)射率值,■線表示發(fā)射率變化趨勢(shì))．真溫為1 800 K,黑體參考溫度為1 600 K,8個(gè)有效波長(zhǎng)分別為0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1和1.1 μm．

fmincon函數(shù)的約束條件為A·x≤b,自變量的邊界為lb≤x≤ub．但是,在式(11)中推導(dǎo)的約束條件為xi<0,沒(méi)有最小的限制范圍,這會(huì)減慢計(jì)算速度,影響發(fā)射率精度．為了獲得準(zhǔn)確的發(fā)射率,可以適當(dāng)?shù)販p小發(fā)射率的范圍．經(jīng)過(guò)多次仿真實(shí)驗(yàn),發(fā)射率的理想范圍為:0.4≤εi≤0.9,即-0.9≤xi≤-0.1,則lb=-0.9、ub=-0.1．A=[]、b=[]、Aeq=[]及beq=[]．

圖1 發(fā)射率隨波長(zhǎng)的變化趨勢(shì)Fig.1 Variation of emissivity with wavelength

表1 溫度仿真結(jié)果Tab.1 Temperature simulation results

對(duì)于fmincon函數(shù),初始點(diǎn)可以是任意點(diǎn),但它需要滿足所有約束條件,并且遠(yuǎn)離邊界．由于0.4≤εi≤0.9,所以選擇εi=0.5為初始點(diǎn),即x0=-0.69．溫度反演結(jié)果如表1所示,發(fā)射率的反演結(jié)果如圖1中的●點(diǎn)所示．

為了驗(yàn)證算法的抗噪聲能力,將式(2)中的Vi加入5%的隨機(jī)噪聲后對(duì)其進(jìn)行仿真．溫度反演結(jié)果如表2所示．

表1和表2的仿真結(jié)果表明,當(dāng)真溫為1 800 K時(shí)在無(wú)噪聲的情況下,真溫計(jì)算值的相對(duì)誤差小于1.1%,計(jì)算時(shí)間為1.08～1.17 s．加上5%的隨機(jī)噪聲后,真溫計(jì)算值得相對(duì)誤差小于1.2%,計(jì)算時(shí)間為1.12～1.16 s．圖1中的發(fā)射率反演結(jié)果隨波長(zhǎng)的變化趨勢(shì)與真實(shí)值有很好的一致性,表明該方法可以反演發(fā)射率模型．綜上所述,該算法可以滿足發(fā)射率和溫度反演的精度和速度要求,抗噪能力也較好．(仿真環(huán)境:Matlab R2013a;intel(R)Core(TM) 2.60 GHz處理器、4G RAM)．

表2 溫度仿真結(jié)果(加入5%的隨機(jī)噪聲后)Tab.2 Temperature simulation results (5% random noise)

2.3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該算法在實(shí)際連續(xù)動(dòng)態(tài)測(cè)量中的應(yīng)用能力,采用參考文獻(xiàn)[12]孫曉剛等提供的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴管溫度數(shù)據(jù)(表3和表4)作為仿真數(shù)據(jù)．算法參數(shù)設(shè)置x0=-0.69,發(fā)射率范圍0.4≤εi≤0.9,即-1.2≤xi≤0.36．溫度仿真結(jié)果如表5．

仿真結(jié)果表明,該算法在實(shí)際連續(xù)動(dòng)態(tài)測(cè)量中有很好的應(yīng)用．在相同的仿真環(huán)境下,溫度反演的相對(duì)誤差小于1.9%(火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)溫度為2 490 K),平均反演時(shí)間約為0.9 s．因此,實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明,該算法不需要預(yù)先假設(shè)光譜發(fā)射率模型可直接反演真溫．

表3 高溫計(jì)的有效波長(zhǎng)和參考溫度下的輸出值(T=2 252 K)Tab.3 Effective wavelength of the pyrometer and output at the reference temperature

表4 固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴管的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Tab.4 Practical data performed on a solid propellant rocket engine

表4(續(xù))

表5 溫度仿真結(jié)果(實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù))Tab.5 Temperature simulation results (experimental data)

3 結(jié) 論

基于最優(yōu)化函數(shù)fmincon提出了一種用于多光譜高溫計(jì)的真溫反演算法,無(wú)需假設(shè)光譜發(fā)射率模型．仿真結(jié)果表明,該算法具有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率,與不同的光譜發(fā)射率具有較好的一致性．利用動(dòng)態(tài)火箭噴管溫度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),驗(yàn)證了該算法的實(shí)用性．本文提出的真溫反演方法改進(jìn)了多光譜輻射測(cè)溫理論,具有很好的應(yīng)用前景．