結(jié)構(gòu)元線性生成的模糊值函數(shù)的可導(dǎo)性

舒天軍, 莫智文

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

基于擴(kuò)張?jiān)? 模糊值函數(shù)微分是對(duì)區(qū)間值函數(shù)微分的自然推廣.但擴(kuò)展原理中λ遍歷區(qū)間[0,1],因此模糊值函數(shù)的微分在實(shí)際應(yīng)用中的計(jì)算變得困難.為了便于模糊值函數(shù)微分計(jì)算,諸多學(xué)者對(duì)模糊值函數(shù)的可導(dǎo)性進(jìn)行了探究[1-16].郭嗣琮[17]提出用結(jié)構(gòu)元表示模糊數(shù),簡(jiǎn)化了模糊數(shù)的解析表達(dá)式.本文在文獻(xiàn)[18-19]介紹的結(jié)構(gòu)元線性生成的模糊數(shù)、模糊值函數(shù)的基礎(chǔ)上,根據(jù)文獻(xiàn)[20]給出的模糊距離定義一種新的結(jié)構(gòu)元線性生成的模糊值函數(shù)的極限,并用這種極限新定義結(jié)構(gòu)元線性生成的模糊值函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后結(jié)合這種導(dǎo)數(shù)的定義研究結(jié)構(gòu)元線性生成的模糊值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì).同時(shí)，應(yīng)用結(jié)構(gòu)元線性生成的模糊值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論結(jié)構(gòu)元線性生成的模糊值函數(shù)的凸性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[17]E是實(shí)數(shù)域R上的模糊集,隸屬函數(shù)記為E(x),x∈R.如果E(x)滿足下述性質(zhì)：

1)E(0)=1,E(1+0)=E(-1-0)=0;

2) 在區(qū)間[-1,0)和(0,1]上,E(x)分別是單調(diào)增右連續(xù)函數(shù)和單調(diào)降左連續(xù)函數(shù);

3) 在區(qū)間(-∞,-1)或(1,+∞)上,E(x)=0,則稱模糊集E為R上的模糊結(jié)構(gòu)元.

顯然,模糊結(jié)構(gòu)元E是R上的正則凸模糊集,是有界閉模糊集.

定義1.2[18]A是有限模糊數(shù),若存在1個(gè)模糊結(jié)構(gòu)元E和有限實(shí)數(shù)a∈R,r∈R+,使得=a+rE(其中r→0),則稱是由模糊結(jié)構(gòu)元E線性生成的模糊數(shù).由E線性生成的模糊數(shù)的全體記作

(E)={|=a+rE,?a∈R,r∈R+},

定義1.3[19]設(shè)X、Y是2個(gè)實(shí)數(shù)集,(Y)是Y上的模糊數(shù)的全體,是X到(Y)上的映射,即對(duì)于任意的x∈X,存在唯一的模糊數(shù)(Y)與之對(duì)應(yīng),記則稱為X上的模糊值函數(shù).如果E是N(Y)上1個(gè)正則模糊結(jié)構(gòu)元,則稱是X上的1個(gè)由E線性生成的模糊值函數(shù),其中h(x)、ω(x)在X上有界,且ω(x)>0.由E線性生成的有界模糊函數(shù)的全體記作

(Ef)=

對(duì)于任意給的實(shí)數(shù)ε>0,分別存在δ1與δ2.當(dāng)x0-x<δ1時(shí),有

當(dāng)x-x0<δ2時(shí),有

取δ={δ1,δ2},當(dāng)|x-x0|<δ時(shí),有

則有

所以對(duì)于任給的實(shí)數(shù)ε>0,存在正數(shù)δ,使得0<|x-x0|<δ時(shí),有

成立.于是當(dāng)x-x0<δ時(shí),有

當(dāng)x0-x<δ時(shí),有

所以由模糊值函數(shù)極限保號(hào)性可知,存在正數(shù)δ,對(duì)一切x1∈(a,a-δ)有

當(dāng)0<|x-x0|<δ2時(shí),有

令δ=min{δ1,δ2},則當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí),有

2) 類似于證明1).

則有

證明作輔助模糊值函數(shù)

即證明

同理可得

不等式兩邊取極限可得

x2=λx1+(1-λ)x3.

從而有

即

成立.

3) 對(duì)于I上任意2點(diǎn)x1、x2,有

其中ξ∈(x1,x2).移項(xiàng)后有

當(dāng)x2

3)→1) 對(duì)于I上任意的2點(diǎn)x1、x2,取x3=λx1+(1-λ)x2(其中0<λ<1),有x1-x3=(1-λ)·(x1-x2)與x2-x3=λ(x2-x1).由

可以推出

化簡(jiǎn)2不等式可得