溫度變化對(duì)固支FGM輸流管道橫向振動(dòng)的影響

郭 靜，王忠民

(西安理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，陜西西安710048)

管道是現(xiàn)代工業(yè)中最重要的一種載流裝置，常見(jiàn)的管道系統(tǒng)有城市供水的長(zhǎng)距離管線(xiàn)、大規(guī)模集中供暖系統(tǒng)、油田的長(zhǎng)距離輸油管線(xiàn)、核電站中的水循環(huán)系統(tǒng)等，這些管道系統(tǒng)對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)以及人民生活起著十分重要的作用。由于輸流管道內(nèi)的流體流動(dòng)方式以及兩端支撐條件的多樣性，會(huì)導(dǎo)致管道產(chǎn)生橫向復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。流體流速越大，引起管道的振動(dòng)越明顯，甚至當(dāng)流速超過(guò)某一臨界值時(shí)，管道會(huì)發(fā)生屈曲失穩(wěn)。同時(shí)，振動(dòng)也是造成設(shè)備損壞、結(jié)構(gòu)失穩(wěn)、壽命減少等的主要原因，所以，為了提高管道系統(tǒng)的穩(wěn)定性與安全性，輸流管道動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究得到越來(lái)越多學(xué)者的廣泛關(guān)注。

2004年，Sarkar和Paidoussis[1]分析了懸臂梁、兩端支撐的輸流直管的流固耦合的振動(dòng)機(jī)理。李寶輝[2]研究了管道固有頻率、臨界速度、臨界壓力與流體壓力、流速、管道固支長(zhǎng)度之間的關(guān)系。He[3]等利用線(xiàn)性和非線(xiàn)性熱彈性理論分析了熱載荷作用下簡(jiǎn)支輸流管道的振動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題。宋日新[4]基于復(fù)合材料的細(xì)觀力學(xué)方法，采用等應(yīng)變理論，對(duì)功能梯度圓筒進(jìn)行了受熱荷載下和受內(nèi)壓下的彈性理論和數(shù)值分析。Kadoli[5]和Haddadpour[6]研究了特定溫度邊界條件下的功能梯度圓柱殼熱屈曲和自由振動(dòng)特性，給出了不同結(jié)構(gòu)邊界條件下，溫度改變對(duì)殼體最小自振頻率的影響。葉曦[7]基于經(jīng)典殼體理論，推導(dǎo)了溫度場(chǎng)作用下功能梯度材料圓柱殼自由振動(dòng)方程，研究了沿厚度方向不同溫度分布對(duì)功能梯度殼體頻散特性的影響。Wu[8]等采用 Donnell殼理論，對(duì)熱彈性圓柱殼的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。周軍帥[9]將哈密頓體系引入到圓柱殼的熱屈曲和熱-機(jī)械載荷耦合的動(dòng)態(tài)屈曲中，研究圓柱殼在熱-機(jī)械載荷耦合作用下的動(dòng)態(tài)屈曲特性，分析討論了影響圓柱殼動(dòng)態(tài)屈曲的主要因素。Wang等[10]用辛方法分析了等溫條件下FGM輸流管道的穩(wěn)定性問(wèn)題。綜合上述文獻(xiàn)，在輸流管道橫向振動(dòng)問(wèn)題中，采用辛方法分析溫度影響下FGM輸流管道的動(dòng)力特性還比較少見(jiàn)。

本文基于Hamilton原理，引入無(wú)量綱量，推導(dǎo)了溫度變化影響下的兩端固支約束FGM輸流管道的運(yùn)動(dòng)微分方程。通過(guò)引入對(duì)偶變量建立對(duì)偶體系，在辛空間中描述正則方程和對(duì)應(yīng)的邊界條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為哈密頓體系下的熱本征值和本征解的問(wèn)題。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，討論了管道的一階、二階臨界流速以及在不超過(guò)臨界流速的前提下溫度軸力和流速對(duì)FGM輸流管道無(wú)量綱復(fù)頻率和撓度響應(yīng)的影響。

1 運(yùn)動(dòng)微分方程

兩端固支的FGM輸流管道及其坐標(biāo)系oxyz如圖1所示，軸線(xiàn)方向?yàn)閤軸，橫向方向?yàn)閦軸，與xz平面垂直的方向?yàn)閥軸。假定管道長(zhǎng)度為L(zhǎng)，平均半徑為R(中環(huán)線(xiàn)處的半徑)，厚度為e，撓度為w0x,t，x方向位移為ux，輸流管道內(nèi)部流體速度為v0，液體的單位長(zhǎng)度質(zhì)量為ρf。將輸流管道系統(tǒng)置于溫度變化為ΔT的均勻溫度場(chǎng)中。

圖1 兩端固支的FGM輸流管道Fig.1 FGM pipe conveying fluid with both ends clamped

FGM輸流管道材料由陶瓷和金屬兩種組分材料復(fù)合而成，材料成分由管道內(nèi)表面的純陶瓷(徑向坐標(biāo)n=-e/2)沿管道厚度方向按照冪率規(guī)律變化到管道外表面的純金屬(n=e/2)。材料屬性Q(泛指彈性模量E、熱膨脹系數(shù)α、熱傳導(dǎo)系數(shù)K以及管道質(zhì)量密度ρ)與徑向坐標(biāo)n滿(mǎn)足關(guān)系式[6]：

(1)

式中,下標(biāo)c、m、eff分別表示陶瓷、金屬材料以及中間的過(guò)渡材料；k∈[0,)為體積分?jǐn)?shù)指數(shù)，k=0時(shí)為純陶瓷材料，k→為純金屬材料。

材料的本構(gòu)方程為：

(2)

管道彎矩值和軸力值的表達(dá)式為：

(3)

(4)

式中，A為管道截面面積；

輸流管道的應(yīng)變能密度為：

(5)

其中，溫度軸力值為：

(6)

輸流管道的應(yīng)變能為：

(7)

輸流管道的動(dòng)能表達(dá)式為：

(8)

式中，

變質(zhì)量系統(tǒng)的Hamilton原理[11]為：

(9)

式中，t1和t2分別為任意時(shí)間段的始末時(shí)刻。

將式(7)、(8)代入式(9)，得到熱環(huán)境下的FGM輸流管道的運(yùn)動(dòng)微分方程：

(10)

引入無(wú)量綱量:

代入式(10)，得到無(wú)量綱量表示的運(yùn)動(dòng)微分方程：

(11)

2 辛方法求解

兩端固支FGM輸流管道的邊界條件為：

(12)

(13)

(14)

式中，r1=4.730,r2=7.853。

(15)

式(15)兩邊左乘Ψ并從0到1積分，得：

(16)

式中:

拉格朗日函數(shù)為：

(17)

引入對(duì)偶變量：

(18)

哈密頓密度函數(shù)為：

(19)

通過(guò)哈密頓正則變換，哈密頓正則方程為：

(20)

令Vτ=q1q2p1p2T，哈密頓正則方程為：

(21)

其中:

(22)

式中，

易驗(yàn)證H為哈密頓矩陣。

用分離變量法尋求式(21)的解，設(shè)

Vτ=ξτΦ

(23)

其中，Φ是4維向量，ξτ是τ的函數(shù)，與Φ任意分量無(wú)關(guān)。

將式(23)代入式(21)，可得

(24)

即

(25)

式中，ω為常量；i=1,2,3,4；φi為向量Φ的第i行的元素。由式(25)得：

ξτ=eωτ

(26)

HΦ=ωΦ

(27)

要使Φ向量有非零解，則式(27)的系數(shù)行列式H-ωI=0，則特征方程為：

ω4+4a2+λ12+λ22ω2+λ12λ22=0

(28)

辛本征值ω為：

ω1=

(29)

ω2=

(30)

ω3=

(31)

ω4=

(32)

求本征值對(duì)應(yīng)的本征向量，設(shè)φ4=1，則本征值ωjj=1,2,3,4相對(duì)應(yīng)的本征向量Φωj的各元素為：

(33)

不同本征值對(duì)應(yīng)的全狀態(tài)向量為：

(34)

3 計(jì)算結(jié)果分析

通過(guò)算例來(lái)分析功能梯度材料的體積分?jǐn)?shù)和無(wú)量綱溫度軸力對(duì)輸流管道復(fù)頻率、臨界流速和撓度響應(yīng)的影響。算例中的管道以不銹鋼(SUS304)-氮化硅為材料，內(nèi)表面為陶瓷，外表面為金屬。并采用以下幾何和物理參數(shù)：泊松比ν=0.3，內(nèi)外材料密度比n1=0.29，管道壁厚e與平均半徑R之比n2=0.16，彈性模量比n3=1.733，熱膨脹系數(shù)比n4=0.174。

3.1 等溫下均質(zhì)材料輸流管道的無(wú)量綱復(fù)頻率

圖2為材料體積分?jǐn)?shù)k=0，質(zhì)量比β=0.245，管道無(wú)量綱溫度軸力值NT=0時(shí)，兩端固支FGM輸流管道第一、二階無(wú)量綱復(fù)頻率ω的虛部、實(shí)部與無(wú)量綱流速的關(guān)系曲線(xiàn)。

圖2 固支管道無(wú)量綱復(fù)頻率與無(wú)量綱流速的變化曲線(xiàn)Fig.2 The dimensionless complex frequencies of the clamped pipe versus the dimensionless fluid velocity

從圖2(a)的縱坐標(biāo)可以看出，當(dāng)流速為零時(shí)，輸流管道的一階無(wú)量綱固有頻率為22.37，二階無(wú)量綱固有頻率為61.67，這與文獻(xiàn)[10]中所得結(jié)果非常接近。圖2(b)中當(dāng)無(wú)量綱流速為零時(shí)，ω為虛數(shù)，隨著流速的增加，無(wú)量綱復(fù)頻率虛部減少，實(shí)部保持為零，當(dāng)流速增加到6.39時(shí)，即第一階無(wú)量綱臨界速度Ucd1=6.39時(shí)，管道運(yùn)動(dòng)開(kāi)始處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)。隨著流速進(jìn)一步增大，第一階模態(tài)復(fù)頻率虛部一直為零，直到流速增加到9.09時(shí)，管道運(yùn)動(dòng)以第二階模態(tài)形態(tài)發(fā)散，此時(shí)第二階無(wú)量綱臨界速度Ucf2=9.09，流速超過(guò)第二階臨界速度后，第一階與第二階復(fù)頻率軌跡重合，管道耦合模態(tài)顫振產(chǎn)生。

上文中得到的一階、二階無(wú)量綱臨界流速6.39、9.09與文獻(xiàn)[12]中的一階、二階無(wú)量綱臨界流速6.28、8.99非常接近。以某輸水管道為例，管道長(zhǎng)度L=8 m，平均半徑R=0.05 m，單位長(zhǎng)度水的質(zhì)量ρf=6.647 6 kg，得到一階、二階有量綱臨界流速252.56 m/s、359.28 m/s，該值符合工程實(shí)際。

3.2 溫度影響下FGM輸流管道無(wú)量綱復(fù)頻率

圖3為k=5和β=0.245時(shí)，兩端固支FGM輸流管道在不同無(wú)量綱溫度軸力下，無(wú)量綱復(fù)頻率的虛部、實(shí)部與無(wú)量綱流速的關(guān)系曲線(xiàn)。

從圖3可看出以下幾點(diǎn)：

1) 不同無(wú)量綱溫度軸力下，在FGM輸流管道無(wú)量綱復(fù)頻率虛部中，隨著無(wú)量綱溫度軸力的增大，其第一階和第二階的無(wú)量綱臨界流速都相應(yīng)減??；

2) 在同一流速下，無(wú)量綱溫度軸力越高，對(duì)應(yīng)的復(fù)頻率虛部越?。?/p>

3) 相同溫度中，無(wú)量綱復(fù)頻率虛部與無(wú)量綱流速的關(guān)系仍服從均質(zhì)管道在無(wú)溫度影響的環(huán)境中的變化規(guī)律。隨后，兩階模態(tài)的復(fù)頻率軌跡于虛軸結(jié)合在一起，并沿著虛軸遠(yuǎn)離原點(diǎn)，且溫度越低遠(yuǎn)離越快。

圖4與圖5為k=5，β=0.245時(shí)，無(wú)量綱流速低于無(wú)量綱臨界流速，不同流速情況下，F(xiàn)GM輸流管道第一階、第二階無(wú)量綱復(fù)頻率與無(wú)量綱溫度軸力的關(guān)系曲線(xiàn)。不同溫度環(huán)境中的FGM輸流管道前兩階復(fù)頻率虛部隨著管道無(wú)量綱溫度軸力的增大而減??；同時(shí)，在第一次達(dá)到臨界流速之前，同一無(wú)量綱溫度軸力情況下，隨著流速的增加，F(xiàn)GM輸流管道前兩階復(fù)頻率虛部不斷減少。

圖3 不同無(wú)量綱溫度軸力下固支管道無(wú)量綱復(fù)頻率與無(wú)量綱流速的變化曲線(xiàn)Fig.3 The dimensionless complex frequencies of the clamped pipe versus the dimensionless fluid velocity under different dimensionless thermal axial forces

圖4 固支管道第一階復(fù)頻率與無(wú)量綱溫度軸力的變化曲線(xiàn)Fig.4 The first dimensionless complex frequencies of the clamped pipe versus the dimensionless thermal axial force

圖5 固支管道第二階復(fù)頻率與無(wú)量綱溫度軸力的變化曲線(xiàn)Fig.5 The second dimensionless complex frequencies of the clamped pipe versus the dimensionless thermal axial force

3.3 不同無(wú)量綱溫度軸力下FGM輸流管道的撓度響應(yīng)

圖6 不同無(wú)量綱溫度軸力下在=0.5處固支管道無(wú)量綱撓度響應(yīng)隨時(shí)間的變化情況Fig.6 The dimensionless deflection response of the clamped supported pipe versus the dimensionless time under different dimensionless thermal axial forces at=0.5

圖7 不同無(wú)量綱溫度軸力下在=0.75處固支管道無(wú)量綱撓度響應(yīng)隨時(shí)間的變化情況Fig.7 The dimensionless deflection response of the clamped supported pipe versus the dimensionless time under different dimensionless thermal axial forces at =0.75

4 結(jié) 論

在溫度變化的影響下，固支FGM輸流管道橫向振動(dòng)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：

1) 在不超過(guò)第一臨界速度的情況下，體積分?jǐn)?shù)相同且不考慮溫度的影響或同一溫度時(shí)，管道固有頻率隨著流速的增加而減小，超過(guò)第一臨界速度后，輸流管道運(yùn)動(dòng)開(kāi)始發(fā)散，超過(guò)第二臨界速度后管道耦合模態(tài)顫振發(fā)生；

2) 在相同體積分?jǐn)?shù)和同一流速情況下，兩端固支邊界條件下輸流管道的固有頻率隨著無(wú)量綱溫度軸力的增加而減小；

3) 撓度響應(yīng)幅值隨著無(wú)量綱溫度軸力的增加而緩慢增加，撓度響應(yīng)周期隨著無(wú)量綱溫度軸力的增加而增大。