一道考試題引發(fā)的思考

王麗

摘 要：本文針對(duì)湛江幼兒師范專(zhuān)科學(xué)校2018年期中考試的一道題目：驗(yàn)證兩直線相交，并求其所成夾角的角平分線方程，給出幾種不同的方法，并分析它們之間的聯(lián)系。由此針對(duì)解析幾何課程教學(xué)中存在的問(wèn)題提出相應(yīng)的解決方法。

關(guān)鍵詞：空間直線;相交;角平分線

【中圖分類(lèi)號(hào)】G【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B

【文章編號(hào)】1008-1216（2019）12B-0123-03

在湛江幼兒師范專(zhuān)科學(xué)校2018年期中考試中有一道題目：驗(yàn)證兩直線l1：，l2： 相交，并求兩直線l1，l2所成交角的角平分線方程。

這是解析幾何中的一個(gè)題目，通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)涉及到的內(nèi)容有兩個(gè)方面：（1）空間兩直線的位置關(guān)系;（2）相交直線所成角的角平分線。

分析：方法1是最基本的解法，從角平分線的性質(zhì)入手，得到角平分線的一般方程。

方法2從題目先得到角平分線上的一固定點(diǎn)，然后設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到所求直線的兩個(gè)方向向量。方法2的計(jì)算量相對(duì)較少，也容易使用，但它有一缺點(diǎn)就是，給定直線的方向向量的選擇，容易使人忘記一條直線可以有兩個(gè)方向向量，例如，直線l1的方向向量可以取={0，1，1}，當(dāng)然也可以取={0，-1，-1}，這兩個(gè)向量是互為反向量的。

方法3最簡(jiǎn)單，它與我們熟悉的圖形——菱形結(jié)合起來(lái)，用特殊的性質(zhì)解決問(wèn)題。由此我們就得到一類(lèi)題目的特殊解法：當(dāng)涉及兩直線的夾角問(wèn)題時(shí)，可以從選取適當(dāng)?shù)闹本€的方向向量入手，考慮由兩方向向量作鄰邊所組成的平行四邊形。例如，求兩直線所成夾角的角平分線，就可以選擇長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量分別為兩直線的方向向量，考慮由這兩個(gè)方向向量作為鄰邊所組成的菱形，此時(shí)就可以用三角形法則得到兩直線所成夾角的角平分線的方向向量。

在中學(xué)階段進(jìn)行學(xué)習(xí)的必要，所以很容易給學(xué)生造成認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)：不必過(guò)深地學(xué)習(xí)這門(mén)課程;還有，因?yàn)榻馕鰩缀蔚恼n時(shí)少，為完成教學(xué)任務(wù)，很多時(shí)候只是對(duì)照書(shū)本上的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行純粹地講解，忽略了與其他課程的聯(lián)系，這些都是我們?cè)诮馕鰩缀握n程教學(xué)中存在的問(wèn)題。要解決這些問(wèn)題，我們就必須從認(rèn)識(shí)上、從具體教學(xué)實(shí)踐中作一些改變：（1）教師通過(guò)查閱不同的教材、資料，適當(dāng)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，避免重復(fù)教學(xué)以及內(nèi)容割裂;（2）使用多媒體輔助教學(xué)，用“圖、文、聲、像”的形式向?qū)W生展示多一些數(shù)學(xué)模型，避免學(xué)生過(guò)多地憑空想象。例如，對(duì)于圓柱螺線、柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面等學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以根據(jù)各個(gè)曲面所具有的集合特征，利用幾何畫(huà)板或其他教學(xué)軟件描繪曲面圖像，以動(dòng)態(tài)的形式展現(xiàn)曲線和曲面的生成過(guò)程;（3）講課中多配備例題，盡可能通俗、具體地講解抽象的知識(shí);（4）針對(duì)本校學(xué)生，由于培養(yǎng)目標(biāo)是中小學(xué)教師，所以解析幾何的具體內(nèi)容是用不上的，此時(shí)我們學(xué)習(xí)解析幾何的目的不僅僅是基本內(nèi)容，更多的是關(guān)于數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí);（5）加強(qiáng)與數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)其他課程的聯(lián)系，例如，三個(gè)向量的共面問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為行列式的計(jì)算;一個(gè)向量對(duì)于三個(gè)不共面向量的分解式的求法就是線性方程組的克萊默法則等。

參考文獻(xiàn)：

呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]呂林根.解析幾何學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書(shū)[M].北京：高等教育出版社，2006.