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    N的最大值是多少?

    2019-01-17 03:47:14
    學生導報·東方少年 2019年28期
    關鍵詞:末位末尾乘積

    已知從1開始連續(xù)n個自然數(shù)相乘,1×2×3×…×n,乘積的尾部恰有25個連續(xù)的零,那么n的最大值是?

    【分析】首先5、10、15、20、25、…、105與其他偶數(shù)之積的個位至少有一個 0,105÷5=21個,105÷25=4個…5,21+4=25個,即連續(xù)自然數(shù)乘積1×2×3×…×105的尾部恰有25個連續(xù)的0,所以1×2×3×…×n中,n的最大值是105+4=109。

    【解答】解:凡末位是0的數(shù),都為乘積的尾部貢獻1個0,2×5=10,每10個連續(xù)數(shù)中,這樣就為乘積貢獻了2個0。

    從1到100,乘積就有了20個0,但還有25、50、75和100,都可再貢獻1個0,這樣就有了24個0。

    要再出現(xiàn)1個0,即湊成25個0,還必須出現(xiàn)1個5(因為2有的是),所以到105時乘積末尾恰有25個連續(xù)的0。

    但此題問的是n的最大值,也就是說,最大到幾不會出現(xiàn)第26個0,顯然,是到 109。

    故n的最大值是109。

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