數(shù)學(xué)游戲幻三角的啟發(fā)式思路分析

王姿婷 李建華

(1.海南鹽灣未來(lái)領(lǐng)導(dǎo)力學(xué)校 572400;2.北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

數(shù)學(xué)游戲在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用，取決于對(duì)數(shù)學(xué)游戲中的數(shù)學(xué)內(nèi)容及其方法的分析.幻三角的規(guī)則與經(jīng)典的數(shù)學(xué)游戲幻方相類似，只不過(guò)形狀上由正方形變成了三角形(如圖1)，幻三角要求將給定的數(shù)字填入所給方格使得各向的邊上數(shù)字之和一致.它其實(shí)是幻方的一種變式游戲，當(dāng)然，除了變成三角形還可以變成星形、正多邊形等其他具有一定規(guī)則性的圖形，而單純從幻三角這一種變形上看，又可以通過(guò)設(shè)定每邊數(shù)字個(gè)數(shù)來(lái)不斷獲得新的變式，我們用啟發(fā)式的思路對(duì)每邊含有三個(gè)數(shù)字的幻三角從初步認(rèn)識(shí)到性質(zhì)推理進(jìn)行一些數(shù)學(xué)討論，這些討論將對(duì)以幻三角為載體的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)提供重要參考.

圖1

啟發(fā)式思路之一：幻和的最值

在討論幻三角的構(gòu)造前，我們必須先給定可以用于填入這六個(gè)格的數(shù)字范圍，可以是1至6、1至7等等，問(wèn)題的開始，我們可以從最簡(jiǎn)單的情況入手，即從數(shù)字使用范圍為1至6這六個(gè)數(shù)字這種情況開始分析.

由幻三角的定義，我們?nèi)菀紫氲?，要想解決這個(gè)問(wèn)題，繞不開的一個(gè)重要問(wèn)題就是：每條邊的和是多少？我們不妨將這個(gè)數(shù)稱為“幻和”.

若大家接觸過(guò)三階幻方(九宮格)，會(huì)發(fā)現(xiàn)三階幻方中的幻和很容易求出，因?yàn)閷⑷?或者三列)一起看，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們剛好可以將三階幻方所需數(shù)字1～9包含且僅包含一次，更重要的是，它還天然地等分出三個(gè)區(qū)域，每一行三數(shù)之和即為幻和，于是三階幻方的幻和呼之欲出——(1+2+…+9)÷3=15.與三階幻方不同的是，在幻三角中我們沒辦法找到不重不漏地將六個(gè)數(shù)字囊括進(jìn)若干個(gè)幻和中，那么幻三角的幻和如何確定呢？

雖然目前我們還不清楚具體幻和為多少，但我們還是可以很有把握的說(shuō)，1不可能是幻和，2也不可能，或者說(shuō)，至少都需要從6開始往上去分析，當(dāng)然這個(gè)幻和也絕對(duì)超不過(guò)4+5+6，但6和15這個(gè)區(qū)間劃分的依舊太大，因此，在分析幻三角的幻和所有具體的可能值之前，很自然地，我們必須先要考慮幻和的最值，這可以為我們避免一些無(wú)用功.

注意到若按照幻三角的六個(gè)位置所處的連線數(shù)目進(jìn)行劃分，很快就可以按照邊角特點(diǎn)劃分成自然的兩類：三個(gè)角上的數(shù)會(huì)有兩條連線經(jīng)過(guò)，而三個(gè)邊格數(shù)則只會(huì)經(jīng)過(guò)其所在的那一條連線，我們不妨將若干連線一同考慮，再看看哪些位置的數(shù)字重復(fù)使用了.

當(dāng)三條線全部用上，我們可以知道，這樣會(huì)把六個(gè)數(shù)字都含了進(jìn)去，并且三個(gè)角的數(shù)字會(huì)重復(fù)使用，于是我們可以知道，當(dāng)幻和為m，三個(gè)角上的數(shù)字分別為a,b,c時(shí)，就有3m=(1+2+…+6)+a+b+c.很明顯，幻和直接可隨a,b,c的確定而被確定.a,b,c不同，幻和也可能發(fā)生改變，這與三階幻方的幻和唯一就有很大區(qū)別，幻三角的幻和會(huì)是一個(gè)區(qū)間內(nèi)的正整數(shù).

我們回到幻和的最值問(wèn)題的討論上來(lái)，上面的式子其實(shí)就已經(jīng)給了我們很好的提示，幻和要想最小，a,b,c三數(shù)之和必須是最小的搭配，類似的，幻和的最大值也應(yīng)通過(guò)令a,b,c達(dá)到最大搭配求得.也就是說(shuō)：

這樣我們就將幻和的取值范圍給明確下來(lái)了，值得一提的是，這種基于結(jié)構(gòu)特征得到的方法還可以在幻三角的進(jìn)一步變式中使用.下一步，我們只需要在9，10，11，12中明確具體幻和以及對(duì)應(yīng)的幻三角形即可.

啟發(fā)式思路之二：幻三角的構(gòu)造

知道幻和可能的取值后，我們便可以進(jìn)入到幻三角構(gòu)造的工作中.

現(xiàn)在已知兩個(gè)入手點(diǎn)：一個(gè)是幻和，一個(gè)是角上的三個(gè)數(shù)a,b,c，當(dāng)然，這兩個(gè)入手點(diǎn)是彼此制約而非獨(dú)立的.首先，我們從幻和為9的情況入手，在這樣的情況下，必有a+b+c=6，于是a,b,c只能夠?qū)?yīng)(1,2,3)這三數(shù)，由此，我們便可以在填入角的數(shù)值后再依據(jù)幻和將剩余的三個(gè)位置值求出，見圖2.

圖2

下面，我們?cè)囋嚮煤蜑?0的幻三角，要想幻和為10，a,b,c三數(shù)的和需要為9，而這樣的三數(shù)組合可以為(1,2,6)、(1,3,5)或者(2,3,4)，那么，幻和為10的幻三角是否有多個(gè)呢？我們同樣依據(jù)角數(shù)及幻和構(gòu)造試試看(見圖3).

圖3

可以看到，圖3中，左圖里面1與2共邊的那條邊上還缺7，而右圖中3，4共邊的那條邊上缺的是3，而3已經(jīng)使用過(guò)，因此以(1,2,6)、(2,3,4)作為角上的三數(shù)無(wú)法構(gòu)造出幻三角，唯獨(dú)(1,3,5)可以.這也就是說(shuō)，幻和為10的幻三角也只有一個(gè).

類似的，我們繼續(xù)分析幻和為11的情形，這種情形下，a,b,c三數(shù)之和需為12，能夠滿足這個(gè)要求的三數(shù)組為(1,5,6)、(2,4,6)或(3,4,5).

圖4

如圖4所示，左圖中5與6和已為11，無(wú)法插入任何一個(gè)數(shù)，而右圖中3，5共邊的那條邊上缺的是3，而3已經(jīng)使用過(guò)，因此以(1,5,6)、(3,4,5)作為角上的三數(shù)無(wú)法構(gòu)造出幻三角，只有(2,4,6)可以.因此幻和為11的幻三角只有一種.

至于幻和為最大值12時(shí)，角上所能放置的三數(shù)只能是(4,5,6)，只要余下的另外三數(shù)可以湊出該幻三角即可，如圖5.

圖5

啟發(fā)式思路之三：幻三角中的性質(zhì)分析

其實(shí)對(duì)于幻和取值范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)，與之對(duì)應(yīng)的幻三角是否都能存在，存在的話又是否唯一這些問(wèn)題都需要我們?nèi)ニ伎?，而前面的敘述使用了最直截了?dāng)?shù)姆椒ǎ褐苯尤ピ?，在討論的?shù)字范圍是1至6時(shí)，這樣的方式確實(shí)也不會(huì)耗費(fèi)太多時(shí)間，但是當(dāng)可選取的范圍變?yōu)?至9挑6個(gè)填入甚至范圍更大的變式幻三角時(shí)，或許直接去試就有點(diǎn)無(wú)頭蒼蠅的感覺了，因?yàn)橐懻摰姆N類會(huì)增加很多.其實(shí)，很多情況下，開始主要問(wèn)題的研究前，花一些時(shí)間找一些數(shù)學(xué)性質(zhì)會(huì)給后續(xù)工作帶來(lái)極大便利，往往能達(dá)到事半功倍的效果.下面我們一起看看，能不能找到一些有意思的性質(zhì).

由前面所做的工作可以知道，幻和為m，三個(gè)角上的數(shù)字分別為a,b,c時(shí)，有3m=(1+2+…+6)+a+b+c，其實(shí)，這個(gè)式子除了能夠幫我們找出幻和的最值外，由這個(gè)式子我們還可以反過(guò)來(lái)得到角上三數(shù)的一個(gè)限制：由于1至6的和是21，21加上a,b,c三數(shù)后仍是3的倍數(shù)，因此a,b,c三數(shù)的和必是3的倍數(shù)，也就是說(shuō)，諸如1，2，4這樣的三數(shù)組合必然不可能作為幻三角的三個(gè)角上的數(shù).我們不妨將所有可能置于角上的三數(shù)組合全部找出來(lái)：(1,2,3)(1,2,6)(1,3,5)(1,5,6)(2,3,4)(2,4,6)(3,4,5)(4,5,6).這樣一分析，問(wèn)題就簡(jiǎn)化了很多，當(dāng)三個(gè)角的數(shù)字一確定，幻和自然地也會(huì)被確定，但是，這只能作為幻三角的角上三數(shù)的必要條件，是否最終得以確立仍需如前面一般討論，例如(1,2,6)決定出幻和為10但是1，2同為角上的數(shù)時(shí)它們所夾邊就會(huì)缺7，因此這個(gè)需要被排除，這樣分析下來(lái)結(jié)果會(huì)與前述結(jié)論一致，只不過(guò)是思考方向不太相同.

另外，觀察我們最后用1至6構(gòu)造出的四個(gè)幻三角，它們有一個(gè)共同特點(diǎn)：1與6都在一條邊上，這是純屬偶然的事情還是有一定的必然性呢？我們不妨回到結(jié)構(gòu)中去尋找一些線索.

若1和6不共邊，那么它們一定分別位于兩條不同的邊線上，但注意到，幻三角中的邊線都是兩兩相交的，也就是說(shuō)1和6所在的兩條邊會(huì)交于一個(gè)角格，不妨假設(shè)該角格填入的數(shù)字為n，那么這兩條邊上都已分別填入了兩個(gè)數(shù)字，一條是1和n、一條是6和n，那么接下來(lái)我們就需要在1至6中找到除了這三個(gè)數(shù)之外的兩個(gè)數(shù)字，使之能夠分別搭配這兩對(duì)數(shù)字獲得兩組和相等的三元數(shù)組，即1+n+x1=6+n+x2，也正是如此，我們知道x1-x2=5，然而1至6中只有1和6能夠相差5，剩余的三數(shù)不可能做到，這就引發(fā)了矛盾.故1和6必須共邊！值得注意的是，前面的這個(gè)分析，無(wú)論放在哪些連續(xù)的自然數(shù)數(shù)組中，都會(huì)有最大最小兩個(gè)值之間的差值無(wú)法由其余數(shù)對(duì)搭配出來(lái)這樣的現(xiàn)象，因此，這個(gè)推論在幻三角的許多變式中依然具有效力，即最大值與最小值必須共邊.事實(shí)上，如果一開始就分析出這個(gè)結(jié)論，那么幻和的最值的必要條件就具備了，因?yàn)?和6必須共邊，因此能夠搭配的最小數(shù)就是2，此時(shí)這邊三數(shù)之和為9，不可能更小，相對(duì)應(yīng)地，我們可以找到幻和最大時(shí)應(yīng)該是1、5、6一起搭配出的幻和12，同樣也不可能找出更大的幻和了.

另外，知道了1和6必須共邊外，我們還可以考慮一下這樣一個(gè)問(wèn)題：能否將這兩個(gè)數(shù)字同時(shí)置于角格上？

注意到1和6如果同在角格上，則另一個(gè)角格無(wú)論是哪個(gè)數(shù)都將分別與1、6共邊，而1和6之間差了5，有一個(gè)公共角后，無(wú)法從剩余數(shù)字中再找出間隔為5的數(shù)對(duì)了，因此，最小數(shù)不僅需要與最大數(shù)共邊，它們還不能同為角格上的數(shù)！同理，也即最大數(shù)字與最小數(shù)字必須一個(gè)位于角格一個(gè)位于與這個(gè)角格相鄰的邊格上.

數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究過(guò)程中，新的性質(zhì)的提出不一定帶來(lái)新結(jié)論但是往往能夠提供一些新的思維視角，而對(duì)同一問(wèn)題多方面思考也恰是我們希望給學(xué)生們帶來(lái)的深刻啟迪.

啟發(fā)式思路之四：幻三角的性質(zhì)在構(gòu)造中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究過(guò)程里面，對(duì)一個(gè)基本問(wèn)題的性質(zhì)分析，目的可能主要是在于，當(dāng)我們?cè)俅斡龅筋愃茊?wèn)題甚至是進(jìn)行一些變式時(shí)，能極大的簡(jiǎn)化類似的過(guò)程.這里不妨將前面分析1至6構(gòu)造幻三角過(guò)程中提及的結(jié)論進(jìn)行一下梳理：

①3m=(1+2+…+6)+a+b+c；

②a,b,c三數(shù)的和必是3的倍數(shù)；

③最大數(shù)字與最小數(shù)字一個(gè)位于角格一個(gè)位于與這個(gè)角格相鄰的邊格上.

接下來(lái)，我們嘗試著用前面分析出來(lái)的一些性質(zhì)對(duì)其進(jìn)階問(wèn)題進(jìn)行思考：當(dāng)給定的數(shù)字是由1到7，如何構(gòu)造幻三角.

首先，我們要知道，總共就6個(gè)位置，那么必有一個(gè)是多余的，而為了不重復(fù)討論，7必須要使用，否則問(wèn)題就會(huì)完全變回1至6的幻三角構(gòu)造問(wèn)題上去了.不妨先假設(shè)舍去的那個(gè)數(shù)字是1，也就是使用2至7這6個(gè)數(shù)字來(lái)構(gòu)造.

同樣地，由幻和最值的計(jì)算方法，我們先計(jì)算一下幻和m7-1的取值區(qū)間：

3m7-1=(2+3+…+7)+a+b+c,

由角上的三數(shù)之和必為3的整數(shù)倍，可知角上的三個(gè)數(shù)a,b,c只能在以下組合中選擇：(2,3,4)(2,3,7)(2,4,6)(2,6,7)(3,4,5)(3,5,7)(4,5,6)(5,6,7).又因?yàn)樽畲髷?shù)字7與最小數(shù)字2必須一個(gè)位于角格一個(gè)位于與這個(gè)角格相鄰的邊格上，因此排除掉(2,3,7)、(2,6,7)、(3,4,5)、(4,5,6)，因?yàn)檫@四組數(shù)要么將2、7都放角格，要么都放邊格上，因此，角格數(shù)組只能在剩下的四個(gè)中挑選構(gòu)造：

圖6

可以看到，角格數(shù)為(2,3,4)時(shí)確實(shí)可以構(gòu)造出相應(yīng)的幻三角，類似的，我們分別將角格數(shù)換成(2,4,6)、(3,5,7)和(5,6,7)并嘗試構(gòu)造相應(yīng)的幻三角，見圖7：

圖7

由此我們便將使用2至7這6個(gè)數(shù)字來(lái)構(gòu)造幻三角的問(wèn)題完成了，總共畫出了4個(gè)，且幻和各不相同，這與使用數(shù)字1至6這六個(gè)數(shù)字來(lái)構(gòu)造的情形相似.

剔除2的情形：

下面，我們?cè)?到7這七個(gè)數(shù)字中剔除2，也就是余下1，3，4，5，6，7這六個(gè)數(shù)字進(jìn)行構(gòu)造.而因?yàn)橛?m7-2=(1+3+…+7)+a+b+c，而此時(shí)六個(gè)數(shù)字之和為26，因此最后的結(jié)果希望被3整除的話，則需要角上的三個(gè)數(shù)a,b,c之和模3余1，由此，能夠作為角格數(shù)出現(xiàn)的數(shù)組為(1,3,6)、(1,4,5)、(1,5,7)、(3,4,6)、(3,6,7)、(4,5,7).

可以推得幻和m7-2可能的取值區(qū)間為：

與之前分析類似，數(shù)字1和7必須共邊且一個(gè)是角格數(shù)一個(gè)是邊格數(shù)這一約束依然成立，因此，能夠作為角格數(shù)出現(xiàn)的數(shù)組為(1,3,6)、(1,4,5)、(3,6,7)、(4,5,7).

我們將其可能對(duì)應(yīng)的幻三角寫出來(lái)，分別是：

圖8

從圖8中可以看出(1,3,6)為角格數(shù)時(shí)，幻和應(yīng)為12，而1、3所在邊將缺8，構(gòu)造失敗，而(1,4,5)、(3,6,7)則都各有一種對(duì)應(yīng)的幻三角.

剔除3的情形：

接下來(lái)我們剔除數(shù)字3，同樣先計(jì)算余下6數(shù)的和：1+2+4+5+6+7=25，因此角格數(shù)a,b,c之和模3余2，因此，能夠作為角格數(shù)出現(xiàn)的數(shù)組可能為(1,2,5)、(1,4,6)、(1,6,7)、(2,4,5)、(2,5,7)、(4,6,7)這五種，數(shù)字1和7必須共邊且一個(gè)是角格數(shù)一個(gè)是邊格數(shù)，因此我們排除掉(1,6,7)、(2,4,5)，對(duì)剩下的四個(gè)分別進(jìn)行嘗試：

(1,2,5)為角格數(shù)時(shí)，幻和應(yīng)為11，而1、2所在邊將缺8，構(gòu)造失敗，(4,6,7)為角格數(shù)時(shí)，幻和為14，而4、6所在邊將重復(fù)使用數(shù)字4，因此也無(wú)法構(gòu)造，剩下的(1,4,6)、(2,5,7)則都各有一種對(duì)應(yīng)的幻三角(圖9).

圖9

剔除4的情形：

如果剔除的數(shù)字是4，則有余下6數(shù)的和：1+2+3+5+6+7=24，因此角格數(shù)a,b,c之和將為3的整數(shù)倍，因此，能夠作為角格數(shù)出現(xiàn)的數(shù)組可能為(1,2,3)、(1,2,6)、(1,3,5)、(1,5,6)、(2,3,7)、(2,6,7)、(3,5,7)、(5,6,7)這8種，對(duì)剩下的四個(gè)分別進(jìn)行嘗試：

圖10

從圖10中可以看到，這8個(gè)里面，只有兩種情況可以使用除4外的6個(gè)數(shù)字構(gòu)造幻三角.

剔除5的情形：

剔除5時(shí)，類似分析，1+2+3+4+6+7=23，因此角格數(shù)a,b,c之和模3余1，能夠作為角格數(shù)出現(xiàn)的數(shù)組可能為(1,2,4)、(1,2,7)、(1,3,6)、(2,4,7)、(3,4,6)、(3,6,7)這6種，數(shù)字1和7必須共邊且一個(gè)是角格數(shù)一個(gè)是邊格數(shù)，因此我們排除掉(1,2,7)、(3,4,6)這兩個(gè)，對(duì)剩下的四個(gè)分別進(jìn)行嘗試，見圖11：

這4組角格數(shù)里面，只有兩種情況可以使用除5外的6個(gè)數(shù)字構(gòu)造幻三角.

圖11

剔除6的情形：

最后一個(gè)，剔除數(shù)字6的情況：1+2+3+4+5+7=22，因此角格數(shù)a,b,c之和模3余2，能夠作為角格數(shù)出現(xiàn)的數(shù)組可能為(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,7)、(2,4,5)、(2,5,7)、(3,4,7)這6種，數(shù)字1和7必須共邊且一個(gè)是角格數(shù)一個(gè)是邊格數(shù)，因此我們排除掉(1,3,7)、(2,4,5)這兩個(gè)，對(duì)剩下的四個(gè)分別進(jìn)行嘗試：

圖12

這4組角格數(shù)里面，只有兩種情況可以使用除6外余下的6個(gè)數(shù)字構(gòu)造幻三角(圖12).

所有情形分析完后，我們可以看到，用1至7中的六個(gè)數(shù)字構(gòu)造的幻三角(算上剔除數(shù)字恰為7的情況)總共有：4+2+2+2+2+2+4=18種.

另外，在通過(guò)分析角格數(shù)可能的數(shù)組來(lái)尋找可能的幻三角過(guò)程中，不知道大家是否注意到，剔除1與剔除7(最初分析的使用1～6的情形)的情況有些接近，都是總共有4種幻和并且每種幻和對(duì)應(yīng)一種幻三角，剔除2的情況與剔除6的情況相近，從角格數(shù)分析都是4種角格數(shù)組，而分析下來(lái)只有兩種幻和，并各對(duì)應(yīng)一種幻三角，而剔除3的情況又與剔除5的類似，4種角格數(shù)組，對(duì)應(yīng)4種幻和，但是只有兩個(gè)幻和能找到對(duì)應(yīng)的幻三角，這能給我們什么啟示呢？

注意到這些相似的數(shù)對(duì)——1和7、2和6、3和5，它們?cè)?到7這七個(gè)數(shù)中的位置恰是對(duì)稱的(將1到7按順序排列后所在位置前后對(duì)稱)，這個(gè)如何理解呢？我們可以用字母表示數(shù)，將這些數(shù)字的一般關(guān)系表示出來(lái)：在1至7這些數(shù)中，任意一個(gè)數(shù)字a，其對(duì)稱數(shù)字為8-a.假設(shè)這七個(gè)數(shù)字中的某六個(gè)能夠構(gòu)造出幻三角，如圖13，那么我們將每一個(gè)數(shù)字都換成它對(duì)應(yīng)的對(duì)稱數(shù)字，會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a+d+b=b+f+e=a+e+c時(shí)，那么下式也將成立——(8-a)+(8-d)+(8-b)=(8-b)+(8-f)+(8-e)=(8-a)+(8-e)+(8-c).也就是說(shuō)，換數(shù)字后依然能夠組成幻三角！理解這些關(guān)系后還會(huì)驚喜地發(fā)現(xiàn)，下式中8其實(shí)換成9也依舊成立，或者說(shuō)這種關(guān)系其實(shí)與這些數(shù)字是1到7還是1到8無(wú)關(guān)，連續(xù)6個(gè)以上的數(shù)字都可以有類似性質(zhì).這個(gè)小結(jié)論意味著我們一旦寫出一個(gè)幻三角，將每個(gè)數(shù)字換成其對(duì)稱數(shù)字即可立刻構(gòu)造另一個(gè)幻三角，可以幫我們節(jié)省一半的尋找工程，簡(jiǎn)直太美好了！

圖13

除了上述的對(duì)稱數(shù)字的描述，在用1到7中六個(gè)數(shù)字構(gòu)造幻三角過(guò)程中，去掉7(使用1到6)與去掉1(使用2到7)二者的相似性還可以如此分析：從1到6變?yōu)?到7，相當(dāng)于每個(gè)數(shù)字都加一，而有了a+d+b=b+f+e=a+e+c便可以推出(1+a)+(1+d)+(1+b)=(1+b)+(1+f)+(1+e)=(1+a)+(1+e)+(1+c)，同樣滿足幻三角的定義.也就當(dāng)分析完1到6的幻三角構(gòu)造流程后，相應(yīng)地也能推導(dǎo)出由2到7這六個(gè)數(shù)字構(gòu)造的幻三角，甚至還能看到，當(dāng)數(shù)字換成3到8時(shí)也類似地由1到6所造的幻方每個(gè)數(shù)字加上2得到，同理，4到9的、5到10的這種連續(xù)6個(gè)數(shù)能夠構(gòu)造出來(lái)的幻三角，也是有且僅有4種.值得一提的是，這種在已有幻三角的六個(gè)數(shù)字同時(shí)加上相同的數(shù)字而得到在更大數(shù)字選用范圍限定下的幻三角的方法，不止在連續(xù)6個(gè)數(shù)字中適用，而是在任意六數(shù)所造的幻三角中都可以推廣(如1至8能構(gòu)造的幻三角個(gè)數(shù)將與2至9構(gòu)造的幻三角一樣，因此我們只需要討論1與9同時(shí)存在的情況所有的幻三角個(gè)數(shù)即可)，這結(jié)論是顯然的，所以我們?cè)诜治龈蟮臄?shù)字選用范圍時(shí)，其實(shí)完全可以借助之前的分析來(lái)節(jié)省工作量，新的分析任務(wù)將只集中在討論1與最大數(shù)字同時(shí)存在的情況數(shù)目即可.

在前面的分析中，我們主要是從剔除的數(shù)字進(jìn)行分類，并從角格上的三個(gè)數(shù)可能有的取值數(shù)組入手分析，隨著數(shù)字可選擇的范圍的增大，剔除數(shù)字也將由1個(gè)增至若干個(gè)，分類數(shù)將增加，而且角格上的三數(shù)組合也將明顯增多，因此，繼續(xù)使用這樣的遍歷模式可能在后續(xù)工作上會(huì)比較困難.可以考慮先計(jì)算出幻和的取值范圍，然后按幻和分類，再利用前述的若干結(jié)論進(jìn)行遍歷(不需要所有幻和都遍歷一遍，只需要折半分析，后半部分可由前半部分利用對(duì)稱性構(gòu)造出來(lái)).當(dāng)一邊固定1與最大數(shù)并選其一放于角格上后，該邊也就只有一個(gè)位置需要確定，并且幻和也將隨著該數(shù)的確定而被相應(yīng)地定下，例如，在1至8的幻三角分析中，只需要考慮1和8同時(shí)在的情況(1不在或者8不在的情況將由1至7的構(gòu)造數(shù)目確定，各有18種)即可.

由于1、8必須共邊，且一個(gè)位于角格一個(gè)位于邊格，可以依此分為兩類(見圖14).而由前面的分析我們知道，在所有的數(shù)字選用范圍為1至8這8個(gè)數(shù)時(shí)，1與8剛好是位置對(duì)稱的兩個(gè)數(shù)，因此，這兩類所對(duì)應(yīng)的幻三角數(shù)目相同，故現(xiàn)只需要分析其中一類(不妨取圖14中的左圖這類)能夠得到的幻三角最后乘以2即可得到所有的數(shù)目.

圖14

如圖14所示，在b的位置，最小放的是2，最大放的是7，從而幻和最小是11，最大16.而b=2與b=7在這組數(shù)中正是對(duì)稱位置，因此當(dāng)b=2時(shí)，幻和為11，需要f+c=9;e+c=10，在剩余的數(shù)字3，4，5，6，7中，3+6=4+5=9；3+7=4+6=10，因此c的位置可以有三種選擇：3、4、6，分別可以對(duì)應(yīng)三個(gè)幻三角，如圖15.

圖15

當(dāng)b=3時(shí)，幻和為12，需要f+c=9;e+c=11，在剩余的數(shù)字2，4，5，6，7中，2+7=4+5=9；4+7=5+6=11，因此c的位置可以有三種選擇：4、5、7，分別可以對(duì)應(yīng)三個(gè)幻三角，如圖16.

圖16

當(dāng)b=4時(shí)，幻和為13，需要f+c=9;e+c=12，在剩余的數(shù)字2，3，5，6，7中，2+7=3+6=9；5+7=12，因此c的位置可以有1種選擇：7，對(duì)應(yīng)的幻三角如圖17.

圖17

圖18

當(dāng)b=5時(shí)，幻和為14，需要f+c=9;e+c=13，在剩余的數(shù)字2，3，4，6，7中，2+7=3+6=9；6+7=13，因此c的位置只能有2種選擇：6、7，對(duì)應(yīng)的幻三角如圖18.

當(dāng)b=6時(shí)，幻和為15，需要f+c=9;e+c=14，在剩余的數(shù)字2，3，4，5，7中，沒辦法找到和為14的兩數(shù)，因此這種情況不可能構(gòu)造出幻三角，同理，當(dāng)b=7時(shí)也沒辦法構(gòu)造出幻三角.

因此，我們?cè)趯?放角格8放邊格的這一類分析中總共找到了9種幻三角，而反過(guò)來(lái)將8放角格1放邊格的情況，只要將每個(gè)數(shù)字換成其對(duì)稱數(shù)字即可，同樣將有9種，也就是共18種如圖19.

圖19

由前述分析，可以知道，現(xiàn)在1～8所構(gòu)造的幻三角可以依據(jù)使用數(shù)字分為以下幾類：1.使用連續(xù)6個(gè)數(shù)字(使用1～6、2～7、3～8)；2.在連續(xù)7個(gè)數(shù)字中剔除除了首尾兩數(shù)之外的任一個(gè)數(shù)獲得6個(gè)數(shù)(在1～7中同時(shí)使用1、7；在2～8中同時(shí)使用2、8)；3.1、8都用上.第一類與使用1～6構(gòu)造的幻三角個(gè)數(shù)一致，為4種，第二類與在1～7中同時(shí)使用1、7的情況數(shù)目一致，各10種，第三類為18種，因此，1～8所構(gòu)造的六數(shù)幻三角總共有4×3+10×2+18=50種.

注意到計(jì)算1～8所構(gòu)造的六數(shù)幻三角總數(shù)時(shí)所分的三類，最關(guān)鍵的就是在每一次新數(shù)字范圍中最值同時(shí)出現(xiàn)時(shí)幻三角的個(gè)數(shù)(如1～6中1、6；1～7中1、7；1～8中1、8同時(shí)出現(xiàn))，并且它們可以直接呈現(xiàn)出一種類型能夠構(gòu)造出的幻三角數(shù)目.用a1,a2,a3,…,an,…分別表示從1～6、1～7、1～8、…等幻三角構(gòu)造問(wèn)題中，最大最小值同時(shí)用上時(shí)幻三角的個(gè)數(shù)(例如1～8分類中的第三類)，用b1,b2,b3,…,bn,…分別表示使用數(shù)字范圍為1～6、1～7、1～8、…時(shí)能構(gòu)造出的幻三角總數(shù)目(例如1～8時(shí)總共有50種)，則有：

其中，初始值a1=4；a2=10；a3=18.

若用Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則有：bn=bn-1+Sn(n≥2).要梳理出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，必須找出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，現(xiàn)尚未找出統(tǒng)一的公式，于是就很有必要依托之前找到的各種小結(jié)論，以縮減我們尋找每一項(xiàng)的工作量.

可以看到，僅構(gòu)造六數(shù)幻三角的問(wèn)題便可分析出如此多的結(jié)論及發(fā)現(xiàn)，在使用數(shù)字的數(shù)目不多且僅使用加減法便可逐步分析的情況下，它依舊能夠找到諸多值得思考及深入的問(wèn)題，并且它們常常不像想象中那么簡(jiǎn)單，需要具備一定的歸納梳理能力，其教育價(jià)值不言而喻.在將此游戲活動(dòng)引入課堂的過(guò)程中，我們可以讓學(xué)生從嘗試填上一些空缺數(shù)字以及半猜半算地去拼湊幻三角，但隨著學(xué)生思維水平的逐步提升，我們可以將幻三角背后的一些思維啟發(fā)呈現(xiàn)給學(xué)生，也有必要讓他們?nèi)ンw驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題中哪些問(wèn)題是重要的，常常以哪些問(wèn)題作為著力點(diǎn)，并借由數(shù)學(xué)游戲活動(dòng)讓他們感受到很多數(shù)學(xué)內(nèi)容都以簡(jiǎn)單形式開始，但是其背后的奇妙邏輯其實(shí)是具有挑戰(zhàn)性的.要想在解決問(wèn)題時(shí)更加高效，我們就必須在面對(duì)問(wèn)題時(shí)多觀察多思考，所有的驚奇發(fā)現(xiàn)都是某一次思考時(shí)的“靈機(jī)一動(dòng)”產(chǎn)生的，而幻三角正是這樣的數(shù)學(xué)游戲.