借助技術(shù) 操作體驗：數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的新嘗試
——以“正多邊形與圓”的教學(xué)為例

石樹偉

(江蘇省揚州市廣陵區(qū)教師發(fā)展中心 225006)

1 問題提出

數(shù)學(xué)史之于數(shù)學(xué)教學(xué)的價值，早已為數(shù)學(xué)教育界所認(rèn)識，數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合已成為數(shù)學(xué)課程改革的必然趨勢．但長期以來，教學(xué)實踐中對數(shù)學(xué)史的應(yīng)用一直存在著兩個瓶頸：一是史料及意識的缺乏導(dǎo)致數(shù)學(xué)史的應(yīng)用成為“無米之炊”，特別是教師不能敏銳發(fā)現(xiàn)或充分挖掘教學(xué)內(nèi)容中數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的融合點，數(shù)學(xué)史融入的大好時機常常被忽略；二是深度融合方式的不足導(dǎo)致對數(shù)學(xué)史的“高評價，低利用”，數(shù)學(xué)史的教學(xué)多是材料閱讀、故事講述、視頻觀看等簡單附加式的教學(xué)方式，是“為歷史而歷史”的淺層使用，其價值取向局限于人文素養(yǎng)的提升，僅關(guān)注學(xué)生的情感態(tài)度價值觀，缺少對數(shù)學(xué)知識理解和數(shù)學(xué)思想感悟的關(guān)注.

下面的“正多邊形與圓”教學(xué)課例在數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)方面作了一些探索與嘗試，以期能為克服上述瓶頸提供來自教學(xué)實踐、有參考價值的解決方案.

2 課例再現(xiàn)

“正多邊形與圓”課例是筆者觀摩了江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校沈健老師的教學(xué)視頻后，結(jié)合學(xué)情進行板塊整合和修改，在公開教學(xué)中予以實施的教學(xué)課例．本節(jié)內(nèi)容選自蘇科版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)九年級上冊§2．6并適當(dāng)加以改造，教學(xué)內(nèi)容主要為正多邊形的概念、性質(zhì)和畫法．課例將按照從特殊到一般、從有限到無限的邏輯線索展開：現(xiàn)實特例→正多邊形概念→畫一般正多邊形→深度迭代生成一般正n邊形→體驗“割圓術(shù)”．需要解釋的是，這里的現(xiàn)實特例既包括學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，即學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的正三角形和正方形，也包括學(xué)生的生活現(xiàn)實，如生活中常見的正五邊形霓虹燈邊框、正六邊形螺帽邊緣等.

2．1 從課外到課內(nèi)

前期教學(xué)中，教師已指導(dǎo)學(xué)生掌握了幾何畫板軟件的基本操作，學(xué)生能夠在電腦上獨立使用幾何畫板軟件．本課課前教師預(yù)先做好一個幾何畫板文件的預(yù)習(xí)作業(yè)，通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)交互平臺推送給學(xué)生，要求學(xué)生在家中電腦上完成：

操作1應(yīng)用幾何畫板繪制正三角形、正方形、正六邊形；

操作2根據(jù)所繪正多邊形研究其對稱性，應(yīng)用幾何畫板的測量功能測量各正多邊形的內(nèi)角和邊長等，完成操作記錄表中的相關(guān)內(nèi)容(如圖1).

教師課前通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)交互平臺收集學(xué)生的作業(yè)文件并進行批閱，發(fā)現(xiàn)優(yōu)秀作業(yè)和存在的典型問題，為組織學(xué)生課內(nèi)的交流做好準(zhǔn)備.

圖1 學(xué)生預(yù)習(xí)作業(yè)示例

2．2 從現(xiàn)實實例到正多邊形概念

問題1(投影如圖2圖片)霓虹燈的邊框、正六邊形螺帽的邊緣給我們以什么形象？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些類似的圖形？

圖2 生活中的正多邊形

通過問題1引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)抽象，從而揭示本課的研究對象——正多邊形.

問題2(將全班同學(xué)的預(yù)習(xí)作業(yè)打包推送給所有學(xué)生，相互交流評價)繪制正三角形、正方形、正六邊形有哪些思路，作圖的依據(jù)是什么？如何驗證我們作圖的正確性？

教師引導(dǎo)學(xué)生通過幾何畫板的顯示/隱藏功能探索同學(xué)的作圖方法，并與自己的方法進行比較．待相互交流學(xué)習(xí)后有選擇地請1～2位同學(xué)介紹作圖思路及依據(jù)，學(xué)生的預(yù)習(xí)作業(yè)中主要出現(xiàn)以下兩種作圖方法：①通過線段的擺放畫出正多邊形；②通過幾何關(guān)系構(gòu)造正多邊形(如圖3)．教師演示通過拖動正多邊形的頂點研究繪制的圖形是否具備幾何關(guān)系，從而分辨這兩種不同的作圖方法，并指出方法②構(gòu)造的正多邊形可以隨意改變位置和大小，且保持幾何關(guān)系不變．

圖3 三種常見正多邊形的常規(guī)構(gòu)造方法展示

通過師生對話和測量驗證，交流如何驗證作圖的正確性，從而揭示正多邊形的本質(zhì)特征：各邊相等、各角也相等，引導(dǎo)學(xué)生歸納正多邊形的定義.

2.3 從特殊正多邊形到一般正多邊形

問題3正三角形、正方形、正六邊形都是一些特殊的正多邊形，它們可以通過特殊的幾何關(guān)系構(gòu)造出圖形．非特殊的一般正多邊形，比如正五邊形如何畫呢？

學(xué)生先嘗試應(yīng)用幾何畫板畫圖，發(fā)現(xiàn)原有的構(gòu)造特殊正多邊形的方法具有局限性，形成認(rèn)知沖突，然后師生通過探索交流形成畫法：通過等分圓心角畫正五邊形(如圖4).

圖4 等分圓心角作正五邊形的過程截圖

問題4如何說明等分圓心角畫出的五邊形一定是正五邊形？

學(xué)生先獨立思考再小組交流，最后大班匯報等分圓心角作正五邊形的依據(jù).

操作3應(yīng)用幾何畫板分別畫一個奇數(shù)條邊和偶數(shù)條邊的正多邊形，并根據(jù)自己繪制的正多邊形研究其對稱性(軸對稱性和中心對稱性)，將自己探索的結(jié)論填寫在操作記錄表中．(操作記錄表與預(yù)習(xí)作業(yè)類似，此處略)

學(xué)生先操作，通過操作加深對正多邊形與圓的關(guān)系的理解．然后上傳交流，教師匯總展示，并引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系正三角形、正方形、正六邊形總結(jié)正多邊形關(guān)于對稱性的規(guī)律.

問題5通過等分圓心角畫正多邊形是通性通法，具有一般性．但邊數(shù)改變就要重新計算等分的圓心角度數(shù)，然后按等分的圓心角度數(shù)標(biāo)記一個角，再按標(biāo)記的角將線段繞著點O依次旋轉(zhuǎn)，重復(fù)操作太多．如何再一般化，知道邊數(shù)能快速繪制所對應(yīng)的正多邊形？

這是一個無需學(xué)生回答的引導(dǎo)性問題，意在讓學(xué)生體會建立一般模型的必要性．然后教師在幾何畫板中演示利用深度迭代功能生成正n邊形(如圖5)，教師主要側(cè)重兩個操作：①引入變量，將之前的具體數(shù)字替換為變量n；②深度迭代的實現(xiàn)．教師將應(yīng)用深度迭代功能生成的正n邊形幾何畫板文件推送給學(xué)生共享，學(xué)生嘗試變換邊數(shù)n的值，體會用變量代替具體數(shù)值后的模型應(yīng)用的便捷.

圖5 利用深度迭代功能繪制的正n邊形

2.4 從正多邊形(有限)到圓(無限)

問題6利用老師制作的正n邊形，從小到大輸入不同的n值繪制正多邊形，觀察這些正多邊形你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生先獨立操作體會，再合作交流展示，體會發(fā)現(xiàn)“當(dāng)n不斷增大時，正n邊形就不斷趨近于圓”的現(xiàn)象(如圖6).

圖6 當(dāng)n=100時正多邊形接近于圓示意圖

問題7應(yīng)用幾何畫板的測量計算功能探索：當(dāng)n的值由小到大變化時，正多邊形的周長與近似圓的直徑的比值有何變化規(guī)律？

學(xué)生先獨立操作探究，再小組匯報交流．教師有選擇地展示點評幾位學(xué)生的研究結(jié)果(如圖7)，引導(dǎo)學(xué)生體會感悟應(yīng)用“割圓術(shù)”計算圓周率π近似值“化曲為直、無限逼近”的思想．[1]

圖7 重現(xiàn)“割圓術(shù)”計算圓周率π的近似值

問題8“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的經(jīng)典數(shù)學(xué)名句，請結(jié)合前面的操作體會談?wù)勀銓@句話的理解.

學(xué)生獨立思考后交流匯報，教師適時介紹我國古代數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之的工作及成就.

2.5 從課內(nèi)到課外

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3 課例啟示

課例適當(dāng)改造教材，大膽引入幾何畫板工具，從特殊到一般，通過幾何關(guān)系或等分圓心角畫正多邊形，掌握其畫圖原理；從有限到無限，在信息技術(shù)環(huán)境下體驗“割圓術(shù)”求圓周率π的近似值，理解正多邊形與圓的關(guān)系并感悟其中“化曲為直，無限逼近”的思想．課例為數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一個鮮活的案例，對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)啟示良多，特別是數(shù)學(xué)史的有機融入，為解決數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的瓶頸問題提供了有價值的參考方案．

3.1 借助信息技術(shù)，挖掘教學(xué)內(nèi)容中數(shù)學(xué)史的融合點

當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師有在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的愿望，也有一定的數(shù)學(xué)史知識，問題就是在具體內(nèi)容教學(xué)時，有時意識不到此處可以融入數(shù)學(xué)史，或限于技術(shù)手段暫時無法在此處深度融入數(shù)學(xué)史．敏銳意識和技術(shù)手段的不足，導(dǎo)致數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的融合點難尋，使數(shù)學(xué)史的應(yīng)用成為“無米之炊”．課例借助信息技術(shù)，開發(fā)挖掘教學(xué)內(nèi)容中數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的融合點，為克服數(shù)學(xué)史應(yīng)用的“無米之炊”瓶頸提供了來自教學(xué)實踐、有參考價值的解決方案．

3.1.1與時俱進引入信息技術(shù)為數(shù)學(xué)史的融入創(chuàng)造了機會

首先，為體現(xiàn)數(shù)學(xué)雙基的與時俱進，呼應(yīng)信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用，教者對教材內(nèi)容適當(dāng)改造，大膽引入信息技術(shù)，為數(shù)學(xué)史的融入提供了機會．張奠宙教授提出要“與時俱進地認(rèn)識‘雙基’”，我國的數(shù)學(xué)教學(xué)具有重視基礎(chǔ)知識教學(xué)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)，新課程改革應(yīng)繼續(xù)發(fā)揚這種傳統(tǒng)．與此同時，隨著時代的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用、計算機技術(shù)和現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)課程設(shè)置和實施應(yīng)重新審視基礎(chǔ)知識、基本技能和能力的內(nèi)涵，形成符合時代要求的新的“雙基”．[2]各版本教材中，“正多邊形與圓”部分均將利用直尺、圓規(guī)、量角器等傳統(tǒng)工具畫正多邊形作為重要內(nèi)容，但在實際生產(chǎn)生活中，機械制圖、工藝美術(shù)設(shè)計等都已經(jīng)完全采用軟件繪圖，手工繪圖已基本絕跡．因此課例對教材進行了適當(dāng)改造，重點放在讓學(xué)生利用幾何畫板畫正多邊形并掌握其畫圖原理．這樣的改造體現(xiàn)了對于畫正多邊形這一技能和能力的與時俱進的認(rèn)識，減少了學(xué)生傳統(tǒng)技能訓(xùn)練的時間，為學(xué)生的操作探究向縱深發(fā)展節(jié)省出了時間，先進的幾何畫板軟件也為學(xué)生能親歷體驗“割圓術(shù)”提供了工具．

3.1.2信息技術(shù)條件下敏銳發(fā)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容中數(shù)學(xué)史的融合點

其次，在具備數(shù)學(xué)史料和技術(shù)工具的基礎(chǔ)上，教者能敏銳發(fā)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容中數(shù)學(xué)史的融合點．在傳統(tǒng)教學(xué)中，利用傳統(tǒng)手段可以讓學(xué)生學(xué)會等分圓心角畫正多邊形并掌握其原理，但囿于傳統(tǒng)工具繪圖、測量的效率和精度，在“正多邊形與圓”學(xué)習(xí)時很難意識到或做到通過等分圓心角畫正多邊形計算圓周率π的近似值，從而不能有機融入“割圓術(shù)”、體會前人思想的創(chuàng)新和偉大．而在課例中，教師敏銳意識到等分圓心角畫正多邊形是“割圓術(shù)”的算法基礎(chǔ)，引入幾何畫板這一信息技術(shù)手段，不僅能讓學(xué)生掌握等分圓心角畫正多邊形的原理，而且其繪圖、測量的高效率和高精度使“割圓術(shù)”融入“正多邊形與圓”的教學(xué)成為可能．可以說，是現(xiàn)代信息技術(shù)的使用，發(fā)掘了“正多邊形與圓”這一數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的新融合點，這里信息技術(shù)的使用實現(xiàn)了原有教學(xué)手段難以達到甚至達不到的效果．

3.2 通過操作體驗，深度融入數(shù)學(xué)史感悟原始思想和創(chuàng)造

數(shù)學(xué)史就其本質(zhì)而言是人類數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史，而數(shù)學(xué)教育的高境界是數(shù)學(xué)思想的感悟和熏陶，因而，數(shù)學(xué)教育無疑能從數(shù)學(xué)史中汲取更豐富的養(yǎng)分，數(shù)學(xué)史也完全能夠促使數(shù)學(xué)教育變得更加豐富和深刻．?dāng)?shù)學(xué)史的教育價值在于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，把握和了解數(shù)學(xué)家們的原始思想，感悟數(shù)學(xué)思想的魅力．[3]因此，數(shù)學(xué)史的教學(xué)需樹立并踐行“為教學(xué)而歷史”的理念，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價值，這就需要研究數(shù)學(xué)史如何深度融入數(shù)學(xué)教學(xué)．當(dāng)前教學(xué)實踐中，簡單附加式的數(shù)學(xué)史教學(xué)是“為歷史而歷史”，數(shù)學(xué)史的教育價值未能充分挖掘，深度融合方式的不足導(dǎo)致對數(shù)學(xué)史的“高評價，低利用”．課例通過操作體驗，深度融入數(shù)學(xué)史感悟原始思想和創(chuàng)造，為克服數(shù)學(xué)史的“高評價，低利用”瓶頸提供了來自教學(xué)實踐、有參考價值的解決方案.

3.2.1 操作體驗有助于數(shù)學(xué)史的深度融入

首先，通過操作體驗讓學(xué)生濃縮親歷數(shù)學(xué)史，有助于數(shù)學(xué)史的深度融入．課例中，教者應(yīng)用幾何畫板的深度迭代功能生成一般情形的正n邊形(其中變量n可輸入任意正整數(shù))，引導(dǎo)學(xué)生觀察邊數(shù)n不斷增大時正多邊形與圓的關(guān)系，應(yīng)用幾何畫板的測量計算功能研究邊數(shù)n不斷增大時正多邊形周長與近似圓直徑比值的變化規(guī)律，結(jié)合操作體會經(jīng)典數(shù)學(xué)名句的意義，最后介紹我國古代數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之的開創(chuàng)性工作及偉大成就．這里的數(shù)學(xué)史教學(xué)不是簡單的灌輸告知，而是親歷體驗、深度融合.

課例注重學(xué)生操作體驗方式的優(yōu)化，特別是利用網(wǎng)絡(luò)平臺優(yōu)化數(shù)學(xué)史融入體驗的互動反饋．課例利用幾何畫板軟件進行課前、課堂操作探究活動，提升了作圖測量的效率和精度，使學(xué)生的操作探究得以向縱深發(fā)展；應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建學(xué)習(xí)交互平臺，實時了解每位學(xué)生探究體驗的學(xué)習(xí)狀況，及時做好收集、評價和反饋，并對個別學(xué)生及時進行個性化指導(dǎo)；指導(dǎo)學(xué)生利用互聯(lián)網(wǎng)自主獲取數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識，使學(xué)生的學(xué)習(xí)從課內(nèi)向課外延伸．無論是課外還是課內(nèi)，都注重在信息技術(shù)環(huán)境下引導(dǎo)學(xué)生動手操作、互動交流、體驗感悟，在做數(shù)學(xué)中思考依據(jù)、探究規(guī)律，感悟基本思想，積累活動經(jīng)驗，領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化.

3.2.2 操作體驗有助于核心素養(yǎng)的全面落實

其次，操作體驗有助于核心素養(yǎng)的落實，在操作體驗中深度融入數(shù)學(xué)史更有助于核心素養(yǎng)的全面落實．這里既包括學(xué)科教學(xué)層面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效落實，還包括公民教育層面的中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，如人文底蘊、責(zé)任擔(dān)當(dāng)?shù)人仞B(yǎng)的有機落實.

課例讓學(xué)生從數(shù)學(xué)現(xiàn)實和生活現(xiàn)實中的特例抽象得到正多邊形的概念，有機滲透作為數(shù)學(xué)基本思想的抽象思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；學(xué)生利用幾何畫板，通過幾何關(guān)系構(gòu)造特殊正多邊形，或通過等分圓心角畫一般正多邊形，先操作再說明操作的道理，有機滲透作為數(shù)學(xué)基本思想的推理思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；利用幾何畫板，通過等分圓心角先畫邊數(shù)具體確定的正多邊形，再用字母表示數(shù)引入變量——邊數(shù)n，生成一般情形的正n邊形，有機滲透作為數(shù)學(xué)基本思想的模型思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和素養(yǎng)；深度融入數(shù)學(xué)史，引導(dǎo)學(xué)生觀察邊數(shù)n不斷增大時正多邊形與圓的關(guān)系，體會數(shù)學(xué)名句“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”的意義，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，同時讓學(xué)生充分感受中華民族光輝燦爛的數(shù)學(xué)文化，由衷激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望，愛國主義和學(xué)習(xí)激勵教育自然滲透，入耳、入腦、入心，有效提升學(xué)生的人文底蘊和責(zé)任擔(dān)當(dāng)?shù)人仞B(yǎng).