用思路點(diǎn)撥法培養(yǎng)學(xué)生解綜合題能力

張煜彬

一、了解考點(diǎn)與命題趨向，明確解綜合題的要求

（一）知識(shí)考點(diǎn)及能力培養(yǎng)要求

1.準(zhǔn)確地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，具有熟練的基本技能;2.弄清概念，熟記全部定理、法則、公式，特別是定理、法則、公式的適用條件;3.加強(qiáng)分析問題、解決問題的思維訓(xùn)練，逐步提高解題能力;4.通過變式訓(xùn)練，拓展學(xué)生思維，提高學(xué)生的辨別能力，有利于學(xué)生克服思維定勢;5.在解題中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，巧解復(fù)雜、綜合的數(shù)學(xué)問題;6.善于把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，這也是素質(zhì)教育的要求。

（二）解綜合題的思想方法和解題過程要求

1.認(rèn)真審題，善于分解，使綜合問題向典型問題轉(zhuǎn)化;2.善于拾漏補(bǔ)遺，力求答案準(zhǔn)確無誤; 3、善于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法解綜合題;數(shù)學(xué)方法有待定系數(shù)法、分類討論法、反證法等;數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合、分析與綜合、轉(zhuǎn)化、方程等，在解題中能自如地運(yùn)用。

二、解題方法與技巧的探索，思路方法的培養(yǎng)

學(xué)生能力的提高，要依靠在平時(shí)的知識(shí)積累，在教學(xué)中適時(shí)拓展知識(shí)范圍，引導(dǎo)學(xué)生自覺地去思考，從特殊想到一般，從抽象想到具體，由此及彼，由里到外，從而培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，逐步提高學(xué)生歸納、整理知識(shí)的能力。使學(xué)生走上發(fā)展創(chuàng)新之路，真正實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生解答綜合題的能力與技巧的愿望。

下面是我在教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容適時(shí)補(bǔ)充如下類型題目作學(xué)生課后思考題，具體實(shí)施辦法：①先用小黑板公布思考題，并作簡要分析，點(diǎn)明解題思路。②多位學(xué)生作解后，作評(píng)講，肯定最優(yōu)方法。③解題方法規(guī)律總結(jié)。通過長期的訓(xùn)練，學(xué)生解綜合題能力提高較快，取得了較好的教學(xué)效果。 類型題目舉例如下。

方法1：數(shù)形結(jié)合法。（借助圖形聯(lián)想，巧解題）

【例1】如圖所示，Rt△AOB的頂點(diǎn)A是直線y=x+m與雙曲線y=mx在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)直線y=x+m和x軸交于點(diǎn)C，且S△AOB=3

求：（1）m的值

（2）△ACB的面積

【分析】要求m的值，只需求xy的值即可，由S△AOB=12OB·AB=3，即xy=6，從而求出m的值，確定了直線和雙曲線的解析式，最后解方程組，求出兩圖象的交點(diǎn)A的坐標(biāo)和BC的長，S△ACB就可以求出。

【解】（略）

【規(guī)律總結(jié)】此題是函數(shù)類形綜合題，凡是求函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，常轉(zhuǎn)化為方程組求解，解函數(shù)問題常借助圖象，這就是數(shù)形結(jié)合思想的表現(xiàn)形式。

方法2：分類討論法。（此類題課本中少出現(xiàn)的探索型問題）

【例2】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（2，4），頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為12，它的圖象與x軸交于兩點(diǎn)B（x1，0），C（x2，0），與y軸交于點(diǎn)D，且x12+x22=13，試問：y軸上是否存在點(diǎn)p，使得△POB與△DOC相似（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，試求出過P，B兩點(diǎn)直線的解析式，若不存在，請(qǐng)說明理由。

【分析】易求拋物線的解析式為y=-x2+x+6，與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（3，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D（0，6），因?yàn)轭}中未給出B，C的確定位置，所以要分兩種情況討論。

【解】（略）

【規(guī)律總結(jié)】此題是就點(diǎn)的不確定性進(jìn)行討論，即點(diǎn)B的坐標(biāo)有（3，0）或（-2，0）兩種情況。分類討論思想方法是解探索型問題的一個(gè)重要的思想方法。分類的關(guān)鍵是捕捉問題中的不確定因親，把握了這一點(diǎn)，一些復(fù)雜問題也就轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的簡單問題。

方法3：變換視角。（是逆向思維的運(yùn)用，巧妙解決問題）

【例3】已知關(guān)于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的范圍。

【分析】按常規(guī)思路，把x當(dāng)成主元，求出x，再對(duì)a進(jìn)行討論，解題過程相當(dāng)繁瑣，若把a(bǔ)當(dāng)作主元，這種反“客”為“主”的轉(zhuǎn)換思維技巧很新穎別致。

【解】原方程可變?yōu)椋篴2-（x2+2x）a+x3-1=0，即[a-（x-1）][a-（x2+x+1）]=0，∴x=a+1或x2+x+1-a=0

因?yàn)樵匠逃星抑挥幸粋€(gè)實(shí)根，所以方程x2+x+1-a=0無實(shí)根。由△<0 ?∴1-4（1-a）<0即a<34。

【規(guī)律總結(jié)】此題順向思維不易解決，變換主元，使問題得以巧解達(dá)到創(chuàng)新的解法，令人耳目一新。

方法4：轉(zhuǎn)化法。（幾何問題可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，也可將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為線段比去解答）

【例4】如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥AF，AE交CB的延長線于E，連結(jié)EF交AB于G。

（1）求證：DF·FC=BG·CE;

（2）已知當(dāng)tan∠DAF=13時(shí)，△AEF的面積為10m2問當(dāng)tan∠DAF=23時(shí)，△AEF的面積是多少？

【分析】（1）由題設(shè)易證Rt△ADF≌Rt△ABEAF=AE，DF=BE，可證Rt△EBG∽R(shí)t△ECF，從而DF·FC=BG·CE。（2）由tan∠DAF=13，可設(shè)DF=x，AD=3x，則AE、AF都可由x表示，再根據(jù)ΔAEF的面積即可求得x的值，即得AD的值。

【證明】（略）

【規(guī)律總結(jié)】解此類問題時(shí)，若已知條件中合有角的三角函數(shù)值，可將其轉(zhuǎn)化為線段的比，這樣可使問題得到簡解。

方法5：等量轉(zhuǎn)換。（通過幾何，代數(shù)式的等量代換，使條件和結(jié)論能聯(lián)系一起，使問題易解決）

【例5】如圖，已知△ABC及AB邊上任意一點(diǎn)D，DE∥BC交AC于E，DEFG的邊GF在直線BC上，設(shè)DE=x，BC=a。

求證：DEFG的面積S不大于三角形ABC的面積的一半。

【分析】DEFG與△ABC兩圖形有一部分重疊，不易觀察面積的大小關(guān)系，如對(duì)DEFG作等積變換，改用△ABC內(nèi)的某個(gè)平行四邊形來觀察，則容易找到兩圖形的關(guān)系。

【證明】（略）

【規(guī)律總結(jié)】此題條件與結(jié)論之間的聯(lián)系比較隱蔽，可以通過幾何量的等量移動(dòng)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)暗為明的等量轉(zhuǎn)換。

通過以上形式多樣的訓(xùn)練，使學(xué)生從多種角度，不同方向去分析、思考問題，克服了思維定勢的不利因素，開拓思路，達(dá)到以點(diǎn)帶面，舉一反三，觸類旁通的目的，大大提高了解綜合題的能力。

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)