一類廣義非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)

張少勇 朱鵬

摘 要：將W.kirk最著名的結(jié)果：具有正規(guī)結(jié)構(gòu)自反的Banach空間關(guān)于非擴(kuò)張映射具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)，推廣到更加一般的映射形式，即：‖T（x）-T（y）‖≤a1（t）（d（x，y））‖x-y‖+a2（t）（d（x，y））‖x-T（x）‖+a3（t）（d（x，y））‖x-T（y）‖，其中∑3i=1ai（t）≤1，且ai（t）：（0，+∞）→（0，1）單調(diào)遞減， 研究了具有正規(guī)結(jié)構(gòu)自反的Banach空間關(guān)于上述映射具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：廣義非擴(kuò)張映射;正規(guī)結(jié)構(gòu);自反性;不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)

DOI：10.15938/j.jhust.2019.05.024

中圖分類號(hào)： O177. 3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2019）05-0145-04

Abstract：In this paper， the most famous result by W.kirk is that the non-expansive mapping has the fixed point property in a Banach space with normal structure reflexive is extended to a more general form of mapping，namely：‖T（x）-T（y）‖≤a1（t）（d（x，y））‖x-y‖+a2（t）（d（x，y））‖x-T（x）‖+a3（t）（d（x，y））‖x-T（y）‖， where ai（t）：（0，+∞）→（0，1） monotone decreases， a reflexive Banach space X with normal structure has the fixed point property for the mapping mentioned above.

Keywords：generalized non-expansive mapping; normal structure; reflexive; fixed point property

0 引 言

1912年，德國(guó)數(shù)學(xué)家Brouwer在運(yùn)用度理論在拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)上，證明了關(guān)于連續(xù)單值映射的一個(gè)著名的不動(dòng)點(diǎn)定理[1-6]。后來(lái)Schauder， Kakutani等人又相繼對(duì)Brouwer的結(jié)果進(jìn)行推廣[7-9]。

不動(dòng)點(diǎn)理論的研究一直都是數(shù)學(xué)研究的熱門問(wèn)題。許多年來(lái)，許多數(shù)學(xué)工作者通過(guò)各種方法不斷豐富不動(dòng)點(diǎn)理論，把單值壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理推廣到多值映射的情況[10-15]。20世紀(jì)初，Banach提出了著名的Banach壓縮映射原理。Banach壓縮映射的一種自然推廣是非擴(kuò)張映射，R.de Marr得到了一個(gè)關(guān)于非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)理論的重要結(jié)果，它是著名的Kakutani-Marko不動(dòng)點(diǎn)定理的推廣[16-19]。此后不久，Brouwer，Kirk，Petryshyn分別討論了定義在距離空間有界閉凸集上的非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)存在性，將其部分結(jié)果推廣到平均非擴(kuò)張映射的情形[20]。

1 預(yù)備知識(shí)

本文以X表示Banach空間。

定義1[21]? 映像T：X→X，若存在x*∈X，使得x*=T（x*），則稱x*為映像T的不動(dòng)點(diǎn)。

定義2[22]? 若C是X的非空有界閉凸子集，T：C→C。如果是指對(duì)于x，y∈C，有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖，則稱T為C到其自身的非擴(kuò)張映射。

定義3 稱Banach空間X具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)（FPP）是指定義在X每一個(gè)非空有界閉凸子集上的非擴(kuò)張自映射具有不動(dòng)點(diǎn)。稱Banach空間X具有弱不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)（WFPP）是指X上的每一個(gè)弱緊凸子集的非擴(kuò)張自映射具有不動(dòng)點(diǎn)。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1] 崔云安. Banach空間幾何理論及應(yīng)[M].北京：科學(xué)出版社，2011：31.

[2] 陳汝棟. 不動(dòng)點(diǎn)理論及應(yīng)用[M]. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2012，1：58.

[3] 張石生. 不動(dòng)點(diǎn)理論及應(yīng)用[M]. 重慶： 重慶出版社，1984.

[4] 姚永紅， 陳汝棟， 周海云. 非擴(kuò)張映象不動(dòng)點(diǎn)的迭代算法[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2007， 50（1）： 139.

[5] PATHAK H K， CHO Y J， KANG S M. An Application of Fixed Point Theorems in Best Approximation Theory[J]. International Journal of Mathematics & Mathematical Sciences， 2016， 21（3）： 467.

[6] CHANDOK S， KHAN M S， RAO KPR. Some Coupled Common Fixed Point Theorems for a Pair of Mappings Satisfying a Contractive Condition of Rational type Withoutmonotonicity[J]. International Journal of Mathematical Analysis， 2016， 7（9）： 433.

[7] L. C. ZENG， On the Existence of Fixed Points for Mappings of Asymptotically Nonexpansive Type[J]. J. Systems Sci. Complexity， 2004， 17： 188.

[8] 俞鑫泰. Banach空間幾何理論[M]. 上海： 華東師范大學(xué)出版社， 1986： 1.

[9] GOCKENBACH M S， KHAN AA. Identification of Lame Parameters in Linear Elasticity： a Fixed Point Approach[J]. Journal of Industrial & Management Optimization， 2017， 1（4）： 487.

[10]KOHLENBACH U， LEUSTEAN L. Asymptotically Nonexpansive Mappings in Uniformly Convex Hyperbolic Spaces[J]. European Mathematical Society， 2007，12： 71.

[11]SHIMIZU T，TSKAHASHI W. Fixed Points of Multivalued Nonexpansive Mappings in Certain Convex Metric spaces[J]. Topological Methods in Nonlinear Analysis， 1996， 8：197.

[12]ABBAS M， NAZIR T. Fixed Point of Generalized Weakly Contractive Mappings in Ordered Partial metric Spaces[J]. Fixed Point Theory and Applications， 2012， 2012（1）： 1.

[13]KOVACS L G， WALL G E.Involutory Automorphisms of Groups of Odd Order and Their Fixed Point Groups[J]. Nagoya Mathematical Journal， 2016， 27（1）： 55.

[14]Z GU， Y LI. Approximation Methods for Common Fixed Points of Meannonexpansive Mapping in Banach Spaces[J]. Fixed Point Theory & Applications， 2008， 2008（1）： 471.

[15]梁嘉寧， 黎永錦. 平均非擴(kuò)張映射的三種迭代收斂的等價(jià)性[J]. 內(nèi)蒙古師大學(xué)報(bào)（自然漢文版）， 2011， 40（6）： 575.

[16]KIRK W A. A Fixed Point Theorem for Mappings Which Do Not Increase Distances[J]. American Mathematical Monthly， 1965， 72（9）： 1004.

[17]張石生， 黃發(fā)倫. 關(guān)于Banach空間中平均非擴(kuò)張映象的不動(dòng)點(diǎn)理論[J]. 四川大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版， 1975（2）： 73.

[18]GARCIA FALSET J. Stability and Fixed Point Fornonexpansive Mappings[J]. Houston Journal of Mathematics， 1994， 20（3）： 842.

[19]BETIUK-PILARSKA A，WISNICKI A. On the Suzuki Nonexpansive-Type Mappings[J]. Annals of Functional Analysis， 2013， 4（2）：72.

[20]BENAVIDES T D. A Geometrical Coefficient Implying the Fixed Point Property and Stability Results[J]. Houston Journal of Mathematics， 1996 ， 22（4）： 835.

[21]J M Wang， LL Chen， Y A CUI. The Fixed Point Property of Mean Nonexpansive Mapping[J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University， 2006， 23（3）： 298.

[22]Z ZUO. Fixed Point Theorems for Meannonexpansive Mappings in Banach Spaces[J]. Abstract and Applied Analysis， 2014， 2014（13）： 1.

[23]BETIUK-PILARSKA A， BENAVIDES T D. The Fixed Point Property for Some Generalized Nonexpansive Mappings and Renormings[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2015， 429（2）： 800.

[24]KIM JK，PATHAK R P， DASHPUTRE S， et al. Fixed Point Approximation of Generalized Nonexpansive Mappings in Hyperbolic Spaces[J]. International Journal Journal of Mathemtics and Methematical Sciences， 2015， 2015：6.

[25]KRIK W A. Non-expansive Mappings in Product Spaces， Set-valued Mappings and K Uniform Rotundity// Browder F E. Nonlinear Functional Analysis and Its Application. Amer. Math. Soc. Symp. Pure Math， 1986， 45：51.

（編輯：王 萍）