指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的教學(xué)“三重視”*

徐永忠

目前，數(shù)學(xué)教學(xué)工作指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育已經(jīng)是許多教師的共識。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一朝一夕完成的，必須通過每節(jié)課中的概念、例題與習(xí)題的深入研究而完成。如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，下面談一些筆者的看法。

一、重視概念的形成過程，幫助學(xué)生從“學(xué)會”到“會學(xué)”

數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基石，不重視數(shù)學(xué)概念的形成過程等于沒有學(xué)數(shù)學(xué)。有不少教師不懂怎么教數(shù)學(xué)概念，還是采用“一個定義、三項(xiàng)注意，大量練習(xí)”的教學(xué)方式，教師不講概念產(chǎn)生的背景，學(xué)生不經(jīng)歷概念的抽象概括過程，只是依靠大量的解題訓(xùn)練強(qiáng)化概念。這種生吞活剝式的學(xué)習(xí)導(dǎo)致學(xué)生沒有真正弄懂概念的含義以及概念中所包含的思想方法。這種做法帶來的弊端很多，其中之一是學(xué)生失去了學(xué)習(xí)的樂趣。本來學(xué)習(xí)是一件快樂的事情，由于采取“粗魯”的教學(xué)方式，學(xué)生沒有經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，不能夠開展有深度的思維活動，也就失去了學(xué)習(xí)的樂趣。進(jìn)而其數(shù)學(xué)探究能力得不到培養(yǎng)，遇到新問題還是依賴記憶和模仿，面對新的概念或者稍微有點(diǎn)難度的問題往往束手無策。

當(dāng)前一些靠“死訄”的學(xué)校獲得了不錯的成績。不少學(xué)校的教師和學(xué)生誤認(rèn)為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是接受一大堆數(shù)學(xué)知識應(yīng)付高考。如果將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)僅僅作為升學(xué)的“敲門磚”，理解為“刷題”的數(shù)量和速度，那么這樣的學(xué)習(xí)是很痛苦的。即使高考獲得高分進(jìn)入名校，在高校的學(xué)習(xí)也會遇到很大的問題。

南京大學(xué)朱富海教授一直關(guān)注大學(xué)教育和大學(xué)生的狀況，時(shí)常困惑于學(xué)生暴露出來的問題，比如自學(xué)、主動探索和接受新知識等方面能力的欠缺。他認(rèn)為，這些問題，固然有大學(xué)教育不足的因素，但主要還是在中小學(xué)教育中逐漸累積下來的，并且根深蒂固。朱富海教授說：“在10 多年的大學(xué)教學(xué)生涯中，我看到很多大學(xué)生用中學(xué)的學(xué)習(xí)方式痛苦地學(xué)習(xí)大學(xué)課程。……原因何在？跟他們聊一聊就能發(fā)現(xiàn)問題：他們只會記憶定義和命題，并不會深入思考其中的內(nèi)涵，他們已經(jīng)習(xí)慣于在反復(fù)多次的學(xué)習(xí)后才能記住一個知識點(diǎn)，重復(fù)的次數(shù)不夠多效果就會很差；遇到問題根本不會分析，不知道從何下手；課上嘗試的引導(dǎo)對相當(dāng)一部分學(xué)生來說是沒有用的，因?yàn)樘剿鞑辉谒麄兊淖值淅??！保?］蘇霍姆林斯基曾說：用記憶代替思考，用背誦代替鮮明的感知和觀察，只會使學(xué)生變得愚蠢。

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組負(fù)責(zé)人王尚志教授提出，從“學(xué)會”到“會學(xué)”。“會學(xué)”就是落實(shí)的行動，“會學(xué)數(shù)學(xué)”主要表現(xiàn)在：會提出問題，會數(shù)學(xué)閱讀，會梳理知識，會表達(dá)反思等。他還指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是希望學(xué)生把數(shù)學(xué)最重要的東西變成自覺觀念，落實(shí)在應(yīng)用、學(xué)習(xí)中。［2］

例如在教“指數(shù)函數(shù)”這節(jié)內(nèi)容時(shí)，要教學(xué)生學(xué)會研究函數(shù)的一般方法，就要通過問題情境，從特殊到一般歸納提煉出指數(shù)函數(shù)的概念；接著要明確研究方向，尋找研究方法，從個別函數(shù)入手畫圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法歸納概括其性質(zhì)；最后運(yùn)用函數(shù)解決新問題。這樣做就經(jīng)歷了數(shù)學(xué)問題解決的一般過程：創(chuàng)設(shè)情境、提出問題；分析轉(zhuǎn)化、解決問題；運(yùn)用鞏固、內(nèi)化遷移；回顧反思、拓展問題。

指數(shù)函數(shù)是學(xué)生進(jìn)入高中階段后研究的第一個新函數(shù)，是對前面所學(xué)函數(shù)的概念、要素、單調(diào)性、奇偶性的一次實(shí)際體驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生學(xué)會了研究指數(shù)函數(shù)過程和方法之后，達(dá)到“會學(xué)”的程度時(shí)，就能夠?qū)罄m(xù)函數(shù)（對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）進(jìn)行自主探索，得到研究結(jié)論。這時(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)就得到提升。

“四基”“四能”只能通過“思維過程的教學(xué)”才能落實(shí)。這個“過程”是學(xué)生在教師的啟發(fā)下積極主動地理解數(shù)學(xué)知識的思維過程，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也只有在這樣的過程中才能得以實(shí)現(xiàn)。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，以恰時(shí)恰點(diǎn)的問題引導(dǎo)學(xué)生的思維活動，努力使學(xué)生經(jīng)歷研究一個數(shù)學(xué)對象的基本過程，在過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、發(fā)展數(shù)學(xué)能力。

二、重視解題的思路分析，幫助學(xué)生掌握思想方法

解題教學(xué)在高中階段占有較大的分量，從某種意義來說，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主體是解題教學(xué)，或者運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)概念去解題；通過數(shù)學(xué)解題深化對數(shù)學(xué)概念的理解、拓展數(shù)學(xué)定理的運(yùn)用等。所以在解題教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透和提煉，讓學(xué)生在解題中逐步掌握數(shù)學(xué)思想方法，這樣能使學(xué)生站得高、看得遠(yuǎn)，增強(qiáng)舉一反三的能力，減輕過重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

具體來說，在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解題思路的分析過程，而不是僅僅記住某些結(jié)論。即使某些結(jié)論在解題時(shí)作用比較大，教師也應(yīng)該帶著學(xué)生將這樣的結(jié)論認(rèn)真地證明一下，使學(xué)生明白其中的道理，這樣學(xué)生在使用時(shí)就能夠得心應(yīng)手。

在解析幾何中有不少結(jié)論，例如：一條直線與橢圓相交，則交點(diǎn)弦中點(diǎn)與對稱中心連線的斜率和這條交線的斜率乘積是定值。解題時(shí)直接使用看起來比較方便，但是如果學(xué)生只是死記硬背這個結(jié)論就可能造成這樣幾種情況：第一，如果命題者考的知識點(diǎn)就是學(xué)生平時(shí)直接使用的結(jié)論，那么這個知識點(diǎn)的分?jǐn)?shù)就拿不到了；第二，如果方程的形式變了，焦點(diǎn)在x 軸上的方程改成焦點(diǎn)在y 軸上的方程，這個時(shí)候，定值就可能搞錯，以至于整個題目解錯；第三，對于一些質(zhì)量高一點(diǎn)的問題，常常會考結(jié)論背后的數(shù)學(xué)思想方法以及需要注意的地方，如“點(diǎn)差法”在雙曲線中怎么使用，如果不注意相交的條件，就可能導(dǎo)致錯誤。所以一定要讓學(xué)生經(jīng)歷解題的思維過程，學(xué)生才能真正掌握這些知識以及這些知識背后的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)教育家波利亞在他的著作《怎樣解題》中提出解題的四個步驟：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧。每一個環(huán)節(jié)都很重要。我們往往看到的或者呈現(xiàn)出來的基本上都是第三個步驟。而第一個步驟和第四個步驟被忽略，其實(shí)解題思路的獲得更多依賴第一個步驟。

對于填空題，并不是只要填個答案就萬事大吉了。必須要弄清楚為什么是這個答案，應(yīng)該像做解答題一樣講清楚其中的來龍去脈。例如，高三一輪復(fù)習(xí)，“三角函數(shù)”部分有這樣一道題：設(shè)f（x）=a1sin2x+（a2-2）sinxcosx+cos2x（a12+a22≠0）。若無論x 為何值，函數(shù)f（x）的圖象總是一條直線，則a1·a2的值是________。

從學(xué)生的作業(yè)情況看，90%的學(xué)生用紅筆填了一個答案“2”。問他們?yōu)槭裁词恰?”，基本上沒有人能夠說出道理來。這個“2”源于參考答案，而參考答案沒有提供詳細(xì)的解答過程，學(xué)生很誠實(shí)，用紅筆寫出來。實(shí)際上要解決這道題必須要很熟悉數(shù)學(xué)概念，能準(zhǔn)確理解問題。真正做到這兩點(diǎn)，這道題就很容易解答了。

教學(xué)時(shí)，筆者問，對于“無論為何值，函數(shù)的圖象總是一條直線”怎么理解？學(xué)生回答，函數(shù)形式是變量一次式或者是常數(shù)時(shí)，圖象是直線。筆者接著提問，在這個問題中，可能是一次式嗎？這是一個關(guān)于變量x 的三角函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為一個角的一個三角函數(shù)，當(dāng)它的系數(shù)為0 時(shí)，該函數(shù)可能為常數(shù)。理解這一點(diǎn)后，解答這一問題就不是什么難事了。

概念中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)家的思維，它對學(xué)生學(xué)會思考的訓(xùn)練價(jià)值很大。概念是思維的細(xì)胞，概念清楚了，思維的基礎(chǔ)就有了。將概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)家思維展開，并用于訓(xùn)練學(xué)生，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的捷徑，也是提高高考成績的法寶。［3］

三、重視表達(dá)的規(guī)范要求，在精致表達(dá)中提升素養(yǎng)

現(xiàn)在很多學(xué)生忙于做作業(yè)，有些教師也抱著“為你好”的心態(tài)布置了不少的作業(yè)，認(rèn)為只要反復(fù)訓(xùn)練，就能夠“熟能生巧”，卻不重視學(xué)生解題時(shí)的規(guī)范表達(dá)。實(shí)際上數(shù)學(xué)解題是有一定規(guī)范要求的。規(guī)范的語言敘述應(yīng)步驟清楚、正確、完整、詳略得當(dāng)，言必有據(jù)。而有些學(xué)生只注重結(jié)論、忽視過程，還有些學(xué)生甚至隨意杜撰數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)術(shù)語，導(dǎo)致問題解決出現(xiàn)不該有的失誤。

對于學(xué)生規(guī)范表達(dá)習(xí)慣的培養(yǎng)，教師一定要給予重視。因?yàn)閿?shù)學(xué)是講理的，具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。表達(dá)能力有口頭表達(dá)和書面表達(dá)，這兩種表達(dá)方式各有優(yōu)勢，比較而言，口頭表達(dá)往往有“滑過”的現(xiàn)象，書面表達(dá)則不同，必須經(jīng)得住推敲，書面表達(dá)影響更大一些。江蘇省特級教師馮衛(wèi)東在《為“真學(xué)”而教》一書中說：“寫作是最好的學(xué)習(xí)。囿于我的經(jīng)驗(yàn)，想不出還有什么方法、途徑比寫作更能豐富個人的內(nèi)涵，砥礪個人的思想，增長個人的智慧，提升個人的品位?！薄皼]有寫作也無以發(fā)生深度的學(xué)習(xí)：不管在哪種意義上，寫作都是最好的學(xué)習(xí)?！保?］數(shù)學(xué)寫作也是最好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式之一。

數(shù)學(xué)寫作水平是學(xué)生多種能力的體現(xiàn)。從開始將思考的問題、研究的結(jié)論等羅列出來到能夠有條理地表達(dá)，需要下一番功夫。這主要由數(shù)學(xué)寫作的特性所決定。

數(shù)學(xué)寫作是數(shù)學(xué)思維能力的外在表現(xiàn)形式。一個人的數(shù)學(xué)思維能力如何，是通過口頭交流與書面表達(dá)來呈現(xiàn)的。即使是口頭交流，除了即興發(fā)言（也要先打腹稿），正式的交流都需要先寫出文稿來，可見書面表達(dá)是多么的重要。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力（特別是邏輯推理能力）體現(xiàn)在數(shù)學(xué)寫作上，就是要做到言而有據(jù)。

數(shù)學(xué)寫作是需要來源的，也就是數(shù)學(xué)寫作不可能憑空杜撰，必須和反思、探究、實(shí)踐等創(chuàng)造性的思維活動相結(jié)合。這些動手、動腦的活動為數(shù)學(xué)寫作提供了材料，而數(shù)學(xué)寫作為呈現(xiàn)這些數(shù)學(xué)活動提供了平臺。

數(shù)學(xué)寫作能夠改善學(xué)生的情感。數(shù)學(xué)寫作一方面能夠?qū)⒅袑W(xué)生欲說的話表達(dá)出來，體現(xiàn)其學(xué)習(xí)的心理狀態(tài)和學(xué)習(xí)能力，另一方面還能夠起到情感宣泄、交流溝通等作用。有利于改善中學(xué)生的心理狀態(tài)，培養(yǎng)積極的情感，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力。

核心素養(yǎng)的培育倡導(dǎo)學(xué)科融合，“數(shù)學(xué)寫作”的實(shí)驗(yàn)恰恰體現(xiàn)了這種融合。數(shù)學(xué)寫作使學(xué)生學(xué)會了字斟句酌、學(xué)會了精致表達(dá)，核心素養(yǎng)潛移默化地得到了提升。數(shù)學(xué)寫作是新課程落實(shí)培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有力抓手。［5］

教師要循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)寫作能力，可以指導(dǎo)學(xué)生寫解題的思維過程，表達(dá)“怎么想到的”“為什么這么做”；可以寫問題的不同解法，也就是一題多解，表達(dá)學(xué)生思維的不同角度；還可以指導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或者數(shù)學(xué)建模活動，將過程記錄下來；等等。

綜上，教師需要認(rèn)真設(shè)計(jì)教學(xué)流程，抓住合適的教學(xué)契機(jī)，布置恰當(dāng)?shù)膶?shí)踐活動，使學(xué)生在問題解決中反思、感悟，同時(shí)開展數(shù)學(xué)寫作活動，在寫作的過程中，學(xué)生就會不斷反思、推敲，促進(jìn)學(xué)科素養(yǎng)的生成。