用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的簡潔計(jì)算方法

楊威　高淑萍

【摘要】用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形問題是線性代數(shù)的重要知識點(diǎn)，其計(jì)算非常煩瑣.本文針對特殊二次型，給出了特征值快速求法、特征向量快速求法，并用待定系數(shù)法替換傳統(tǒng)的施密特法實(shí)現(xiàn)向量的正交化.熟練掌握這些方法后，解決此類問題的時間將大大減少，提高了學(xué)習(xí)效率.

【關(guān)鍵詞】二次型;特征值和特征向量;施密特正交化法

一、引 言

線性代數(shù)是高等學(xué)校理、工、農(nóng)、經(jīng)、管等專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，它不僅是數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，而且也是自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具.線性代數(shù)概念抽象且計(jì)算煩瑣，給剛?cè)雽W(xué)的大學(xué)生帶來很大的學(xué)習(xí)壓力.本文針對特殊的二次型，給出了一個用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的簡潔計(jì)算方法.

用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形問題考查了學(xué)生“求行列式”“解方程組”“求特征值特征向量”“矩陣相似對角化”及“二次型”等知識點(diǎn)，該問題貫穿了線性代數(shù)的所有知識，所以它成為線性代數(shù)的?？碱}型，甚至是必考題型.

六、結(jié) 論

本文通過三道例題介紹了三種簡潔的計(jì)算方法，需要注意以下問題.

第一，“特征值的快速求法”要求矩陣A的結(jié)構(gòu)為：主對角線全為a，其余元素全為b.該方法能進(jìn)一步推廣出“行列式的快速求法”.

第二，“特征向量快速求法”首先要求矩陣A是n階實(shí)對稱陣，其次要求矩陣A有一個n-1重特征值和一個1重特征值.該方法不需要任何計(jì)算，可以直接寫出答案.

第三，“待定系數(shù)正交化法”是求單個齊次線性方程正交基礎(chǔ)解系的一個方法，該方法與施密特法計(jì)算結(jié)果一致.因篇幅有限，本文只介紹了三元齊次方程組的情況.

當(dāng)熟練掌握以上方法后，針對特殊二次型，即可快速解決“用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形”問題，大大提高了學(xué)習(xí)效率.

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊威.線性代數(shù)名師筆記[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2014：198-215.

[2]楊威.線性代數(shù)輔導(dǎo)講義[M].北京：電子工業(yè)出版社，2011：174-181.