初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用探究

黃金輝

（成都市龍泉驛區(qū)四川師大附屬第一實(shí)驗(yàn)，四川 成都 610000）

本文以數(shù)學(xué)教學(xué)為切入點(diǎn)，分析數(shù)形結(jié)合思想的特點(diǎn)，從以數(shù)助形與以形助數(shù)等方面，探討初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用策略，旨在為學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升予以參考。

一、數(shù)形結(jié)合思想的特點(diǎn)

基礎(chǔ)教育課程改革背景下，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)有所提高，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與綜合能力的培養(yǎng)。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中一種常用的思想，是指通過有效結(jié)合代數(shù)與幾何相關(guān)知識解決數(shù)學(xué)問題。初中階段，形象性、直觀性與雙向性是數(shù)形結(jié)合思想具有的特點(diǎn)，而利用圖形的形象性對隱藏在圖形中的數(shù)據(jù)的聯(lián)系進(jìn)行揭示，以及使用代數(shù)闡述函數(shù)圖像的性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合思想的兩種主要應(yīng)用思路。

在初中階段數(shù)學(xué)問題解答過程中，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，借助形象的圖形與相應(yīng)數(shù)據(jù)對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推導(dǎo)，利用圖形的直觀性與生動性等優(yōu)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念與圖像之間的轉(zhuǎn)化，綜合使用數(shù)量關(guān)系與圖形，從而幫助學(xué)生形成形象思維，提升初中生對數(shù)學(xué)問題的分析與解答能力。例如在二次函數(shù)的教學(xué)中，考慮到數(shù)形結(jié)合思想對學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的積極作用，數(shù)學(xué)教師依托具體的二次函數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行相關(guān)問題的推導(dǎo)與解答，借助圖形反映二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)，使用代數(shù)闡述二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，幫助學(xué)生理解二次函數(shù)的圖形的變化規(guī)律，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用策略

（一）以數(shù)助形

構(gòu)建數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生更加系統(tǒng)地認(rèn)識數(shù)與形，深入了解數(shù)學(xué)問題。使用代數(shù)闡述函數(shù)圖像的性質(zhì)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的一種思路，可以幫助初中學(xué)生理解比較抽象的數(shù)學(xué)概念，以數(shù)助形，解決幾何與函數(shù)的綜合性問題。初中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中使用數(shù)形結(jié)合思想的以數(shù)助形這一思路去解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，需要借助數(shù)將圖形補(bǔ)充完整，深入挖掘圖形中的更多信息，如圖形隱含的條件，充分利用幾何圖形中的有用信息，分析問題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的簡單化，借助幾何圖形找出相關(guān)數(shù)學(xué)問題的正確解題思路，利用代數(shù)解決有關(guān)函數(shù)圖像的問題，以提升學(xué)生解題的效率與正確率，夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

以函數(shù)問題的解答為例，“有邊長分別為1 與2 的兩個等邊三角形，最開始兩個等邊三角形的左邊相重合，大三角形固定不動，小三角形向右平移直至移出大三角形為止。設(shè)小三角形移動的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，請畫出y 關(guān)于x 的函數(shù)圖像。”

解題思路：在解答上述題目時(shí)，依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想中的以數(shù)助形理念，結(jié)合題目給出的已知條件，學(xué)生可以先畫出兩個三角形以及小三角形移動的軌跡，在畫y 關(guān)于x 的圖像時(shí)表示出“x ＜1”時(shí)y 的圖像。根據(jù)題目給出的已知條件可知，在1 ＜x ≤2 時(shí)，重疊三角形的邊長為2-x 且高為，由此計(jì)算出兩個三角形重疊部分的面積為y=x2-x+，從而求出y 的函數(shù)解析式并畫出函數(shù)圖像。

利用數(shù)形結(jié)合思想的以數(shù)助形理念，革新傳統(tǒng)的解題思路，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已知條件與所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，將復(fù)雜的函數(shù)問題簡單化，系統(tǒng)整理函數(shù)問題的解題思路，從而幫助學(xué)生掌握這類數(shù)學(xué)問題的解題方法。

（二）以形助數(shù)

幾何與代數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，初中數(shù)學(xué)教材對概念的表述比較抽象，而初中學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對比較薄弱，對抽象數(shù)學(xué)知識的理解難度較大。從數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況來看，直觀生動的圖形符合初中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也更容易理解。對于比較抽象的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中利用直觀的圖形加以輔助，可以更準(zhǔn)確地找出問題考察的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，將問題看得一清二楚，更快速地理清問題的解題思路，這也凸顯出數(shù)形結(jié)合思想的以形助數(shù)方法。學(xué)生在解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題過程中，引入函數(shù)圖像與數(shù)軸等直觀的圖形，使用以形助數(shù)的方法，直觀呈現(xiàn)相關(guān)數(shù)以及數(shù)的變化，簡化解題過程，從而提升學(xué)生的解題效率。

以函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)為例，“已知二次函數(shù)y1=x2+bx+c 的圖像與一次函數(shù)y2=kx+m 的圖像相較于點(diǎn)A（-2，4），B（8，2），則能使x2+bx+c ＞kx+m成立的x 的取值范圍是多少？”

解析：在上述問題解答過程中，學(xué)生根據(jù)題目給出的已知條件，可以直接將A與B兩點(diǎn)帶入函數(shù)中解出b與c等系數(shù)，但這種解題思路比較傳統(tǒng)。學(xué)生可以運(yùn)用以形助數(shù)的方法進(jìn)行上述二次函數(shù)問題的解題，將復(fù)雜的問題簡單化。

解題思路：根據(jù)已知條件，學(xué)生可以先依據(jù)A 與B 兩點(diǎn)坐標(biāo)畫出一次函數(shù)的圖像，使用數(shù)形結(jié)合思想的以形助數(shù)方法，理清解答上述二次函數(shù)的思路，再經(jīng)過A 與B 兩點(diǎn)畫出二次函數(shù)的大致圖像。通過分析函數(shù)值y1 大于函數(shù)值y2 時(shí)圖像的樣子，得出y1 的圖像在y2 的上面這一結(jié)論，據(jù)此找出滿足題目要求的x 的取值范圍。借助以形助數(shù)的方法可以幫助學(xué)生將抽象的問題直觀化，使解題過程更加嚴(yán)謹(jǐn)周密，有助于提升學(xué)生的解題能力。

結(jié)束語：

新課改背景下，將數(shù)形結(jié)合思想滲透到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，優(yōu)化傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，充分利用代數(shù)與幾何相結(jié)合的優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握以數(shù)助形的理念與以形助數(shù)的方法，學(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決抽象且復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，簡化解題過程，保證學(xué)生解題效率與正確率的提升。