可壓縮Navier-Stokes方程組的真空問題及研究進(jìn)展

郭真華,李自來,辛周平

(1.西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127;2.河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 焦作 454000;3.香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究所,香港 新界 沙田)

1 引言

流體力學(xué)方程組是描述流體運(yùn)動(dòng)、發(fā)展、演化規(guī)律的宏觀模型,根據(jù)質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒等定律推導(dǎo)而來.這類模型在現(xiàn)代應(yīng)用科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用,可以刻畫管道中液體流動(dòng)、大氣流動(dòng),洋流、飛行器周圍的氣流等現(xiàn)象.可壓縮Navier-Stokes方程組是一個(gè)比較典型的流體力學(xué)方程組,它們充分體現(xiàn)了流體力學(xué)方程組的特點(diǎn)和研究難點(diǎn).從數(shù)學(xué)角度看,可壓縮Navier-Stokes方程組是一個(gè)非線性雙曲型方程與非線性拋物型方程組成的耦合方程組.由于方程組具有強(qiáng)非線性和退化性,使得這類方程組的研究極具困難.正因?yàn)槿绱?可壓縮流體力學(xué)方程組長(zhǎng)期以來吸引了許多數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家的極大興趣和關(guān)注.

一般地,在區(qū)域??RN(N≥1表示空間維數(shù))上的等熵可壓縮Navier-Stokes方程組可寫成如下形式:

其中ρ和U=(u1,···,uN)分別表示流體的密度和速度,e為內(nèi)能,q為熱通量,而 T為柯西應(yīng)力張量,牛頓流體時(shí)其具有如下形式:

這里,μ和λ是粘性系數(shù)且滿足

“:”記為張量的數(shù)量積,即

為T粘性部分.

當(dāng)S為?U的線性函數(shù)時(shí),稱為牛頓流,例如空氣,水.當(dāng)S為?U的非線性函數(shù)時(shí),稱為非牛頓流,例如硅.

由于未知函數(shù)個(gè)數(shù)多于方程組個(gè)數(shù)(N+2方程,2N+3個(gè)未知函數(shù)),方程組(1)-方程組(2)不封閉.要封閉狀態(tài)方程組,需要利用狀態(tài)方程(由熱力學(xué)理論得出,四個(gè)變量ρ,θ,e,P,一旦兩個(gè)變量被確定,余下兩個(gè)變量是已確定兩個(gè)變量的函數(shù))

其中,θ為絕對(duì)溫度.由此看出方程組(1)-方程組(2)是封閉的,未知函數(shù)是(ρ,U,θ).

本文為了簡(jiǎn)單起見,只考慮多方理想氣體(例如空氣,二氧化碳):

由 Fourier定律知,q=?κ?θ,κ>0 常數(shù).則(1)式-(2)式對(duì)未知量(ρ,U,θ)構(gòu)成完備方程組.注意(1)3式可改寫成

上式表明,熵的增加是由粘性和熱傳導(dǎo)引起的耗散效應(yīng)引起的.如果忽略(4)式中的耗散和熱傳導(dǎo)效應(yīng),則

再由質(zhì)量方程可得

因此,沿流線且在光滑解處有

稱此種流為“等熵流”.由(3)式可知

于是(1)1式和(1)2式構(gòu)成一對(duì)(ρ,U)的方程組,即等熵可壓縮Navier-Stokes方程組

流體是大自然中司空見慣的一種物質(zhì),如水,石油等,當(dāng)然空氣也可以看作一種特殊的流體.真空的含義是指在給定的空間內(nèi)低于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的氣體狀態(tài),是一種物理現(xiàn)象.在“虛空”中,聲音因?yàn)闆]有介質(zhì)而無法傳播,但電磁波的傳播卻不受真空的影響.對(duì)于流體而言,一特定空間內(nèi)部的部分物質(zhì)被排出,使其壓力小于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓,則通稱此空間為真空或真空狀態(tài).也可以簡(jiǎn)單表述為流體中有一部分的物質(zhì)被排出,流體的密度在這個(gè)地方為零.對(duì)于流體力學(xué)方程,如Navier-Stokes方程組,歐拉方程組,若容許密度函數(shù)為零,研究在此種情形下流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,特別是真空狀態(tài)的變化情況而提出的問題,都可以稱為真空問題.

真空的出現(xiàn)和消失都與Navier-Stokes方程組解的正則性相關(guān).因此即便初邊值中沒有真空,一般情況高維可壓縮Navier-Stokes方程組不能保證在有限的時(shí)間內(nèi)不產(chǎn)生真空,只有在非真空附近小振蕩時(shí)才有全局正則解.因此高維真空狀態(tài)可否在有限的時(shí)間內(nèi)形成是一個(gè)令人關(guān)注的問題.特別是,若初始密度包含一片真空時(shí),由于在真空區(qū)域里無法定義流體的速度,此時(shí)在真空區(qū)域Navier-Stokes方程本身是否正確仍沒有確定答案.事實(shí)上,對(duì)于一維粘性常系數(shù)的可壓縮Navier-Stokes方程組的Cauchy問題,Ho ff和Smoller[1]證明了若初始不包含真空,以后也不會(huì)產(chǎn)生真空現(xiàn)象.David Ho ff和Denis Serre[2]證明了一維可壓縮Navier-Stokes方程組物理弱解在真空區(qū)域收斂到一個(gè)非物理意義的弱解.此弱解表明,在真空出現(xiàn)時(shí),一維可壓縮Navier-Stokes方程組的物理解不必連續(xù)依賴于它們的初始數(shù)據(jù).這些研究表明,真空問題有著獨(dú)特的現(xiàn)象有待發(fā)現(xiàn),而且此后我們認(rèn)識(shí)到刻畫真空狀態(tài)從物理角度看最合理的模型是自由邊值問題.此時(shí),可壓縮Navier-Stokes方程組具有如下特點(diǎn):

(a)它是一個(gè)混合型方程組:雙曲型方程和拋物型方程的耦合,而雙曲型方程有很強(qiáng)的奇異性;

(b)密度函數(shù)為零時(shí),方程組和邊界條件都出現(xiàn)了退化現(xiàn)象;另外還可能存在密度集中的可能;

(c)方程里有若干復(fù)雜的非線性項(xiàng),以及實(shí)際問題還可能涉及復(fù)雜的邊界條件,這使得方程組有非常強(qiáng)的非線性性質(zhì).

正是上述種種困難,使得真空問題的研究具有極大的挑戰(zhàn)性.在1980年Matsumura A.及其合作者關(guān)于初始遠(yuǎn)離真空的平衡態(tài)附近小擾動(dòng)的可壓縮Navier-Stokes方程組全局弱解存在性結(jié)果[3-4]得到以后,直到1998年才由Lions P.將其結(jié)果推廣到可壓縮Navier-Stokes方程組包含真空時(shí)的情形.他的結(jié)果容許初始密度有真空,初始動(dòng)量和密度可以任意大.這是一個(gè)非常重要的結(jié)果,建立了一個(gè)全新的弱解存在性的證明框架,引起了廣泛的關(guān)注.從此,一大批涉及真空的問題開始引起數(shù)學(xué)學(xué)家和物理學(xué)家的關(guān)注,真空問題的研究取得了一系列重要進(jìn)展.

2 主要研究進(jìn)展

正如上文所述,真空狀態(tài)的存在帶來了極大的研究困難,但其研究結(jié)果表明理論研究更加接近物理中流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,蘊(yùn)含了許多新的現(xiàn)象,也暴露了通常所采取的研究模型:粘性系數(shù)約定為常數(shù)的可壓縮Navier-Stokes方程組有一定的局限性.

例如,Ho ffD.和Serre D.(見文獻(xiàn)[2],一維)以及辛周平和袁洪君的結(jié)果(見文獻(xiàn)[5],三維球?qū)ΨQ)都揭示了若初始狀態(tài)有真空,這個(gè)真空區(qū)域可以一直存在下去.這個(gè)結(jié)果與現(xiàn)實(shí)生活現(xiàn)象及物理觀察不符.后來,利用修正的可壓縮Navier-Stokes方程組,即粘性系數(shù)依賴于密度的可壓縮Navier-Stokes方程組,辛周平,李海梁和李競(jìng)在文獻(xiàn)[5]中證明了一維情形下這個(gè)初始真空狀態(tài)一定會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)消失.對(duì)于初始沒有真空的時(shí)候,Ho ff和Smoller在文獻(xiàn)[1]證明了一維粘性常系數(shù)的可壓縮Navier-Stokes方程組以后也不會(huì)產(chǎn)生真空現(xiàn)象.對(duì)于粘性系數(shù)依賴于密度的可壓縮Navier-Stokes方程組,郭真華,李海梁和李自來在文獻(xiàn)[7]中也證明了同樣的結(jié)果.

因此,從實(shí)際研究結(jié)果看,流體粘性的作用不容忽視.但是在早期開展研究時(shí),往往先從簡(jiǎn)單情形入手.下面將從粘性系數(shù)為常數(shù)以及粘性系數(shù)依賴于密度的可壓縮Navier-Stokes方程組的真空問題這兩個(gè)方面的研究出發(fā),全面梳理真空問題的研究脈絡(luò),特別對(duì)粘性系數(shù)依賴于密度的可壓縮Navier-Stokes方程組真空問題的相關(guān)研究作一個(gè)較為詳細(xì)的介紹,希望能給讀者關(guān)于真空問題的較為全面的了解.

2.1 粘性系數(shù)為常數(shù)的情形(即μ,λ為常數(shù))

當(dāng)粘性系數(shù)為常數(shù)時(shí),關(guān)于Navier-Stokes方程組(7)解的全局存在性及長(zhǎng)時(shí)間行為的研究已有大量文獻(xiàn).一維的結(jié)果已相當(dāng)完善(參見文獻(xiàn)[1,8-13]).關(guān)于高維等熵可壓縮Navier-Stokes方程組(7),當(dāng)初值不包含真空時(shí),Itaya,Nash,Serrin和Tani在文獻(xiàn)[14-17]證明了經(jīng)典解局部適定性.當(dāng)初始值在非真空常狀態(tài)附近時(shí),高維等熵可壓縮Navier-Stokes方程組的經(jīng)典解整體適定性也得到證明(參見文獻(xiàn)[3-4,18-23]).

當(dāng)初值包含真空時(shí),為了克服退化引起的困難,韓國(guó)數(shù)學(xué)家Choe H.J.和Kim H.引進(jìn)了一個(gè)相當(dāng)巧妙的相容性條件(文獻(xiàn)[24-29]),證明了經(jīng)典解或強(qiáng)解的局部適定性.對(duì)于任意大初值,最主要突破由Lions[30]得到.當(dāng)絕熱系數(shù)時(shí),Lions利用弱收斂的方法得到了弱解的整體存在性.接著,Feireisl,Novotny,Petzeltov在文獻(xiàn) [31-33]把 Lions的結(jié)果推廣到.江松,張平在文獻(xiàn)[34]中證明了球?qū)ΨQ弱解的整體存在性(γ≥1).江松和張平[35],孫文俊,江松和郭真華[36]分別得到了軸對(duì)稱和螺旋對(duì)稱整體弱解的存在性.最近,在壓力不是熱力學(xué)穩(wěn)定的和各向異性應(yīng)力張量的條件下,Bresch和Jabin[37]利用緊性理論的方法得到了弱解的整體存在性.

Lions和Feireisl[30-33]的整體弱解最主要限制是初始總能量是有限的,因此,密度函數(shù)可以在無窮遠(yuǎn)處消失或密度函數(shù)有緊支集.而關(guān)于弱解的結(jié)構(gòu)信息很少,特別地,整體弱解正則性及唯一性仍是一個(gè)公開問題.但是辛周平[38]證明了當(dāng)初始密度函數(shù)有緊支集時(shí),熱傳導(dǎo)系數(shù)為零的非等熵可壓縮Navier-Stokes方程組Cauchy問題的任意屬于空間

的經(jīng)典解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破.其結(jié)果對(duì)等熵可壓縮Navier-Stokes方程組成立.Rozanova[39]把文獻(xiàn)[38]中初始密度函數(shù)有緊支集的假設(shè)推廣到密度函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處衰減比較快.最近,辛周平和閆偉[40]去掉了文獻(xiàn)[38]中初始密度函數(shù)有緊支集和初始總能量有限的假設(shè),即允許初始含有真空.然而辛周平和閆偉[40]的爆破結(jié)果并不適用于三維等熵可壓縮Navier-Stokes方程組的Cauchy問題.當(dāng)初始值包含真空,甚至有緊支集,黃祥娣,李競(jìng)和辛周平[41]在小能量假設(shè)下證明了三維經(jīng)典解整體存在性與唯一性.隨后,李競(jìng)和辛周平[42]把這一結(jié)果推廣到二維Cauchy問題.

從以上數(shù)學(xué)結(jié)果來看,真空帶來的退化和奇性給非線性偏微分方程理論提出了前所未有的挑戰(zhàn).從物理角度來講,若沒有外力作用,流體連接真空的自由邊界如何運(yùn)動(dòng)?真空運(yùn)動(dòng)的機(jī)制亟待我們?nèi)ヌ骄?事實(shí)上,早在2000年,羅濤,辛周平和楊彤[43]以及Ho ff[44](2002年)給出了氣體和真空之間的界面附近解的正則及漸近行為.對(duì)于粘性系數(shù)為常數(shù)的等熵可壓縮Navier-Stokes方程組自由邊值問題,此時(shí)自由邊界也可能出現(xiàn)真空狀態(tài).Nishida和 Okada在文獻(xiàn)[45-46]中證明了當(dāng)一邊界固定,另一邊界連接到真空時(shí),一維Navier-Stokes方程組弱解的整體存在性,但它們區(qū)域都不包含球心.Okada和Makino在文獻(xiàn)[47]中對(duì)于球?qū)ΨQ情形得到類似的結(jié)果.值得注意的是Okada和Makino[47]考慮的是外區(qū)域{r|1≤r≤a(t)}及退化邊界條件ρ(a(t),t)=0.郭真華和李自來[48]在包含球心區(qū)域{r|0≤r≤a(t)}及跳躍邊界條件假設(shè)下,證明了自由邊值問題球?qū)ΨQ弱解的整體存在性.

2.2 粘性系數(shù)依賴于密度的情形(即μ=μ(ρ),λ=λ(ρ))

粘性系數(shù)依賴于密度的明確提法始于劉太平,辛周平和楊彤的文章[49],這篇文章引起了廣泛的關(guān)注,帶動(dòng)了一大批數(shù)學(xué)工作者開展有關(guān)流體真空問題的研究.

這里,首先解釋一下等熵可壓縮Navier-Stokes方程組(7)中粘性系數(shù)μ和λ依賴于密度ρ的原因.在氣體動(dòng)力學(xué)理論中,當(dāng)從Boltzmann方程組通過Chapman-Enskog二階展開導(dǎo)出Navier-Stokes方程組時(shí)(參見文獻(xiàn)[50-51]),在推導(dǎo)過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)其粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)都依賴于溫度θ.

這里ai(i=1,2,3)為常數(shù)(參見文獻(xiàn) [50]).事實(shí)上,對(duì)于截?cái)喾醋饔昧δＰ?如果分子勢(shì)能為r?a(r是分子間的距離),則

即θ=AR?1ργ?1,從而粘性系數(shù)依賴于溫度轉(zhuǎn)化為粘性系數(shù)依賴于密度.

當(dāng)研究初始密度含真空的問題時(shí),由于粘性系數(shù)依賴密度的可壓縮Navier-Stokes方程組在真空區(qū)域會(huì)出現(xiàn)粘性項(xiàng)消失引起方程組發(fā)生退化變型,這使得有關(guān)整體解的適定性,漸近性態(tài)等基礎(chǔ)性問題的數(shù)學(xué)研究變得極其困難.另外在地球物理學(xué)中,研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)所用的很多數(shù)學(xué)模型是與粘性系數(shù)依賴于密度的Navier-Stokes方程組相似的.如在等熵可壓縮 Navier-Stokes方程組(7)中取N=2,μ(ρ)=ρ,λ(ρ)=0和γ=2時(shí),其結(jié)果正是淺水波的Saint-Venant系統(tǒng).

下面,按照粘性系數(shù)μ和λ依賴于密度的不同情形分別予以介紹.

2.2.1 粘性系數(shù)μ為常數(shù),λ依賴于密度(λ=λ(ρ))

粘性系數(shù)μ和λ中,僅λ依賴于密度函數(shù)的等熵可壓縮 Navier-Stokes方程組(又稱Kazhikhov-Vaigant模型)可以描述為:

這里ρ和U=(u1,···,uN)分別表示流體的密度和速度,P=ργ(γ>1)為壓強(qiáng),μ為粘性系數(shù),λ(ρ)=ρβ且滿足

1995年,Vaigant和Kazhikhov[52]首次提出這一模型,所以又稱之為Kazhikhov-Vaigant模型.當(dāng)初值遠(yuǎn)離真空且β>3時(shí)在周期區(qū)域上證明了二維經(jīng)典解的整體適定性[52].Perepelitsa[53]在β=γ>3時(shí),證明了弱解的整體存在性及長(zhǎng)時(shí)間行為.最近,對(duì)任意大且包含真空的初值,當(dāng)β>3且滿足相容性條件,酒全森,王益和辛周平[54]在二維周期區(qū)域上證明了經(jīng)典解的整體適定性,這是模型(8)關(guān)于初值包含真空的第一個(gè)結(jié)果.之后,這一結(jié)果被黃祥娣和李競(jìng)[55]推廣到情形.接著,在β>3條件下,酒全森,王益和辛周平[56]及黃祥娣和李競(jìng)[57]分別證明了對(duì)任意包含真空初值的二維Cauchy問題整體光滑解存在性和唯一性.粗略地說,文獻(xiàn)[56]在速度上加權(quán),而文獻(xiàn)[57]則在密度上加權(quán).之后,酒全森,王益和辛周平[58]把文獻(xiàn)[56-57]的結(jié)果推廣到初值不包含真空情形.Ducomet和Necasova[59]證明了二維初邊值問題光滑解整體適定性,但這里不是一般的Dirichlet邊界條件,而是渦度類型邊界條件.而對(duì)于Kazhikhov-Vaigant模型在一般的Dirichlet邊界條件下解的整體適定性仍是一個(gè)公開問題.

最近,李海梁,辛周平和張興偉[60]在β>1條件下證明了二維球?qū)ΨQ自由邊值問題整體強(qiáng)解的存在性唯一性及長(zhǎng)時(shí)間性態(tài).由于模型(8)的粘性系數(shù)依賴于密度而導(dǎo)致的復(fù)雜的非線性結(jié)構(gòu),類似三維情形的結(jié)果仍是一個(gè)公開問題.于是,郭真華,王梅和王益[61]考慮了三維球?qū)ΨQCauchy問題的弱解的整體存在性.后來,王梅,李自來和郭真華在文獻(xiàn)[62]中還證明了三維自由邊值問題在跳躍邊界條件下球?qū)ΨQ弱解的整體存在性.

2.2.2 粘性系數(shù)μ和λ均依賴于密度(即μ=μ(ρ),λ=λ(ρ))

假設(shè)流體具有有限質(zhì)量,忽略外力和地球重力的影響,流體由于自身分子的作用,流體將會(huì)呈現(xiàn)一種自由流動(dòng)的狀態(tài).此時(shí),數(shù)學(xué)上我們將賦予方程組一個(gè)自由邊值條件.按照流體在邊界上是否包含真空狀態(tài),將自由邊值條件分為兩類:跳躍邊界條件和連續(xù)邊界條件.特別是連續(xù)邊界條件,流體在邊界上也出現(xiàn)退化,與初始真空帶來的退化結(jié)合,給問題的研究帶來非常大的困難.一維情形較為容易處理,結(jié)果比較完善.高維情形非常復(fù)雜,只有部分進(jìn)展.這方面的研究一直方興未艾.

下面從一維和高維兩種情形分別予以說明.

(i)一維情形

(a)跳躍邊界條件

一維粘性系數(shù)依賴于密度的等熵Navier-Stokes方程組的自由邊值問題:

其中(ξ,τ)∈?={(ξ,τ)|a(τ)≤ξ≤b(τ),τ>0},且滿足如下初值條件:

和邊值條件

這里ρ,υ分別表示流體的密度和速度,P=P(ρ)為壓強(qiáng),μ(ρ)=ρθ為粘性系數(shù).對(duì)于多方理想流體情形,即

這里a(τ),b(τ)為自由邊界,定義如下:

和

由質(zhì)量守恒可得

為了方便,通常假設(shè)

在Lagrange坐標(biāo)下,處理自由邊值問題更為方便.為此,引入Lagrange坐標(biāo)變換

這把區(qū)域 [0,T]×[a(τ),b(τ)]變成 [0,T]×[a,b],且滿足

自由邊值問題(1)-問題(3)變成

(x,t)∈[0,1]×[0,T],初邊值條件變成

和

當(dāng)粘性系數(shù)μ和λ依賴于密度時(shí),由于粘性系數(shù)依賴密度的可壓縮Navier-Stokes方程組在真空區(qū)域會(huì)出現(xiàn)粘性項(xiàng)消失引起方程組發(fā)生退化變型,這使得有關(guān)整體解的適定性,漸近性態(tài)等基礎(chǔ)性問題的數(shù)學(xué)研究變得極其困難.考慮一維粘性流體流體在自由邊界處跳躍連接真空且粘性系數(shù)μ=cρθ時(shí),劉太平,辛周平和楊彤在文獻(xiàn) [49]和 Makino在文獻(xiàn) [63]中得到了Navier-stokes方程組弱解的局部存在性.Okada,MatuNeasov和Makino在文獻(xiàn)[64]中,在的條件下用類似于文獻(xiàn)[65]的方法證明了弱解的整體存在性和唯一性.緊接著,楊彤,姚正安和朱長(zhǎng)江在文獻(xiàn)[66]中得到條件下弱解的整體存在性.之后,這個(gè)結(jié)果被江松,辛周平和張平在文獻(xiàn)[67]中推廣到了0<θ<1的情形.秦緒龍,姚正安和趙會(huì)江在文獻(xiàn)[68]中推廣到0<θ≤1的情形.郭真華,江松和謝峰在文獻(xiàn)[69]中推廣到更一般情形

且γ>1.最后,朱長(zhǎng)江[70]在θ>0的假設(shè)下第一個(gè)證明了密度函數(shù)關(guān)于時(shí)間的漸進(jìn)行為和衰減率估計(jì).

(b)退化邊界條件

對(duì)于退化邊界條件,即邊界條件(16)變成如下邊界條件:

關(guān)于初始密度連續(xù)連接到真空狀態(tài)的自由邊值問題,楊彤和趙會(huì)江[71]在

條件下,證明了弱解的局部存在性.楊彤和朱長(zhǎng)江[72]得到了時(shí)弱解的整體存在性.之后,Vong,楊彤和朱長(zhǎng)江[73]以及方道元和張挺[74]分別得到了0<θ<1/3和0<θ<1時(shí)弱解的整體存在性.郭真華,朱長(zhǎng)江在文獻(xiàn)[75]中推廣到更一般情形

最后,郭真華和朱長(zhǎng)江[76]在θ>0的假設(shè)下第一個(gè)證明了密度函數(shù)關(guān)于時(shí)間的漸進(jìn)行為和衰減率估計(jì).

(c)初邊值條件

李海梁,李竟和辛周平在文獻(xiàn)[6]中證明了當(dāng)

時(shí),在Dirichlet邊界條件

和周期邊界條件下,弱解的整體存在性以及對(duì)任意熵弱解,真空在有限時(shí)間內(nèi)消失.

對(duì)于全空間三維球?qū)ΨQ初值問題,方道元和張挺等[77-78]針對(duì)外力作用或與波松方程耦合時(shí)弱解的存在性及解的長(zhǎng)時(shí)間行為展開了研究.

(ii)高維情形

在高維情形下，粘性系數(shù)依賴于密度時(shí)，有以下幾個(gè)非常困難的問題:一是如何構(gòu)造近似解.若保持熵估計(jì)的結(jié)構(gòu)性條件,近似系統(tǒng)的設(shè)計(jì)非常重要.二是解的正則性提升問題.這里主要是真空奇性帶來的挑戰(zhàn).三是緊性證明中真空狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.最近,李競(jìng)和辛周平在文獻(xiàn)[79]中對(duì)上述問題給出了一個(gè)完美的答案.

下面對(duì)高維研究進(jìn)展作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹.

(a)高維問題研究概述

高維粘性系數(shù)依賴于密度等熵可壓縮Navier-Stokes方程組

其中

或者

如果μ(ρ),λ(ρ)滿足

第一個(gè)結(jié)果是 Bresch,Desjardins和 Lin[80]對(duì) Korteweg系統(tǒng)(帶有 Korteweg壓力張量κρ?△ρ)證明了弱解的L1穩(wěn)定性.之后,Bresch和Desjardins[81]將這一結(jié)果推廣到消失毛細(xì)血管項(xiàng)(κ=0)但增加了二次摩擦項(xiàng)rρ|U|U.由于Bresch,Desjardins和Lin的BD熵不等式提高了密度函數(shù)正則性,Mellet和Vasseur[82]利用控制ρu2的L∞(0,T;LlogL(?))型不等式證明了可壓縮Navier-Stokes方程組弱解的L1穩(wěn)定性.把文獻(xiàn)[80-81]相應(yīng)的L1穩(wěn)定性結(jié)果推廣到

然而,雖然L1穩(wěn)定性是證明弱解存在性最重要一步,但Korteweg系統(tǒng)和高維粘性依賴與密度的Navier-Stokes方程組弱解存在性仍是一個(gè)公開問題.其主要困難在于怎么構(gòu)造滿足L1穩(wěn)定性的逼近解,使之滿足L1穩(wěn)定性所需要的能量估計(jì)、BD熵不等式、Mellet-Vasseur型不等式.由于粘性系數(shù)在真空上的退化性和構(gòu)造的逼近解必須滿足熵不等式,這樣似乎是很困難的.值得指出的是Bresch和Desjardins在文獻(xiàn)[83]中構(gòu)造了二維帶有毛細(xì)血管項(xiàng)淺水波方程組逼近解,并且證明了全局弱解的存在性,但是他們構(gòu)造逼近解的方法對(duì)沒有毛細(xì)血管項(xiàng)模型及高維粘性依賴與密度的Navier-Stokes方程組并不適用.郭真華,酒全森和辛周平在文獻(xiàn)[84]中利用Bresch,Desjardins和Lin的BD熵不等式研究了有界區(qū)域上的粘性系數(shù)依賴于密度且滿足(21)的三維可壓縮Navier-Stokes方程組的球?qū)ΨQ弱解的存在性,這是關(guān)于高維粘性系數(shù)依賴于密度的可壓縮Navier-Stokes方程組弱解整體存在性的第一個(gè)結(jié)果.隨后,郭真華,李海梁和辛周平在文獻(xiàn)[85]中進(jìn)一步研究了具有間斷邊值條件的粘性系數(shù)依賴于密度的高維等熵可壓縮Navier-Stokes方程組的自由邊值問題的球?qū)ΨQ弱解的存在性和解的長(zhǎng)時(shí)間行為,證明了它同樣具有拉格朗日結(jié)構(gòu),內(nèi)部正則性和邊界正則性.同時(shí),郭真華和辛周平在文獻(xiàn)[86]中對(duì)于退化和跳躍兩類邊界分別構(gòu)造了幾類特殊形式的解析解.最近,李競(jìng)和辛周平[79]在

下,證明了粘性系數(shù)依賴于密度的等熵可壓縮Navier-Stokes方程組在二維周期區(qū)域T2和全空間R2或者三維周期區(qū)域T3和全空間R3弱解的整體存在性.Vasseur和俞成[87]在二維周期區(qū)域T2和三維周期區(qū)域T3,粘性系數(shù)滿足

三維粘性系數(shù)依賴于密度的等熵可壓縮Navier-Stokes方程組弱解的整體存在性.

對(duì)于高維粘性系數(shù)依賴于密度的等熵可壓縮Navier-Stokes方程組(7),這里的粘性系數(shù)

當(dāng)δ=1,初始密度在無窮遠(yuǎn)處為真空時(shí),李亞純,潘榮華和朱圣國(guó)[88](朱圣國(guó)[89])證明了二(三)維經(jīng)典正則解的局部適定性.當(dāng)1<δ時(shí),李亞純,潘榮華和朱圣國(guó)[90]證明了三維經(jīng)典正則解的局部適定性,最近當(dāng)1<δ時(shí),辛周平和朱圣國(guó)[91]證明了三維正則經(jīng)典解的整體適定性.當(dāng)0<δ<1時(shí),辛周平和朱圣國(guó)[92]證明了三維經(jīng)典正則解的局部適定性.而對(duì)于當(dāng)0<δ<1時(shí),三維經(jīng)典正則解的整體適定性仍有待解決.

(b)物理真空現(xiàn)象的研究

對(duì)于自由邊值問題的邊界條件可以分為跳躍邊界條件和連續(xù)邊界條件,而對(duì)于連續(xù)邊界條件又可分為光滑連續(xù)到真空和Hlder連續(xù)到真空.物理真空是引力場(chǎng)作用到運(yùn)動(dòng)的流體上時(shí)在邊界上形成的真空狀態(tài),這時(shí)自由邊值問題的邊界條件為H?lder連續(xù)連接到真空.即,聲速

在真空邊界是C1/2-H?lder連續(xù)的.換句話說,物理真空主要是由場(chǎng)引起的,但數(shù)學(xué)上,有無場(chǎng)的存在,這類真空邊界總是存在的.當(dāng)然,物理真空可以通過不同的物理系統(tǒng)(例如,帶阻尼的 Euler方程組,Euler-Poisson方程組和液化星球的 Navier-Stokes-Poisson方程組)的自相似解和穩(wěn)態(tài)解來了解.物理真空(粘性流體和真空的界面)模型可以用下述的可壓縮Navier-Stokes-Poisson方程組的真空自由邊值問題來刻畫:

其中ρ和u分別表示密度和速度,D和ψ應(yīng)力張量和重力勢(shì)能,具有如下形式:

和

這里G為重力常數(shù),I3為3×3單位矩陣,p為壓強(qiáng),μ為剪切粘性系數(shù),λ為體積粘性系數(shù).

由于聲速在真空邊界附近的強(qiáng)退化性,得到可壓縮Navier-Stokes-Poisson方程組的真空自由邊值問題解的高階偏導(dǎo)數(shù)的正則性是一難題.當(dāng)粘性系數(shù)為常數(shù)和粘性系數(shù)依賴于密度時(shí),Jang[93]和段琴[94]證明了可壓縮Navier-Stokes-Poisson方程組(22)的真空自由邊值問題強(qiáng)解局部適定性.在物理學(xué)中,最重要的是證明解的整體高階正則性以便更深刻地認(rèn)識(shí)解的大時(shí)間性態(tài).羅濤,辛周平和曾慧慧[95]證明了當(dāng)時(shí)粘性液體星球Lane-Emden解的非線性漸進(jìn)穩(wěn)定性.同時(shí),羅濤,辛周平和曾慧慧[96]考慮了當(dāng)時(shí)粘性系數(shù)依賴于密度的粘性液體星球Lane-Emden解的非線性漸進(jìn)穩(wěn)定性.相比張挺和方道遠(yuǎn)[77]的結(jié)果,這一結(jié)果適用更廣的粘性系數(shù)形式.Jang和Tice[97]證明了當(dāng)時(shí)粘性液體星球Lane-Emden解的非線性漸進(jìn)不穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[98]研究了Lane-Emden解的線性穩(wěn)定性.

很顯然,除去上述結(jié)果外,物理真空問題提出了許許多多的研究課題有待我們?nèi)ソ鉀Q.

3 公開問題

?毫無疑義,Lions P.文中的弱解在含有真空時(shí)的唯一和正則性是一個(gè)令人關(guān)注的重要問題！這個(gè)問題即使對(duì)定常情形也都是公開的！

?真空的出現(xiàn)和消失都與Navier-Stokes方程組解的正則性相關(guān).因此,即使初邊值中沒有真空,一般情況下真空問題的研究都不可避免,只有小振蕩時(shí)才有全局正則解.因此高維真空可否在有限時(shí)間形成是一個(gè)公開問題.

?關(guān)于李競(jìng)和辛周平[79]及Vasseur和俞成[87]的整體弱解的正則性和唯一性一直沒有得到解決.一方面,無論在文獻(xiàn)[79]還是在文獻(xiàn)[87]中，證明弱解整體存在性時(shí),都需要粘性系數(shù)滿足特殊關(guān)系式(λ(ρ)=ρμ′(ρ)?μ(ρ))以保證 BD 熵不等式成立.對(duì)于任意粘性系數(shù),粘性系數(shù)不滿足上述特殊關(guān)系式,等熵可壓縮Navier-Stokes方程組弱解的整體存在性是一個(gè)公開問題.另一方面,對(duì)于高維粘性系數(shù)依賴于密度的等熵可壓縮Navier-Stokes方程組(7),當(dāng)粘性系數(shù)為

形式時(shí),由于可以包含淺水波模型(λ(ρ)=μ(ρ)=ρ),無論是否有小性要求(如初始能量小,或在某個(gè)平衡態(tài)的小擾動(dòng)等),因其研究具有重要的物理應(yīng)用前景而令人關(guān)注.相關(guān)問題,譬如經(jīng)典解的整體存在性問題,解的長(zhǎng)時(shí)間行為等,也引起了大家的研究興趣.

?對(duì)于粘性系數(shù)依賴于溫度的非等熵可壓縮Navier-Stokes方程組的研究,除了一些小性假設(shè)結(jié)果[99-100],其他結(jié)果很少,毫無疑問這個(gè)問題的研究將面臨一個(gè)巨大的挑戰(zhàn).