資產(chǎn)價(jià)格序列分析中的隨機(jī)擾動(dòng)探究

陳金林 張學(xué)謙

摘要：隨機(jī)擾動(dòng)在資產(chǎn)價(jià)格序列分析中具有特別重要的作用，區(qū)分其表現(xiàn)形式和性質(zhì)不管在理論上還是在實(shí)踐中都具有較大的意義。本文通過分析穩(wěn)定的和非穩(wěn)定的價(jià)格序列中隨機(jī)擾動(dòng)的作用，發(fā)現(xiàn)其在不同狀態(tài)中的形式和性質(zhì)各有特點(diǎn)。特別是，隨機(jī)擾動(dòng)在隨機(jī)趨勢(shì)價(jià)格序列中具有的表現(xiàn)，使得隨機(jī)趨勢(shì)與確定性趨勢(shì)在圖形上很形似，但是統(tǒng)計(jì)性質(zhì)非常不同。隨機(jī)擾動(dòng)的作用在一定程度上影響了我們對(duì)隨機(jī)趨勢(shì)和確定性趨勢(shì)的有效區(qū)別。

Abstract： Random perturbations play a particularly important role in the analysis of asset price sequences. It is of great significance to distinguish their manifestations and properties， both in theory and in practice. This paper analyzes the effects of random perturbations in stable and unstable price series and finds that their forms and properties have different characteristics in different states. In particular， the performance of random perturbations in a series of stochastic trend prices makes the stochastic trend and the deterministic trend very similar in graphics， but the statistical properties are very different. The effect of random perturbations has affected our effective distinction between random and deterministic trends to a certain extent.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)擾動(dòng);確定趨勢(shì);隨機(jī)趨勢(shì);短暫沖擊;持久影響

Key words： random perturbation;determined trend;random trend;short-term impact;lasting impact

中圖分類號(hào)：F01? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1006-4311（2019）36-0269-03

1? 引言和文獻(xiàn)綜述

自資產(chǎn)價(jià)格出現(xiàn)那一刻起，人們就沒有停止過對(duì)其研究，它是較早被人們進(jìn)行實(shí)證分析的經(jīng)濟(jì)變量之一。從已有的文獻(xiàn)看，一般是通過資產(chǎn)價(jià)格序列進(jìn)行的。這種序列最顯著的特征有兩點(diǎn)：其一，與“時(shí)間”緊密相關(guān)，序列按照時(shí)間自然排序。其二，隨著時(shí)間的變化，價(jià)格序列相互之間可能存在相關(guān)性，展示出各種各樣的動(dòng)態(tài)路徑。價(jià)格間可能存在的動(dòng)態(tài)關(guān)系表明即期價(jià)格的變化，會(huì)對(duì)未來一期或者多期的變量本身或者其他變量產(chǎn)生影響。

分析價(jià)格序列的文獻(xiàn)非常多，通常用確定性模型來描述價(jià)格序列或者其收益率。有一個(gè)共同的特點(diǎn)是，在確定性模型后面引入隨機(jī)擾動(dòng)，這也是幾乎有的回歸模型共有的。高鐵梅等（2016）認(rèn)為，人們解釋隨機(jī)擾動(dòng)的出現(xiàn)歸于以下幾個(gè)原因，主要是無論模型如何復(fù)雜，也不能將對(duì)因變量產(chǎn)生影響的所有因素都找到合適的解釋變量包含到模型中。同時(shí)，測(cè)量誤差也是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所包含的另外一個(gè)因素。因此，在實(shí)證研究中，利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度量經(jīng)濟(jì)指標(biāo)以完全表達(dá)經(jīng)濟(jì)理論中定義的變量是很困難的。①這應(yīng)該表達(dá)了大多數(shù)學(xué)者的看法，畢竟建立的模型不可能是完美的。李子奈和李鯤鵬（2009）指出，引入隨機(jī)擾動(dòng)，并不是為了掩蓋確定性模型的不足之處。如果未被解釋的隨機(jī)擾動(dòng)并不是真正的不能解釋的因素，模型就是不適當(dāng)?shù)摹Ｒ腚S機(jī)因素后，對(duì)預(yù)期結(jié)果的描述從確切的表述轉(zhuǎn)化為可能性的描述，除非有占優(yōu)證據(jù)，要不很難否定隨機(jī)模型。②這從模型本身的準(zhǔn)確性方面指出了隨機(jī)擾動(dòng)引入的必要性。

我們認(rèn)為，在任何實(shí)證模型分析中引入隨機(jī)擾動(dòng)是非常重要的。隨機(jī)擾動(dòng)不是掩蓋模型不足的遮羞布，而是模型重要的組成部分。本文論述了隨機(jī)擾動(dòng)在資產(chǎn)價(jià)格序列分析中具有特別重要的作用，發(fā)現(xiàn)區(qū)分其表現(xiàn)形式和性質(zhì)不管在理論上還是在實(shí)踐中都具有重要意義。

2? 隨機(jī)擾動(dòng)和價(jià)格序列模型

考慮到時(shí)間域T內(nèi)價(jià)格變化的影響通常不是瞬間產(chǎn)生的，因此，對(duì)于穩(wěn)定序列，我們用下面式（1）描述價(jià)格序列。（1）

我們對(duì)資產(chǎn)價(jià)格序列{yt}定義：被解釋變量yt是被解釋變量n期滯后值的函數(shù)。式中，f（·）用來表示任意的一般函數(shù)，？啄是常數(shù)，？著t是一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)過程。

Cramer在1961年證明任何一個(gè)時(shí)間序列都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項(xiàng)式?jīng)Q定的確定性趨勢(shì)部分;另一部分是平穩(wěn)的零均值部分。因此我們可以理解回歸分析的本質(zhì)在于，被解釋變量yt可以被分解為兩個(gè)部分：有規(guī)律的部分和隨機(jī)擾動(dòng)部分。對(duì)于式（1）而言，yt的有規(guī)律的部分的均值是

式（2）本身并不是隨機(jī)的，因?yàn)樗且粋€(gè)數(shù)學(xué)期望值。

yt的隨機(jī)擾動(dòng)部分是：？著t，其表達(dá)式設(shè)定為：

我們整理式（3），可以得到如下回歸模型：

被解釋變量yt可以用n個(gè)滯后量作為解釋變量的部分和隨機(jī)擾動(dòng)部分？著t來解釋。

數(shù)值上由式（3）表明，yt和隨機(jī)擾動(dòng)部分？著t只相差非隨機(jī)擾動(dòng)部分即均值部分給定隨機(jī)項(xiàng)的期望值為：

即，給定yt的滯后值，隨機(jī)擾動(dòng)部分的均值為0。

由于yt和？著t之間僅差一個(gè)均值（即一個(gè)非隨機(jī)的因素），則

就是說，yt和？著t具有相同的方差。因此，除了因?yàn)榫挡煌鹞恢貌煌?，yt和？著t的概率密度是相同的。

如上所述，對(duì)一個(gè)資產(chǎn)價(jià)格序列，總存在式（1）這樣的模型描述它。雖然現(xiàn)階段我們可能找不到它，但是并不能否認(rèn)其存在。由的非隨機(jī)性，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)？著t是我們認(rèn)識(shí)價(jià)格序列的關(guān)鍵變量。

3? 隨機(jī)擾動(dòng)的形式和性質(zhì)

人們通過研究，發(fā)現(xiàn)在時(shí)間域T內(nèi)，價(jià)格序列的表現(xiàn)形式大致有兩種：一種情況，價(jià)格序列是平穩(wěn)的。價(jià)格可能是常數(shù)，或者價(jià)格統(tǒng)計(jì)上是平穩(wěn)的。一種情況，價(jià)格序列是非平穩(wěn)的，顯示出隨時(shí)間增長(zhǎng)的趨勢(shì)，可能具有確定性趨勢(shì)，或者具有隨機(jī)趨勢(shì)。

①價(jià)格序列平穩(wěn)時(shí)，如果價(jià)格為常數(shù)c，表示在時(shí)間域T內(nèi)不發(fā)生任何變化。隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的均值為0，其方差也是0。任何沖擊或者新息都不會(huì)對(duì)價(jià)格產(chǎn)生影響。由于下列等式成立：

②如果價(jià)格序列在統(tǒng)計(jì)上是平穩(wěn)的，根據(jù)式（1）則有下列等式成立。

就是說，序列的均值與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的均值只相差一個(gè)常數(shù)？滋。對(duì)平穩(wěn)序列而言隨機(jī)擾動(dòng)之間的協(xié)方差為0，就是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)為有限方差。則

因此有

且{？著t}獨(dú)立同分布，

人們通常用下面的非齊次隨機(jī)一階差分方程來表示穩(wěn)定的價(jià)格序列。

其中非齊次部分？啄+？著t由常數(shù)？啄和純隨機(jī)擾動(dòng)過程？著t構(gòu)成。給定初始值y0，再通過對(duì)隨機(jī)一階差分方程的逐次替代，在一段有限的、較長(zhǎng)的時(shí)間后，我們得到下式

其中， {yt}與時(shí)間相關(guān)的成分消失了。因此有

因應(yīng)用幾何級(jí)數(shù)的求和公式得到常數(shù)方差

同理可得

由上可以看出，隨機(jī)擾動(dòng)是描述價(jià)格波動(dòng)的最主要的因素，在穩(wěn)定的價(jià)格序列的分析中有著舉足輕重的作用，并不是模型中可有可無或者任意引入的變量。

當(dāng)式（1）描述的是平穩(wěn)價(jià)格序列中的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的表現(xiàn)形式和特點(diǎn)時(shí)，集合{？著t}的數(shù)值之間沒有任何相關(guān)性，是一個(gè)純隨機(jī)擾動(dòng)的、沒有任何記憶的序列，過去的行為對(duì)將來的擾動(dòng)項(xiàng)的影響非常有限。它是我們進(jìn)一步分析非平穩(wěn)序列的基礎(chǔ)。

③當(dāng)價(jià)格序列的數(shù)據(jù)生成過程為非平穩(wěn)的確定性趨勢(shì)過程中時(shí)，式（1）由確定性趨勢(shì)

和平穩(wěn)隨機(jī)擾動(dòng)過程？著t組成。由于價(jià)格序列僅僅代表其隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，因此我們僅能分析處理一些特殊形式的非平穩(wěn)過程。假設(shè)序列的均值是時(shí)間t的函數(shù)。{yt}由確定性時(shí)間趨勢(shì)t所主導(dǎo)，并主導(dǎo)均值的變化。均值不再為常數(shù)，而是和有時(shí)間有關(guān)的一個(gè)數(shù)值。式（1）可以變?yōu)?/p>

其中，ut是一個(gè)穩(wěn)定的隨機(jī)擾動(dòng)過程。根據(jù)式（5），我們得到

可知隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是均值為0，有限方差為？滓2的穩(wěn)定過程，并且{ut}非獨(dú)立同分布。由于該過程的方差為常數(shù)，因此其實(shí)現(xiàn)值圍繞確定性趨勢(shì)的幅度為有限值。隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的沖擊只有暫時(shí)性效果，不會(huì)改變確定性趨勢(shì)的方向。

我們也可以設(shè)定為以下較為熟悉的趨勢(shì)穩(wěn)定過程

其中，rt表示了時(shí)間序列{yt}中的確定性趨勢(shì)。隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的表現(xiàn)形式、作用和性質(zhì)相同。

④如果價(jià)格序列的生成過程為非穩(wěn)定的隨機(jī)趨勢(shì)過程，式（1）可以變?yōu)槿缦滦问?/p>

其中ut為穩(wěn)定的隨機(jī)擾動(dòng)過程。給定初始值y0，由式（7）對(duì)yt不斷向后迭代，可得

除開yt的一階矩與隨機(jī)擾動(dòng)無關(guān)外，其二階矩為

在非穩(wěn)定的隨機(jī)趨勢(shì)過程中，當(dāng)≠0時(shí)，其均值與確定性趨勢(shì)的變化相同，均跟隨時(shí)間的變化而變化，不再為常數(shù)。不過它的非平穩(wěn)性主要來自依賴于時(shí)間的方差和協(xié)方差。當(dāng)？啄=0時(shí)，E[yt]=0，隨機(jī)趨勢(shì)過程是均值平穩(wěn)的，但是其與平穩(wěn)過程圍繞均值波動(dòng)不同，由于隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的作用的不同，非平穩(wěn)過程基本不會(huì)出現(xiàn)均值的回歸。

同時(shí)，yt的表現(xiàn)受確定性趨勢(shì)（y0+？啄t）和隨機(jī)擾動(dòng)趨勢(shì)∑ui這兩個(gè)非平穩(wěn)成分的影響。在隨機(jī)擾動(dòng)趨勢(shì)∑ui中，每個(gè)ui沖擊都將對(duì)yt的均值產(chǎn)生持久的影響。沖擊或新息是解釋價(jià)格序列中短期及其長(zhǎng)期變化的一個(gè)顯著部分。

4? 結(jié)論

在不穩(wěn)定的價(jià)格序列分析中，我們已經(jīng)知道隨機(jī)擾動(dòng)的表現(xiàn)形式和特點(diǎn)有很大的不同。在確定性趨勢(shì)中，隨機(jī)擾動(dòng)所產(chǎn)生的沖擊或新息的影響是短暫的，對(duì)長(zhǎng)期趨勢(shì)沒有影響。在隨機(jī)趨勢(shì)中，價(jià)格數(shù)據(jù)的生成過程從本質(zhì)上來講是純隨機(jī)的，每個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)形成的沖擊或新息對(duì)價(jià)格序列產(chǎn)生持久的效應(yīng)。在穩(wěn)定的價(jià)格序列中，隨機(jī)擾動(dòng)的作用是有限的，這和不穩(wěn)定的具有確定趨勢(shì)中的隨機(jī)擾動(dòng)的作用相似。

但是確定趨勢(shì)的價(jià)格序列和隨機(jī)趨勢(shì)的價(jià)格序列從圖形上看很相似，盡管都含有確定性的時(shí)間趨勢(shì)，但是它們有非常不同的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，尤其隨機(jī)擾動(dòng)的表現(xiàn)形式很不相同，在資產(chǎn)價(jià)格上的應(yīng)用也不一樣，區(qū)分價(jià)格序列分析中的隨機(jī)擾動(dòng)在理論上和實(shí)踐上都具有重要意義。

注釋：

①高鐵梅，等。計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模：Eviews應(yīng)用及實(shí)例（第3版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016（69-70）。

②李子奈，李鯤鵬.關(guān)于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的討論[J].統(tǒng)計(jì)研究，2009（2）：63。

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