圓環(huán)上以多項(xiàng)式為符號的Toeplitz算子的亞正規(guī)性

尚 巍，關(guān) 印，張 楠

關(guān)于Bergman空間上的亞正規(guī)Toeplitz算子的研究，主要都集中在圓盤上或者單連通區(qū)域上.In Sung Hwang和Jongrak Lee給出了圓盤上Bergman空間上Toeplitz算子的亞正規(guī)性的必要條件的刻畫［1］.Jongrak Lee和Youho Lee給出了圓盤上加權(quán)Bergman空間上以多項(xiàng)式為符號的Toeplitz算子亞正規(guī)的充分必要條件［2］.Jongrak Lee給出了圓盤上加權(quán)Bergman空間上以多項(xiàng)式為符號的塊Toeplitz算子亞正規(guī)的充分必要條件［3］.C Cowen對Hardy空間上的Toeplitz算子的亞正規(guī)性給出了充分必要的刻畫［4］.

1 預(yù)備知識

記 L∞(Ω)為由關(guān)于dA的本性有界可測函數(shù)構(gòu)成的Banach空間，P是從L2(Ω)到(Ω)的正交射影，對任意的z,ω∈Ω，圓環(huán)Ω上的再生核定義為為正規(guī)化的再生核.則對任意的中 N≥1為某一固定的自然數(shù)，0≤i≤N-1，的復(fù)數(shù)序列.

定義1 設(shè)φ∈L∞(Ω )，以φ為符號的Toeplitz算子定義為

以φ為符號的Hankel算子定義為Hφf=(I -P)(φ f )，f∈L(Ω ).其中，I為 L2(Ω)上的恒等算子.

定義2若T為Hilbert空間上的有界線性算子，滿足T*T-TT*≥0，則稱T為亞正規(guī)算子.

命題1 設(shè) f,g為Ω上有界解析函數(shù)，則下述條件等價：①Tf+gˉ是亞正規(guī)算子.②HHfˉ≥Hgˉ.③ 對 于 任 意 h(z )∈ L2(Ω ) ，有

引理1 設(shè) p，q是整數(shù)，則

2）由引理1和本題的1）直接計(jì)算可得.

2）類似于引理3的證明.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè) f(z)=amzm+aNzN,g(z)=a-mzm+a-NzN(0 ＜m＜N ) ，若Tf+gˉ是亞正規(guī)算子，則

證明 1）若Tf+gˉ為亞正規(guī)算子，由命題1中的③可得，當(dāng)h(z)=1時，有‖f‖≥‖g‖，而

進(jìn)而1）可得.由1）的結(jié)論，2）和3）的結(jié)論顯然成立.

另一方面

從而，綜合（1）式和（2）式，有

同理可計(jì)算

綜上

3 結(jié)論

本文的研究內(nèi)容是對前人研究的一個推廣，主要體現(xiàn)在3個方面.①可以將Bergman空間推廣到其它函數(shù)空間，如調(diào)和Bergman等函數(shù)空間.②考慮將圓環(huán)推廣到雙圓盤或者多連通區(qū)域進(jìn)行研究.③將圓環(huán)上Bergman空間上的亞正規(guī)Toeplitz算子問題推廣到塊Toeplitz算子上得出相應(yīng)結(jié)論.