一類薛定諤-泊松方程解的存在性

王麗麗，龐翰禹

近年來(lái)，眾多學(xué)者采用變分法來(lái)鉆研泛函極值問(wèn)題，并且已經(jīng)涉獵到了無(wú)窮維空間上的非線性泛函問(wèn)題.臨界點(diǎn)理論是變分法的理論基礎(chǔ)，它在證明解的存在性以及解的個(gè)數(shù)時(shí)都是最好的理論工具.在鉆研薛定諤方程、泊松方程以及薛定諤-泊松方程時(shí)，學(xué)者們利用臨界點(diǎn)理論中的山路引理、噴泉定理以及環(huán)繞定理來(lái)解決解的存在性問(wèn)題，不僅取得了豐富的成果，而且其研究也促進(jìn)了非線性泛函在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的快速發(fā)展.

本文主要探究下面的薛定諤-泊松方程

解的存在性,其中3≤p＜5，a與V分別為?3上的連續(xù)函數(shù).

迄今為止，諸多學(xué)者探究了薛定諤-泊松方程解的存在性，其中比較全面的研究可參考文獻(xiàn)［1-7］.余曉輝［1］運(yùn)用山路引理討論了薛定諤-泊松方程

至少含有一個(gè)非平凡解.Chen H Y和Liu S B［2］假設(shè)位勢(shì)項(xiàng)V滿足以下條件：

（V1）V(x)∈C(?3,?),V(x)下方有界，且對(duì)于任意M ＞0，都有 μ(V-1(-∞,M])＜∞，其中，μ是?3上的Lebesgue測(cè)度.

本文主要是研究帶有函數(shù)V(x)和變號(hào)權(quán)a(x)時(shí)的薛定諤-泊松方程（1）解的存在性，這也是本文的創(chuàng)新點(diǎn)之一.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1［3］（山路引理）設(shè) E 是Banach空間，I∈C1(E,?)滿足

1）I(0)=0 ，存在 ρ ＞0 ，使得 I?Bρ(0)≥ α ＞0 ；

令Γ是E中聯(lián)結(jié)0與η的道路的集合，即Γ={g∈C[0,1],E)|g(0)=0,g(1)=1}，

定義1（(PS)c序列） 設(shè)E是Banach空間，c∈R為給定的實(shí)數(shù).若存在序列{un}?E，使得I(un)→c，I′(un)→0 ，則稱序列{un}是在c水平集的一個(gè)(PS)c序列.

定義2（(PS)c條件） 設(shè)E是Banach空間，如果對(duì)于E中任何點(diǎn)列{un}，只要{I(un)}有界，且 I(un)→0(n→∞)，則{un}必有收斂子列，稱I∈C1(E,?)滿足（PS）c條件.

定理1 假設(shè)以下條件（V）及（a）成立：

（V）V(x)∈C(?3,?),V(x)≥1且對(duì)于任意M ＞0，都有 μ(V-1(-∞,M])＜∞ ，其中，μ 是 ?3上的Lebesgue測(cè)度；

2 主要結(jié)果

2.1 泛函結(jié)構(gòu)

由Riesz表示定理知，對(duì)于任意固定的u∈H1(?3)，存在唯一的 φu∈D1,2(?3)，使得 φu滿足泊松方程-Δφ=u2，則方程（1）便可表示成含有一個(gè)變量的方程［8］

于是求解薛定諤-泊松方程（1）等價(jià)于求解方程（3），方程（3）的解為對(duì)應(yīng)能量泛函

的臨界點(diǎn).

因?yàn)??q∈[2,2*]，E連續(xù)嵌入到由E連續(xù)嵌入到.由 H?lder不等式及C‖u‖4.

引 理 2 定 義 Φ：H1(?3)→D1,2(?3),u→

1）Φ是連續(xù)的且Φ是將有界集映射到有界集；

2）若在E中{un}有界且un弱收斂于u,則

證明 1）證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)［7］中引理2.1.

2） 由 于 φun弱 收 斂 于 φu，則 有

下面往證 ∫?3φun|un-u2|dx→0,n→∞.根據(jù)Sobolev不等式及H?lder不等式，有以下不等式成立

又由于

2.2 （PS）c條件

引理3 泛函I滿足（PS）c條件

證明 設(shè){un}?E是（PS）c序列，則對(duì)于c∈R,有 I(un)→c,I′(un)→0(n→∞).

于是有

又因?yàn)?I′(un)un=o(1)‖un‖，則

由（5）和（6）得

于是有

又由于

從而有

故 有 ‖un‖→ ‖u ‖ ,即 在E中 有un→u(n→∞).假設(shè)un不收斂于u,則‖un‖＜‖u‖.又根 據(jù) 條 件此不等式與等式（7）矛盾，所以有un→u(n→∞).

2.3 定理1的證明

下面分兩步來(lái)找到I(u)的臨界點(diǎn).首先證明存在 ρ＞0,α＞0 ，使得 I(u)≥α 成立，其中?u∈E,‖u‖=ρ，則從而存在 ρ＞0,使得 I?Bρ(0)＞α＞0.

顯然存在充分大的t0,使得 I(t0φ)＜0,取η=t0φ,定義 Γ={g∈C[0,1],E)|g(0)=0,g(1)=1}及，由山路引理知，c為 I的一個(gè)非平凡的臨界點(diǎn)，即式（1）至少存在一個(gè)非平凡的解.