函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

江蘇省南京市文樞高級中學(xué) 王婷婷

數(shù)學(xué)思想方法不僅對學(xué)生的數(shù)學(xué)解題有一定的幫助作用，還有助于教師提升教學(xué)效果，數(shù)學(xué)思想在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，可以將學(xué)生所學(xué)習(xí)的知識轉(zhuǎn)化為實際的數(shù)學(xué)能力，有利于學(xué)生形成嚴(yán)密的數(shù)理邏輯思維和良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。函數(shù)思想作為數(shù)學(xué)思想中的一類，在高中數(shù)學(xué)解題中可以將已知的數(shù)學(xué)條件構(gòu)建成函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)關(guān)系來解決，對于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升具有重要的作用。

一、函數(shù)思想

函數(shù)反映的是某一個事物隨著另一事物的變化而發(fā)生變化的規(guī)律與關(guān)系，由此可見，函數(shù)思想體現(xiàn)的是量與量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是動態(tài)的，并不是一直保持不變的。因此，我們可以認(rèn)為函數(shù)的本質(zhì)就是對應(yīng)，例如函數(shù)y=f（x），其中主要的構(gòu)成要素就是自變量的變化范圍與對應(yīng)法則f，占據(jù)主導(dǎo)地位是自變量的變化，函數(shù)的值域是由定義域與對應(yīng)法則共同決定的。

本篇文章所說的函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，其實就是指將實際的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，利用函數(shù)來解決實際問題。根據(jù)筆者的經(jīng)驗與思考，認(rèn)為函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用主要有以下三種方式：首先是整體法，通過對于需要解決的數(shù)學(xué)題進(jìn)行整體結(jié)構(gòu)與整體形式的處理，讓所要解決的數(shù)學(xué)題目變得更加容易理解；其次是歸納假設(shè)法，這種方法是我們在解決數(shù)學(xué)問題中的常用方法，主要是先對數(shù)學(xué)問題通過歸納猜想法進(jìn)行觀察和嘗試，接著利用不完全歸納法對所要解決的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行歸納假設(shè)，最后對其假設(shè)進(jìn)行驗證；最后是遞推思想法，這種方式指的是對于所要解決的數(shù)學(xué)問題中的遞推關(guān)系進(jìn)行探索、應(yīng)用和構(gòu)建，從而協(xié)助問題的解決。

二、函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

利用函數(shù)思想解決高中數(shù)學(xué)中的問題，是目前比較常用的方法，通常會與分類討論、數(shù)形結(jié)合以及化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想存在一定的聯(lián)系。目前，運(yùn)用函數(shù)思想可以解決高中數(shù)學(xué)中的方程、數(shù)列、不等式以及其他問題。本文主要從以下幾點淺談了函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用：

1.函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)不等式的解題中應(yīng)用

不等式證明在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的地位，而在解決不等式問題的過程中，應(yīng)用函數(shù)思想，就是對相應(yīng)函數(shù)的零點、正負(fù)區(qū)間和單調(diào)性等實際問題進(jìn)行研究。所以，在解決不等式問題的時候，利用函數(shù)思想可以提升解決問題的效率與準(zhǔn)確性。例如，已知：3n+m＜n2+5+nm恒成立，且0≤m≤3，求n的范圍。運(yùn)用函數(shù)思想，我們可以將其建立為相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系：y=（n-1）m+n2-3n+5，不等式就可以轉(zhuǎn)化為y＞0，再加上已知條件0≤m≤3，就可以比較方便地得出n的取值范圍。

2.函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)方程解題中的應(yīng)用

函數(shù)方程思想作為數(shù)學(xué)思想的一種，在解決實際的數(shù)學(xué)問題過程中也時常被應(yīng)用。通過研究分析可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，方程與函數(shù)的關(guān)系通常是比較密切的，方程是函數(shù)的重要組成因素，函數(shù)包含著方程。所以，運(yùn)用函數(shù)思想是解決高中數(shù)學(xué)方程問題的重要手段。例如，已知（x-n）（x-m）=6，a和b是方程的兩個根，且n＞m，b＞a，求實數(shù)n、m、a、b的大小關(guān)系，在解決這一問題的時候，我們可以將其轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€函數(shù)：f（x）=（x-n）（x-m）-6和g（x）=（x-n）（x-m），然后再進(jìn)行解決，就會使原本比較抽象的數(shù)學(xué)問題變得簡單，解決的效率與準(zhǔn)確性也有一定的提升。

3.函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中作為一個比較特殊的函數(shù)，可以將它看作一個方程組或者方程，也就是將其當(dāng)作一個函數(shù)解析式。對于數(shù)列，我們可以理解為其是通過自變量得到離散數(shù)值的一種特殊函數(shù)。因此，我們在運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)列問題的時候，需要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)與模式，加強(qiáng)對于數(shù)列含義、等比數(shù)列中的通項和中項以及等差數(shù)列的單調(diào)性等的理解。例如，在等差數(shù)列{bn}中公差d的幾何意義就是這個等差數(shù)列中，每一個點所在的直線斜率。再比如，在等差數(shù)列的求和公式我們在運(yùn)用函數(shù)思想解決這一問題的時候，可以對這個等差數(shù)列做出相應(yīng)的改變，這就可以將這個問題轉(zhuǎn)變?yōu)橛嘘P(guān)于n的二次函數(shù)，簡化了解決問題的方法，從而有效提高了解決問題的效果。

總而言之，運(yùn)用函數(shù)思想來解決高中數(shù)學(xué)具有良好的效果，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中具有廣泛應(yīng)用，對于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣具有十分重要的作用。在高中數(shù)學(xué)的解題過程中，利用函數(shù)思想可以有效提高解決問題的準(zhǔn)確性與速度，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。因此，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，不僅僅是函數(shù)思想，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中選擇合適的數(shù)學(xué)思想，從而進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力。