認(rèn)知圖式理論觀照下數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

■張敏亞

一、認(rèn)知圖式理論對(duì)數(shù)學(xué)思維能力建構(gòu)的解釋

認(rèn)知圖式理論來(lái)源于喬治·凱利的《個(gè)人建構(gòu)心理學(xué)》，認(rèn)為人認(rèn)識(shí)世界，就像科學(xué)家做研究一樣，會(huì)不斷地提出認(rèn)識(shí)世界的假設(shè)并檢驗(yàn)，最終形成關(guān)于世界的圖式。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生數(shù)學(xué)能力的建構(gòu)，也類似做科學(xué)研究。在過去學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生可能會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生幾個(gè)假設(shè)，如果見到關(guān)于數(shù)學(xué)的新事物，便會(huì)去收集更多的信息，并且把當(dāng)前信息與之前的假設(shè)相比較。如果假設(shè)被證實(shí)，學(xué)生就會(huì)繼續(xù)使用它；如果沒有，學(xué)生就會(huì)放棄這一假設(shè)，用一個(gè)新假設(shè)取代它。最終，學(xué)生不斷地證實(shí)、修改、發(fā)展個(gè)人假設(shè)，形成一個(gè)層次豐富、界限清晰、細(xì)節(jié)豐滿的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。相對(duì)穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)使他們具有了相對(duì)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)解釋和預(yù)測(cè)能力。這一過程很像科學(xué)家在實(shí)證發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上保留或拒絕假設(shè)的過程。數(shù)學(xué)學(xué)科是由定義、公理、定理等組成的邏輯大廈，體現(xiàn)了極致的邏輯之美；數(shù)學(xué)習(xí)題更是在數(shù)學(xué)思想下，依據(jù)所給條件的微細(xì)變化，在幾個(gè)可能的解題方向上做出的恰當(dāng)?shù)倪x擇。數(shù)學(xué)的這些特點(diǎn)既滿足了認(rèn)知圖式理論所需要的信息，又能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力和個(gè)人創(chuàng)造能力。

人類思維的原始性是彌散的、無(wú)組織的，表現(xiàn)出來(lái)的是一種分離的經(jīng)驗(yàn)，相互之間無(wú)聯(lián)系。這樣的思維形態(tài)沒有力量，不利于深入學(xué)習(xí)。然而當(dāng)前中小學(xué)教育中，忙碌的、刷題式的教學(xué)模式助長(zhǎng)了這種趨勢(shì)。在忙碌、焦慮的狀態(tài)下，學(xué)生一般不能從容地產(chǎn)生假設(shè)，不能充分地收集信息，不能按著自己的節(jié)奏驗(yàn)證和發(fā)展假設(shè)，無(wú)法積極地深入探查思維的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，很難在認(rèn)知層面覺察它們的存在。即使給予學(xué)生充足的探究時(shí)間，教師也不要對(duì)學(xué)生的自主性抱有過高的期待。思維是有惰性的，大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)會(huì)陷入一種重復(fù)的、不適應(yīng)的應(yīng)對(duì)模式。學(xué)生既沒有能力識(shí)別出這種模式，也沒有能力去修正和改變，只能進(jìn)行不確定的循環(huán)，有時(shí)正確，有時(shí)不正確，解決問題常處于一種隨機(jī)的、混亂的試錯(cuò)狀態(tài)，而不是清晰的、有序的邏輯狀態(tài)。

可見，應(yīng)用認(rèn)知圖式理論進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐探索具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，不僅有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的養(yǎng)成，也有利于學(xué)生形成廣泛意義上認(rèn)知世界的能力。

二、認(rèn)知圖式理論觀照下數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的技術(shù)路徑

對(duì)教師而言，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，既需要一個(gè)清晰堅(jiān)固的行動(dòng)框架，又需要在理論上有連貫的認(rèn)識(shí)，在實(shí)踐上有真切的體驗(yàn)，掌握實(shí)際有用的教學(xué)技術(shù)。借鑒認(rèn)知療法，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)可以分為四個(gè)階段。教師在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)注重追求每一個(gè)階段的成功，從而使學(xué)生從隨機(jī)的反應(yīng)轉(zhuǎn)向正常的、有序的思考。

1.識(shí)別圖式。

數(shù)學(xué)思維圖式是以數(shù)學(xué)思想為解決問題的方向，以數(shù)學(xué)概念為思維基點(diǎn)，以數(shù)學(xué)方法為解決問題的工具，綜合考查，構(gòu)建解決問題的整體性思路。本質(zhì)上，圖式就是潛在的假設(shè)、一系列信息的聯(lián)結(jié)。一般而言，學(xué)生片段化的經(jīng)驗(yàn)形成的聯(lián)結(jié)，構(gòu)成了他們的認(rèn)知圖式，也構(gòu)成了他們基本的思維能力。

如何識(shí)別學(xué)生頭腦中的圖式呢？首先，教師需要為學(xué)生營(yíng)造安全的學(xué)習(xí)心境。猶如嬰兒學(xué)步，初中學(xué)生最初展示的思維可能都是幼稚的、荒謬的。教師應(yīng)用欣喜的心態(tài)看待學(xué)生每一點(diǎn)的自我探索。只有學(xué)生覺得安全的情境，才有利于思維的激活和發(fā)現(xiàn)。其次，從學(xué)生的解題行為中捕捉。學(xué)生的解題行為揭示了他們的認(rèn)知圖式。教師講解習(xí)題時(shí)不應(yīng)簡(jiǎn)單判斷對(duì)錯(cuò)，而應(yīng)看到文字背后的假設(shè)、聯(lián)結(jié)、技能，讓學(xué)生闡述初見問題的整體設(shè)想，描述思維過程，解釋他所做出的判斷和選擇，從學(xué)生的敘述中辨識(shí)。這些都有利于教師對(duì)學(xué)生的認(rèn)知圖式的精準(zhǔn)識(shí)別。

2.指導(dǎo)性發(fā)現(xiàn)。

教師的專業(yè)性意味著他更富有彈性，有更大的格局、更豐富的細(xì)節(jié)和更多供選擇的認(rèn)知圖式，并且這樣的認(rèn)知圖式可以高明地判斷解題方向，擁有豐富的應(yīng)對(duì)策略，這也是極其重要的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。必須反復(fù)強(qiáng)調(diào)的是，在一般教學(xué)情境中，我們可以解決概念的界定、細(xì)節(jié)的完善、知識(shí)的鞏固，但無(wú)法發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知圖式。認(rèn)知圖式需要的是系統(tǒng)性的解決，需要經(jīng)歷從假設(shè)到探索，再到驗(yàn)證的反復(fù)循環(huán)。這是一個(gè)曲折幽長(zhǎng)的過程，學(xué)生較難獨(dú)立自主完成，一般的教學(xué)也難以促其進(jìn)步。在學(xué)生深入探究知識(shí)的時(shí)刻，在學(xué)生解決問題的細(xì)微之處，需要教師的關(guān)注和指導(dǎo)。教師既要提供情感支持，也要提供專業(yè)支持，從而促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知圖式的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展。

3.固著思維的轉(zhuǎn)化。

筆者的教學(xué)實(shí)踐表明，初中學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知圖式呈現(xiàn)錯(cuò)綜復(fù)雜的特點(diǎn)。在師生努力之下，確定了新的學(xué)習(xí)框架后，教和學(xué)的活動(dòng)進(jìn)入了第三階段：質(zhì)變。在這個(gè)階段，面對(duì)具體的問題情境，學(xué)生反復(fù)闡述自己的想法，并對(duì)教師指導(dǎo)的內(nèi)容進(jìn)行驗(yàn)證。在這樣的過程中，學(xué)生增強(qiáng)了對(duì)自己認(rèn)知圖式的察覺，將自己固著的思維方式與新的經(jīng)驗(yàn)片段進(jìn)行短暫性、漸進(jìn)性的融合，形成更大的結(jié)構(gòu)體系。此時(shí)，一些學(xué)生雖可能會(huì)有表面退步的表現(xiàn)，但他們會(huì)獲得一種學(xué)習(xí)的掌控感和價(jià)值感，使得他們堅(jiān)持下去。一段時(shí)間之后，量的積累會(huì)導(dǎo)致質(zhì)的提升，在某一個(gè)時(shí)刻，學(xué)生會(huì)突然覺得那種艱難的感覺不見了，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有了真正的信心。

4.技巧訓(xùn)練。

在學(xué)生步入這樣的軌道后，教學(xué)就可以進(jìn)入正常的狀態(tài)。學(xué)生會(huì)在教師授課、刷題等活動(dòng)中學(xué)到知識(shí)。在這一階段，學(xué)生需要的是盡可能多的數(shù)學(xué)實(shí)踐，以利于認(rèn)知圖式的確認(rèn)和再造。學(xué)生在進(jìn)入真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之前，需要有一個(gè)合理的認(rèn)知框架，也就是說(shuō)，他們?cè)谔剿鲾?shù)學(xué)之前，已經(jīng)有了一些關(guān)于數(shù)學(xué)的正確認(rèn)識(shí)，不然，學(xué)生只能使用他能想到的應(yīng)對(duì)策略，反復(fù)用不一定能勝任的模式來(lái)應(yīng)對(duì)學(xué)習(xí)壓力與挑戰(zhàn)，哪怕這些應(yīng)對(duì)方式已經(jīng)無(wú)數(shù)次被現(xiàn)實(shí)檢驗(yàn)為錯(cuò)誤的方法。

三、從認(rèn)知圖式理論走向數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐策略

北外附校林衛(wèi)民校長(zhǎng)說(shuō)過，一些教師沒有從教學(xué)的復(fù)雜性本質(zhì)特征來(lái)研究和把握課堂教學(xué)，一線教師的教學(xué)困惑主要源自教育工作本質(zhì)的復(fù)雜性。不可否認(rèn)，即使面對(duì)諸多鮮活的生命，一些教師依然會(huì)把全班學(xué)生視為完全一樣的“內(nèi)存條”，用幾乎完全一樣的指令，讓認(rèn)知圖示各異的學(xué)生個(gè)體去穿越充滿眾多險(xiǎn)阻的數(shù)學(xué)原始森林，導(dǎo)致只能表面達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。每個(gè)教師都遭遇過這樣的情形：面對(duì)一道數(shù)學(xué)綜合題，當(dāng)自己聲嘶力竭、傾己所能進(jìn)行講授時(shí)，教室里可能毫無(wú)生機(jī)，格格不入的學(xué)生無(wú)處不在，教與學(xué)之間充滿混亂和痛苦。有識(shí)之士早已指出，教學(xué)改革不能局限在具體的技術(shù)層面。認(rèn)知圖式理論為我們的數(shù)學(xué)教育提供了一個(gè)全新的理論視角和具有可操作性的解決方案。從理論走向?qū)嵺`并非易事，需要教師們遵循一些原則，靈活應(yīng)用一些策略。

1.無(wú)條件支持個(gè)人思考。

通常學(xué)生考好了，教師就給予表?yè)P(yáng)；學(xué)生考砸了，教師就提出批評(píng)。教師對(duì)學(xué)生的喜歡是有條件的，就是學(xué)生要快速地學(xué)會(huì)教師所教的方法，而不是他們誤打誤撞思考出來(lái)東西。有時(shí)候教師也明白，問題的情境是變化的，教師所教知識(shí)的作用是有限的。但我們?cè)诓恢挥X中，就營(yíng)造和強(qiáng)化出這樣一種需要學(xué)生聽話的教育環(huán)境。教與學(xué)是一個(gè)發(fā)展共同體，教師的這一潛在要求自然會(huì)影響學(xué)生。他們稚嫩的、混亂的思考可能會(huì)被嘲笑、譏諷，甚至打擊，個(gè)人思考常稍做嘗試就停止了。如果教師教學(xué)能像父母看著孩子學(xué)走路一樣，對(duì)學(xué)生每一點(diǎn)的努力和嘗試，都投以贊許的目光，報(bào)以欣喜的神情，以一種無(wú)條件的支持來(lái)鼓勵(lì)學(xué)生做出思考，以很高的熱情來(lái)宣揚(yáng)學(xué)生身上細(xì)微的進(jìn)步之處，營(yíng)造鼓勵(lì)個(gè)人獨(dú)特思考的班級(jí)氣氛，就很可能喚醒學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)力。

2.在有價(jià)值的地方進(jìn)行深度思考。

學(xué)生常處于任務(wù)飽和的狀態(tài)，常忙著完成教師布置的具體作業(yè)，空閑時(shí)也可能會(huì)去做一些額外的習(xí)題，但就是不愿進(jìn)行深度思考。教師需要在一些值得探究的、有思考價(jià)值的地方，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考。在實(shí)踐初期，教師可以通過師生對(duì)話的形式，這不僅有利于推動(dòng)思維的深入，檢查思維的成效，也有利于學(xué)生學(xué)會(huì)正確的思考的視角和方法，收獲積極的體驗(yàn)。

3.持續(xù)完善個(gè)人思維導(dǎo)圖。

思維導(dǎo)圖是一種很好的承載知識(shí)的組織形式。借助思維導(dǎo)圖，學(xué)生可以將數(shù)學(xué)的思想、概念、具體方法按其內(nèi)在聯(lián)系組合成一個(gè)整體，將數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)串成線連成網(wǎng)，形成完整的體系。這樣，學(xué)生能夠在新情境下做出一個(gè)快速、自動(dòng)、恰當(dāng)?shù)姆磻?yīng)。在學(xué)生初步能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，教師可以要求學(xué)生持續(xù)努力畫出某些方面的思維導(dǎo)圖，并最終建構(gòu)個(gè)人數(shù)學(xué)認(rèn)知圖式，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

數(shù)學(xué)教育更大的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，這是一個(gè)很困難的任務(wù)。而個(gè)人認(rèn)知圖式的建構(gòu)是解決這個(gè)任務(wù)的有效方式之一。只要我們堅(jiān)持不懈地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行個(gè)人建構(gòu)，學(xué)生思維能力的提高便會(huì)有發(fā)生的可能。