解析幾何創(chuàng)立的歷史背景

云南省昭通市昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 李青柏

解析幾何又名坐標(biāo)幾何，是幾何學(xué)的一個(gè)分支，其基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何問題，它的基本方法是坐標(biāo)法。本文對解析幾何產(chǎn)生前的幾何學(xué)，幾何學(xué)創(chuàng)立的內(nèi)、外部動(dòng)力以及創(chuàng)立的過程作簡單的綜述，為讀者理清其發(fā)展的邏輯關(guān)系。

一、解析幾何產(chǎn)生前的幾何學(xué)

解析幾何產(chǎn)生前的幾何學(xué)以歐幾里得的平面幾何和立體幾何、阿波羅尼奧斯的圓錐曲線為主。公元前300年，希臘先后出現(xiàn)“歐幾里得，阿基米德、阿波羅尼奧斯”三大數(shù)學(xué)家，標(biāo)志著古典希臘數(shù)學(xué)的巔峰。

歐幾里得（公元前330～275 年）是論證幾何學(xué)的集大成者，寫了很多數(shù)學(xué)、天文學(xué)、光學(xué)、音樂方面的著作，其中最重要的莫過于《幾何原本》。采用了公理法對當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識作了系統(tǒng)化、理論化的總結(jié)。構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。

阿基米德（公元前287～212 年）可以說是一位偏重應(yīng)用的數(shù)學(xué)家，他用“平衡法”解決了一系列幾何圖形的面積、體積的計(jì)算問題。他把希臘幾何學(xué)幾乎提到西方17 世紀(jì)后才得以超越的高峰，他對窮竭法的應(yīng)用代表了古代用有限方法處理無限問題的最高水準(zhǔn)。

阿波羅尼奧斯（約公元前262 ～190 年）通過平面去截一個(gè)對頂?shù)膱A錐得到橢圓、雙曲線、拋物線，并正式命名為圓錐曲線。圓錐曲線論是希臘演繹幾何的最高成就，他用純幾何的手段達(dá)到了今天解折幾何的主要結(jié)論。但是這種純幾何的演繹形式使其晦澀難懂，也使其后千年間的幾何學(xué)裹足不前。

以上幾何學(xué)的特點(diǎn)：靜態(tài)幾何，既不把曲線看成是有一種動(dòng)點(diǎn)的軌跡，也沒有給它以一般表示方法。

二、變量數(shù)學(xué)的需求使原有幾何學(xué)出現(xiàn)解決問題乏力的狀態(tài)

近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué)（12 ～16 世紀(jì)）。在這之前的歐洲是混沌的（5 ～11 世紀(jì)），封建宗教統(tǒng)治致使理性壓抑，生產(chǎn)力的發(fā)展帶來文藝興。波蘭天文學(xué)家哥白尼（1473～1543 年）提出日心說，意大利物理學(xué)家、天文學(xué)家伽利略（1564 年～1642 年）得出慣性定理和自由落定理，發(fā)現(xiàn)投擲物體是沿著拋物線運(yùn)動(dòng)的；德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿橢圓運(yùn)動(dòng)的，太陽處在這個(gè)圓的焦點(diǎn)上；武器的改進(jìn)刺激了彈道問題的討論。這些都向幾何學(xué)提出了用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)來認(rèn)識和處理圓錐曲線及其他幾何問題，幾何學(xué)必須從觀點(diǎn)到方法來一次變革，創(chuàng)立起一種建在運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)上的幾何學(xué)。總之，16 世紀(jì)，對運(yùn)動(dòng)與變化研究已變成了自然科學(xué)的中心問題。原有幾何學(xué)出現(xiàn)解決問題乏力的狀態(tài)，這就迫切地需要一種新的數(shù)學(xué)工具，從而導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。

三、代數(shù)的發(fā)展恰好為解析幾何的誕生創(chuàng)造了條件

15 世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到了數(shù)學(xué)符號的意義，符號體系的建立使代數(shù)成為一門科學(xué)，是近代數(shù)學(xué)最明顯的標(biāo)志之一。數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)化首先應(yīng)歸功于法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（1540～1603 年），他業(yè)余研究數(shù)學(xué)，是16 世紀(jì)最有影響力的數(shù)學(xué)家，也被認(rèn)為是16 世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，他從丟番圖（約公元246～330 年，據(jù)推斷和計(jì)算而知）的著作中獲得使用字母符號的想法，他是第一個(gè)在代數(shù)中有意識地、系統(tǒng)地使用字母表示未知量及各種方程的系數(shù)和常數(shù)。后來，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596～1650 年）和沃利斯（1616～1703 年）改進(jìn)、健全了符號系統(tǒng)。這樣，代數(shù)就從一門以分別解決各種特殊問題的側(cè)重于計(jì)算的數(shù)學(xué)分支，成為一門以研究一般類型的形式和方程的學(xué)問。

16 世紀(jì)，代數(shù)的發(fā)展，三次方程、四次方程求根問題的解決恰好為解析幾何的誕生創(chuàng)造了條件，為幾何曲線建立代數(shù)方程鋪平了道路。代數(shù)的符號化，使坐標(biāo)概念引進(jìn)成為可能，從而為建立一般曲線的方程，發(fā)揮其具有普遍性理論方法的作用。

四、解析幾何的創(chuàng)立

經(jīng)過幾百年的醞釀，到17 世紀(jì)前半葉，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬（1601～1665 年）批判地繼承了前人的成就，成為解析幾何的創(chuàng)立者。

笛卡爾改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何相分離的趨向，提出了坐標(biāo)系和曲線方程的思想，建立了歷史上第一個(gè)傾斜坐標(biāo)系，坐標(biāo)系中點(diǎn)的軌跡是一個(gè)方程代表的曲線，并把數(shù)與形統(tǒng)一起來。笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問題化為一個(gè)代數(shù)問題，再把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個(gè)方程式。

費(fèi)馬是個(gè)業(yè)余數(shù)學(xué)家，在幾何方面以研究動(dòng)點(diǎn)軌跡問題而聞名，堪稱與笛卡爾并列為發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)幾何理論的人。他很早就研究用代數(shù)方法解決幾何問題，曾指出：“只要在最后的方程中出現(xiàn)兩個(gè)未知量就得到一個(gè)軌跡”，并定義了二次曲線的最簡方程和直線方程。費(fèi)馬以希臘幾何繼承者面貌出現(xiàn)，力求恢復(fù)失傳的阿波羅尼奧斯的著作《論平面軌跡》，但他沒有注意到代數(shù)方程的全部理論及應(yīng)用它于幾何。而笛卡爾相反在《幾何》一書中運(yùn)用整理了全部方程理論，自覺地用代數(shù)方法，坐標(biāo)方法更換了古代方法，他的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了普通幾何的論述，并在“三卷”中指出一般方法程序：幾何作圖用代數(shù)表示，先解方程再作圖。

歷史上曾經(jīng)發(fā)生過關(guān)于笛卡爾與費(fèi)爾馬關(guān)于解析幾何明權(quán)的爭論，后來和解了。我們認(rèn)為，他和笛卡爾的創(chuàng)造都是文藝復(fù)興以來歐洲數(shù)學(xué)振興帶來的必然結(jié)果。解析幾何是代數(shù)與幾何相融合的產(chǎn)物，也是變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)物，為微積分的創(chuàng)立，撘起了舞臺(tái)。