如何學(xué)好二次函數(shù)

甘肅省金昌市第三中學(xué) 金歡歡

《二次函數(shù)》是人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)在中考時(shí)必考的重點(diǎn)章節(jié)，是同學(xué)們感到難學(xué)的內(nèi)容之一。它里面有如下幾個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)：①學(xué)會(huì)求函數(shù)的解析式；②學(xué)會(huì)作二次函數(shù)的圖像；③學(xué)會(huì)描述二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)；④會(huì)平移二次的圖像；⑤會(huì)把函數(shù)解析式的一般式化成頂點(diǎn)式。為了能使同學(xué)們學(xué)好二次函數(shù)，會(huì)利用好二次函數(shù)的性質(zhì)，本文從以下幾方面討論如何學(xué)好二次函數(shù)。

一、如何深刻理解二次函數(shù)的定義

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c是常數(shù))中有兩個(gè)變量：x,y，如果先確定了其中的一個(gè)變量，就可以利用函數(shù)解析式求出另外一個(gè)變量，然后就可以得到一組方程解，這樣的一組解就對(duì)應(yīng)了函數(shù)圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，其實(shí)二次函數(shù)的圖像就是由這樣的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的。

二、如何深入了解幾個(gè)特殊的二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

1.通過(guò)描點(diǎn)，觀察函數(shù)y=ax2、y=ax2+k、y=a(x+h)2圖像的形狀及其位置，熟悉這些圖像的最基本、最明顯的特征。

2.理解函數(shù)圖像的平移規(guī)則，有一個(gè)口訣是“括號(hào)內(nèi)左加右減，括號(hào)外上加下減”，即y=ax2→y=a(x+h)2+k，“括號(hào)外上加下減”是對(duì)于k所說(shuō)的，“括號(hào)內(nèi)左加右減”是對(duì)于h所說(shuō)的。

根據(jù)以上內(nèi)容可知，如果有兩個(gè)不同的二次函數(shù)，若二次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)號(hào)相同，則它們的圖像開(kāi)口方向就是相同的。拋物線的平移實(shí)質(zhì)上就是頂點(diǎn)的平移。如果拋物線是一般形式，則應(yīng)先化為頂點(diǎn)式，然后再平移。平移時(shí)要看是在括號(hào)內(nèi)的加減平移，還是在括號(hào)外的加減平移。

3.通過(guò)描點(diǎn)、連線畫(huà)圖、圖像平移，能夠理解二次函數(shù)解析式的特征與圖像的特征是完全一致，我們?cè)诮忸}時(shí)要抓住圖像的特征，能夠通過(guò)圖像看到函數(shù)解析式的基本特征和一些關(guān)鍵數(shù)據(jù)，能夠看到函數(shù)就能想象出它的圖像的一些特征，這才是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)含義。

4.在熟悉了二次函數(shù)的圖像之后，我們還要通過(guò)觀察、分析拋物線的基本特征來(lái)理解二次函數(shù)的最值、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)；利用圖像來(lái)確定函數(shù)解析式中的a,b,c以及由系數(shù)所組成的代數(shù)式的符號(hào)等。在遇到一些問(wèn)題時(shí)，我們可以使用特殊值法判斷函數(shù)解析式的通性，分析這一類(lèi)函數(shù)的圖像特征。

三、學(xué)好二次函數(shù)，要重視“頂點(diǎn)”的作用

1.通過(guò)公式法或者配方法能很準(zhǔn)確地求出二次函數(shù)圖像的“頂點(diǎn)”。如函數(shù)y=a(x+h)2+k的圖像頂點(diǎn)是(-h,k)，對(duì)于其他形式的二次函數(shù)解析式，我們可將其轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，然后再求出頂點(diǎn)。

2.要深刻理解函數(shù)圖像的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸以及函數(shù)的最大（最?。┲颠@三者之間的關(guān)系。如果二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為(-h,k)，那么二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-h，函數(shù)的最值y最大（最?。?k；相反，如果二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m，y最大（最?。?n，那么二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為(m,n)。理解三者之間的本質(zhì)關(guān)系，在分析和解決問(wèn)題時(shí)，就可達(dá)到事倍功半的效果。不過(guò)這里求函數(shù)的最值時(shí)有些時(shí)候要考慮自變量的取值范圍，這也是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的一個(gè)難點(diǎn)。

3.利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性等特殊已知條件畫(huà)出拋物線的草圖。在眾多情況下，我們可以根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)，結(jié)合開(kāi)口向上還是開(kāi)口向下，畫(huà)出拋物線的即草圖，這樣能幫助我們更容易地分析和解決問(wèn)題。

四、如何理解二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)方程的解的問(wèn)題

一般來(lái)說(shuō)，我們?cè)谇蠖魏瘮?shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)時(shí)，可先確定坐標(biāo)中的其中一個(gè)量，再利用解析式求出坐標(biāo)中的另外一個(gè)量。如果方程無(wú)實(shí)數(shù)根，那么說(shuō)明拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)。

求二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸x軸的交點(diǎn)問(wèn)題其實(shí)就是求拋物線所對(duì)應(yīng)的方程的解。結(jié)合求解方程的根的方法，利用判別式的值來(lái)確定拋物線與x軸到底有幾個(gè)交點(diǎn)。

五、如何求二次函數(shù)的解析式

求二次函數(shù)的解析式，我們常用的方法就是待定系數(shù)法，求解析式時(shí)可以選擇不同的解析式。假設(shè)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，就可將函數(shù)解析式選擇為一般式；假設(shè)已知函數(shù)圖像的頂點(diǎn)和任意一個(gè)坐標(biāo)，就可將函數(shù)關(guān)系式設(shè)為頂點(diǎn)式；如果已知函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，我們可以設(shè)函數(shù)解析式為交點(diǎn)式。在計(jì)算過(guò)程中可以綜合利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想綜合計(jì)算分析，這樣對(duì)于我們的計(jì)算是可以簡(jiǎn)化的。

例1：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為A（1，-4），并且過(guò)點(diǎn)B（3，0）。

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）將該二次函數(shù)的圖像向右平移幾個(gè)單位，可使平移后所得圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？直接寫(xiě)出平移后所得圖像與坐標(biāo)軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)。

解：（1）由題意設(shè)y=a(x-1)2-4，將B（3，0）代入得a=1，故y=(x-1)2-4。

（2）設(shè)圖像向右平移m(m＞0)個(gè)單位，圖像正好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則解析式為y=(x-1-m)2-4，因?yàn)榻?jīng)過(guò)原點(diǎn)，故將（0,0）代入解析式得m=1，此時(shí)函數(shù)的解析式為y=(x-2)2-4，與坐標(biāo)軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（4,0）。

例2：某公司經(jīng)銷(xiāo)一種文具，每個(gè)文具成本為50元。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷(xiāo)售量W（件）隨銷(xiāo)售單價(jià)x（元）的變化而變化，具體關(guān)系式為；W=-2x+240。設(shè)這種文具在這段時(shí)間內(nèi)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y（元），回答下列問(wèn)題：（1）求y與x的關(guān)系式；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？

解：（1）y=(x-50)W=(x-50)(-2x+240)=-2x2+340x-12000。

（2）y=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450，

∴當(dāng)x=85時(shí)，y的值最大，y最大為2450。

總之，二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是非常重要的，以上是我在二次函數(shù)教學(xué)中的一些體會(huì)，我認(rèn)為在二次函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生為主體，多與學(xué)生交流，課后多輔導(dǎo)學(xué)生作業(yè)，幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)成績(jī)。