數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的分析及培養(yǎng)策略
——由一道試題學(xué)生求解的現(xiàn)象剖析

陜西省禮泉第一中學(xué) 陳銀會(huì)

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》規(guī)定的課程目標(biāo)中指出：“在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?！睌?shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一。那么到底什么是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)？如何通過教學(xué)對(duì)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)進(jìn)行培養(yǎng)？下面，筆者以在課堂教學(xué)中學(xué)生對(duì)一道試題求解現(xiàn)象進(jìn)行分析，談?wù)勛约簩?duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的一些認(rèn)識(shí)。

一、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的分析

1.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程。主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探求運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果六大步驟。

2.通過課堂上學(xué)生對(duì)一道試題求解現(xiàn)象的剖析，分析數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

現(xiàn)象1：部分學(xué)生對(duì)已知條件不知如何入手。教師啟發(fā)問：“sinα，cosα，tanα”之間有什么關(guān)系？學(xué)生回答不上來。

剖析：這類現(xiàn)象是因?yàn)閷W(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的第一個(gè)步驟——理解運(yùn)算對(duì)象中出現(xiàn)問題導(dǎo)致不會(huì)解。學(xué)生關(guān)于sinα，cosα，tanα的基本知識(shí)點(diǎn)：平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1，商數(shù)關(guān)系：不具備，沒有理解其運(yùn)算的對(duì)象，所以解題無從下手。

現(xiàn)象2：部分學(xué)生在練習(xí)本中寫出“sin2α+cos2α=1”，然后不知所向。

剖析：這類現(xiàn)象是因?yàn)閷W(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的第三個(gè)步驟——探求運(yùn)算方向出現(xiàn)問題導(dǎo)致不會(huì)解。因?yàn)閷W(xué)生不具備方程思想，沒有意識(shí)到由已知等式與平方關(guān)系sin2α+cos2α=1聯(lián)立,可得關(guān)于sinα，cosα的二元方程組，由得出 tanα=2。

現(xiàn)象3：部分學(xué)生想到對(duì)原式兩邊進(jìn)行平方，得到cos2α+4cosα sinα+4sin2α=5，然后不知所向。

剖析：這類現(xiàn)象是因?yàn)閷W(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的第四個(gè)步驟——選擇運(yùn)算方法出現(xiàn)問題導(dǎo)致不會(huì)解。這類學(xué)生欠缺的是基本問題的解題方法或者可能是對(duì)基本模式識(shí)別有誤。這個(gè)基本問題就是三角求值中關(guān)于sinα，cosα“齊次式”的求值問題。通過利用平方關(guān)系把原式變形為，然后分子、分母同時(shí)除以cos2α 可得，解此方程可得tanα=2。

二、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的策略

由以上現(xiàn)象分析，筆者認(rèn)為落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)要遵循數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展的基本規(guī)律：知識(shí)、思想、能力、發(fā)展和完善。

1.建構(gòu)完善系統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系

解題研究的一代宗師波利亞說過：“貨源充足和組織良好時(shí)的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本。”數(shù)學(xué)知識(shí)是形成數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，章建躍博士說：“無知者無能”，所以離開數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)來培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是紙上談兵。

對(duì)學(xué)生而言，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力主要來自課堂教學(xué)。教師在教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念、定義、公式、定理和運(yùn)算法則。注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈，不僅要掌握公式、定理和運(yùn)算法則，還要知道其發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程，因?yàn)樵谥R(shí)產(chǎn)生的過程中，所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法同樣重要，過程和結(jié)果并重。一些數(shù)學(xué)概念的理解往往一兩節(jié)課根本達(dá)不到，因?yàn)閷?duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)需要在事物的關(guān)系中逐步加深認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、鞏固、拓廣、加深，往往要依賴知識(shí)的積累，逐步建立起數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

2.以數(shù)學(xué)思想方法促進(jìn)運(yùn)算技能向能力的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是認(rèn)識(shí)具體數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法等的過程中提煉概括的基本觀點(diǎn)和根本想法，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)方法是指在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所采用的途徑、方式、手段、策略等，是由思想轉(zhuǎn)化而來的具體操作方法。數(shù)學(xué)思想是能力的核心，只有思想才能把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力。高中階段常用的數(shù)學(xué)思想方法有：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸，統(tǒng)計(jì)與概率，特殊與一般，分類與整合思想等。數(shù)學(xué)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算中具體表現(xiàn)是這樣一些方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、類比法、錯(cuò)位相消法、轉(zhuǎn)化法、設(shè)而不求法、整體代換法、估算法、速算法等。這些方法的巧妙應(yīng)用顯示著良好的運(yùn)算能力。

我們?cè)诮虒W(xué)中，不僅要給學(xué)生基本知識(shí)點(diǎn)，還應(yīng)積極提煉滲透學(xué)科思想。

3.運(yùn)算能力在多種能力協(xié)調(diào)發(fā)展、相互促進(jìn)中得到提升

運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，運(yùn)算包括對(duì)數(shù)值的計(jì)算與近似計(jì)算，對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式的變形，對(duì)幾何圖形相關(guān)幾何量的計(jì)算求解等，運(yùn)算求解能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力。數(shù)學(xué)計(jì)算是數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)上一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，思維的創(chuàng)造性和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力都可從中得到培養(yǎng)。

4.培養(yǎng)學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)，促進(jìn)運(yùn)算素養(yǎng)的形成

有良好個(gè)性心理特征（認(rèn)真、勤勉、堅(jiān)強(qiáng)等）的學(xué)生，其運(yùn)算能力強(qiáng)，有個(gè)性傾向性（興趣、需要等）也影響著學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展。教育心理學(xué)表明,當(dāng)教學(xué)能引起學(xué)生的興趣時(shí),就可使學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)集中注意,更好地感知、記憶、思維和想象。學(xué)習(xí)興趣越大，學(xué)習(xí)態(tài)度越端正，學(xué)習(xí)目標(biāo)越明確，那么，學(xué)習(xí)的效果越好，成績(jī)?cè)礁?，?shù)學(xué)運(yùn)算能力必然越來越好。

我們?cè)诮虒W(xué)中要關(guān)注數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中影響學(xué)生的各種心理因素,培養(yǎng)他們穩(wěn)定、健全的心理品質(zhì)。